一般廣義周期時變系統狀態反饋H∞控制器設計

周 軍，周 皓，蘇曉明 ，王 剛

(1. 南京理工大學泰州科技學院，泰州 225300；2. 健雄職業技術學院 機電工程系，太倉 215400；3. 沈陽工業大學 理學院，沈陽 110178)

0 引言

H∞控制問題[1~4]自20世紀80年代被提出以來，由于其廣泛存在于電力系統、經濟系統、機器人系統和電子網絡系統等諸多的社會生產領域之中，而引起了廣大學者的極大重視。Takaba和Morihira[5]用譜分解方法，Wen和Yaling[6]用廣義特征值方法討論了廣義系統的H∞控制問題。談侃和王朝珠[7]研究了線性時變周期系統的魯棒穩定及H∞控制問題。樊仲光和梁家榮[8]等研究了一類不確定廣義周期時變系統的魯棒H∞控制問題，得到了該類系統廣義二次可鎮定具有H∞指標gam a大于零的充分必要條件。盡管如此，廣義周期系統的H∞控制理論[9]仍然很不完善，尤其是一般廣義周期時變系統的H∞控制器設計問題還沒有解決。

1 問題的描述及引理

考慮如下一般廣義周期時變系統：

系統式(1)在如下形式的狀態反饋：

作用下構成的閉環一般廣義周期系統為

對于一般廣義周期系統(1)有如下假設：

1)(E(t),A(t ),B2( t))能穩且脈沖能控。

2) 列滿秩。

假設(1)為系統能鎮定的必要條件，即保證一個容許的控制器的存在性。

假設(2)是使問題簡單化且不失一般性的假設。

定義1 對于如下一般廣義周期時變系統：

如果存在常數 ，使得：

則稱系統（4）是一致正則的。

引理1[10]設Q∈ Rn×n、L∈ Rr×n、Q= QT、rank ( L)=r，若對于滿足Lx=0的任意非零向量x∈ Rn，使xTQ x <0成立，則存在正數使：

引理2[10](Schu r補引理)設M(t)、N(t)和P(t)是具有適當維數的矩陣，M(t)和N(t)是對稱陣，則對于任意的，有：

當且僅當N(t) < 0及M (t ) ? P(t) N?1(t) PT(t) < 0。

引理3[11]若系統(4)是解析可解的，則一定存在解析的可逆矩陣P ( t) ∈ Rn×n、Q ( t) ∈ Rn×n,通過下述變換將系統（4）化為規范標準型（SCF），即：

其中，N(t)是冪零矩陣；各塊矩陣均具有適當的階數。

由引理3，系統(4)可以分解為如下形式：

這種分解通常稱為快慢子系統分解，又稱為第一種受限等價形式，并稱式(6)為慢子系統，式(7)為快子系統。

定義2 系統(4)稱為漸近穩定的，如果它的子系統：

是漸近穩定的。

定義3 如果系統(4)是一致正則、漸近穩定、無脈沖的，則稱系統(4)是允許的。

引理4[12]對于一般廣義周期系統(4)和它的傳遞函數，下面的命題等價：

2) 存在可逆矩陣X(t)滿足如下不等式

3) 存在可逆矩陣X(t)滿足如下線性矩陣不等式

2 主要結果

定理1 對于滿足假設(1)和(2)的一般廣義周期系統式(1),下面的命題等價：

1) 存在狀態反饋矩陣 ，使得閉環一般廣義周期系統(3)是容許的，且

如果命題(2)成立，則所求的一個容許的狀態反饋矩陣為：

整理得：

其中：

特別地，對于沒有直饋項的一般廣義周期系統(1)，有下面的結果。

定理2 對于滿足假設(a)的一般廣義周期系統(1)，假設列滿秩，則下面命題等價：

1) 存在狀態反饋矩陣 ，使得閉環一般廣義周期系統(3)是容許的，且

2) 存在一個可逆矩陣 和正數 滿足如下Riccati不等式

如果命題(2)成立，則所求的一個容許的狀態反饋矩陣為：

則由引理1知，存在 使：

下面將討論基于LM I的一般廣義周期系統的H∞控制問題。

定理3 對于滿足假設(a)的一般廣義周期系統(1)，下面的命題等價：

1) 存在狀態反饋矩陣 ，使得閉環一般廣義周期系統(3)是容許的，且

2) 令：

如果命題(2)成立，則所求的一個容許的狀態反饋矩陣為：

其中：

令：

3 數值算例

下面舉例說明定理3的結果。

則所求的一個容許的狀態反饋矩陣為：

4 結束語

本文利用矩陣不等式方法研究了一般廣義周期時變系統的H∞控制器設計問題，并給出了一族狀態反饋H∞控制器的設計方法，由于直接基于系數矩陣進行設計，因此設計方法比較簡單。得到的結果是廣義定常系統相應結論向一般廣義周期時變系統的自然推廣，具有重要的理論意義。

[1] Masubuchi I Kam itane Y, Ohara A et al. H∞Contro l for Descrip tor System s:A m atrix inequalities app roach[J].Au tom atic,1997,33(4):669-673.

[2] Zhao Zhihua, Zhang Qingling, Liu Xiaodong. H∞ Control and Param etric Contro llers for Descrip tor system s [J].IEEE TRANSACTIONS ON AUTOMATIC CONTROL Con ference,2002(5),4908-4913.

[3] 申鐵龍.H∞控制理論和應用[M].北京:清華大學出版社,1996,42-45.

[4] 李圣淘,劉小梅,周玉成,劉曉平,井元偉.一類Lu rie 時滯廣義系統的時滯相關H∞控制[J].控制與決策,2012,27(1):35-40.

[5] Takaba K,Morihira N and Katayam a T.H∞ contro l for descrip tor system s-a J spectral factorization app roach[C]//33nd IEEE Con f. On Decision and Con tro l, Lake Buena Vista,F L,1994:2251-2256.

[6] Wen.T,C.Yaling H∞Op tional con tro l for descrip to r system s. In Pro c 12 th LFAC W o rld Cong ress.Sydney.2:201-204.

[7] 談侃,王朝珠.線性時變周期系統的魯棒穩定及H∞控制[J]. 自動化學報,1996,22(5):611-614.

[8] 樊仲光,梁家榮,肖劍.一類不確定廣義周期時變系統的魯棒H∞控制[J].數學雜志,2012,32(2):369-376.

[9] 蘇曉明,劉芳.非線性廣義離散區間系統的魯棒非脆弱H∞控制[J].東北大學學報,2012,33(3):305-309.

[10] 楊東梅,張慶靈,姚波,等.廣義系統[M].北京:科學出版社,2004:8-10.

[11] Campell S L and Petzold L. Canonical forms and solvable singu lar system o f d ifferential equation[J].SIAM JAlg,Discrete Math.1983,4(4):517-521.

[12] 王剛.一般廣義周期系統的穩定性分析及相關控制問題研究[D].沈陽工業大學,2007.