基于接觸應力的圓柱滾子軸承疲勞壽命分析

邱江，朱如鵬，陸鳳霞，靳廣虎

（南京航空航天大學，江蘇南京 210016）

0 引言

圓柱滾子軸承一般用于載荷較大的場合，與同尺寸球軸承相比，圓柱滾子軸承通常具有更高的剛性和更好的抗疲勞性［1］。軸承的疲勞壽命是軸承設計與使用中的重要參照因素，對于滾子軸承來說主要的失效形式是接觸疲勞，但是由于金屬材料的接觸應力一般較大，要進行零部件全尺寸的接觸疲勞試驗耗時會相當長。另外，大量實驗數據表明，滾動軸承在型號、轉速等外在條件完全一致的狀況下，其實驗壽命結果最大值與最小值相差甚遠，即壽命的離散性很大［2］。因此要想得出一組可靠的數據，必須開展大量的疲勞實驗，這樣的費用是高昂的。因此，理論計算方法在獲得軸承接觸疲勞壽命在實際生產過程中就顯得非常重要。

軸承的經典疲勞壽命計算方法是建立在Lundburg和Palmgren等人的經驗基礎上。大量的生產實踐證明，這種方法是較為可靠的。但在直升機疲勞定壽中，目前國內外對傳動系統零部件的疲勞壽命評估普遍采用的是名義應力法的有限壽命設計［3］。其設計基本思想是從材料的S－N曲線出發，再考慮可靠度、應力集中系數等多種影響因素;最后結合應力值求出疲勞壽命值［4］。本文基于接觸應力對圓柱滾子軸承的疲勞壽命進行了計算，并將計算結果與經典疲勞壽命理論結果進行了比較。證明這種方法是可行且較為可靠的，為圓柱滾子軸承的疲勞壽命特別是針對直升機傳動系統軸承部件的疲勞壽命評估提供了一定的依據。

1 圓柱滾子軸承接觸疲勞壽命分析的基本原理

1.1 L－P疲勞壽命計算理論

軸承疲勞壽命的計算方法建立在Lundburg和Palmgren的理論基礎上。對于圓柱滾子軸承，在法向載荷Q作用下，滾子與滾道線接觸的壽命為:

式中，滾道額定接觸動載荷Qc為:

式中，D為滾子直徑;l為滾子有效長度;Z為滾子數;γ為Dcosα/dm;α為接觸角;dm為節圓直徑;λ是隨滾子引導方式而變化的系數。

圓柱滾子軸承的壽命由內、外環疲勞壽命的交集表示

式中，Lμ為滾子與內滾道接觸壽命;Lν為滾子與外滾道接觸壽命;對于線接觸軸承，威布爾斜率e取9/8。

建立在Lundburg和Palmgren的疲勞壽命理論是對軸承理論的重要發展。但是，T.A.Harris同時也指出了它存在的兩個主要缺點［1］:

a）這種計算軸承表面滾動接觸疲勞壽命的方法不能與其他工程結構疲勞計算方法相關聯，即不具備通用性。

b）該種方法得出的結果不論外加載荷是多大，軸承的疲勞壽命總是有限的。然而實驗證明經過標準設計和采用高品質鋼材制造的軸承其無限長的疲勞壽命是實際存在的。

因此，該公式不能說明無限疲勞壽命，也就不完全適合結構疲勞預測。在超出試驗條件時，必須采用一些經驗壽命調整系數來進行改進。

1.2 滾子法向載荷和接觸應力的計算

由于滾動體的軌道速度和繞自身軸線的轉動，在滾動體和滾道之間會產生動力載荷。這種載荷在中、低速運轉下，與作用在軸承上的徑向載荷相比是很小的，因此在軸承壽命的經驗計算公式中轉速對結果并沒有影響;但對于高轉速來說，滾動體的動力載荷即離心力和陀螺力矩將改變作用載荷在滾子之間的分布。在直升機主減速器的第一級傳動中，由于輸入軸的轉速較大，因此在主減速器的第一級傳動中通常采用高速軸承。因此，在這里有必要對軸承受到的法向載荷進行詳細的求解計算。

在不計摩擦力矩和油膜作用的情況下，承受徑向載荷Fc的高速圓柱滾子軸承的滾子受載如圖1所示。

圖1 角位置ψj處的滾子載荷

圖中，Qij和Qoj分別為在任意角位置ψj處內、外滾道與滾子間的法向作用載荷;Fc為滾子受到的離心力;考慮力的平衡有:

式中，K為載荷位移系數;δ為接觸變形;對于以速度nm繞軸承軸線轉動的鋼制滾子，離心力Fc可表示為:

因為δrj=δij+δoj，式（4）可以被改寫為以下形式:

從受載軸承的幾何關系可以確定任意方位角ψj處的總徑向壓縮變形為:

式中，Pd為徑向游隙，將式（8）代入式（7），可以得到:

另外在軸承的徑向載荷作用方向，同樣滿足力平衡要求:

聯立式（9）和式（10）可求解由Z+1個方程構成的非線性方程組。采用Quasi－Newton法對平衡方程構成的非線性方程組進行迭代求解。

圖2 高速圓柱滾子軸承載荷計算流程圖

由于基于接觸應力法只考慮最大應力處的疲勞損傷，因此載荷Q應為軸承滾動體受到的最大載荷Qmax，即瞬時處于位置角ψ=0時的滾子與滾道間的載荷。

根據Hertz接觸應力理論，對于理想線接觸的兩圓柱體，其最大接觸應力σmax和接觸橢圓短半軸b為:

式中，∑ρ為曲率和函數;ξ為泊松比;E為彈性模量。

1.3 疲勞壽命曲線的確立

結構的疲勞特性通常采用S－N曲線來描述，即結構承受的載荷與其在該載荷下發生疲勞破壞所經歷的循環次數的關系曲線［5］。本文選用直升機設計中常用的三參數冪函數，即

式中，C和m為材料的常數，S0為材料的疲勞極限，對式（13）兩邊同時取對數有:

令A0=lgC，B0= －m，Y=lgN和X=lg（S－S0）代入式（14）中，可以得到線性方程:

圓柱滾子軸承的材料選取GCr15軸承鋼，查取《機械工程材料性能數據手冊》，其接觸疲勞性能數據見表1所示。

表1 GCr15軸承鋼接觸疲勞性能數據

GCr15軸承鋼的接觸疲勞極限為2 000 MPa，在線性坐標系下擬合可以得到存活率為50%、90%及99%時對應參數C和m的值，從而得到不同存活率下對應的S－N曲線方程。

2 接觸疲勞壽命實例分析與比較

圓柱滾子軸承在承受徑向載荷為15 000 N，材料為GCr15，軸承的主要參數如表2所示。

表2 圓柱滾子軸承的主要參數

改變圓柱滾子軸承的參數，通過建立在Lundburg和Palmgren的經典疲勞壽命理論得到的結果與基于接觸應力得到的疲勞壽命結果進行比較。

圖3至圖5是轉速在2 000 r/min情況下，改變圓柱滾子軸承設計參數得到的疲勞壽命。不難發現基于接觸應力得到的疲勞壽命與經典理論方法得到的疲勞壽命在趨勢上完全一致，且數值上也較符合，這充分說明了該方法的可行性。另外，在軸承設計參數趨于安全的情況下，基于接觸應力得到的疲勞壽命值變化更為明顯，即隨著軸承設計安全性的增強其壽命是趨于無限壽命的。這彌補了經典理論的不足。

圖3 滾子數目對軸承疲勞壽命的影響

圖4 徑向力對軸承疲勞壽命的影響

圖5 徑向游隙對軸承疲勞壽命的影響

圖6是基于接觸應力和經典疲勞壽命法分別隨轉速變化的疲勞壽命趨勢圖。可以發現:基于接觸應力得到的壽命值隨著轉速的增大，變化較經典理論方法更為明顯。這是因為接觸應力法在計算壽命時只考慮最大應力處的疲勞損傷狀況，而經典理論方法考慮的是內、外滾道與滾子間的載荷綜合狀況，這也是其變化趨于平緩的主要原因。由此可見，基于接觸應力法在針對高轉速圓柱滾子軸承疲勞壽命的計算中，其結果是趨于保守的，這也符合該方法偏于安全的特征。正是因為這樣的特點，使得其在航空附件的疲勞壽命評估中得到了廣泛的運用。

圖6 軸承轉速對軸承疲勞壽命的影響

3 結論

本文應用航空零部件疲勞定壽中常用的名義應力法，基于軸承的接觸應力對圓柱滾子軸承的疲勞壽命進行了預估算。考慮離心力等因素對軸承載荷的影響，并采用三參數冪函數方程計算得到了軸承的疲勞壽命。其結果與建立在Lundburg和Palmgren的經典壽命計算結果相符。充分說明了該理論運用于圓柱滾子軸承壽命計算的合理性。相較于經典理論，基于接觸應力得到的軸承疲勞壽命，在計算過程中更能體現出材料對疲勞壽命的影響，且在材料強度大或設計趨于安全的情況下能夠達到無限壽命，從而克服了經典理論無法獲得無限壽命的不足。

［1］Harris T A，M N Kotzalas.滾動軸承分析［M］.北京:機械工業出版社，2009.

［2］徐小平，何復超.滾動軸承疲勞壽命P－S－N曲線［J］.現代機械，1995（9）:1-3.

［3］ Liard F.Helicopter Fatigue Design Guide-AGARDograph，No292，1987.

［4］趙少汴，王忠保.疲勞設計［M］.北京:機械工業出版社，1992.

［5］穆志濤，曾本銀.直升機結構疲勞［M］.北京:國防工業出版社，2009.