交叉滾子轉盤軸承的非線性剛度分析

黃東升，顧克秋

（南京理工大學機械工程學院，江蘇南京 210094）

0 緒論

近年來，回轉軸承隨著主機行業的迅速發展而得到廣泛應用，現已經擴展到軍事裝備、港口機械、運輸機械等，已成為機械回轉裝置上不可或缺的重要部件之一。

隨著轉盤軸承在工程上的運用越來越廣泛，與之相應的強度，剛度及壽命分析的研究也凸顯出其重要性。交叉滾子轉盤軸承的非線性剛度，對于機械設備整體動力學分析至關重要。

1 轉盤軸承的經典赫茲解

1.1 理論計算條件假設

參照國內外軸承理論，在建模計算中進行如下假設:1）交叉滾子軸承外圈固定，載荷加載軸承內圈上;2）忽略交叉滾子軸承內外圈的整體變形;3）交叉滾子軸承轉速很慢，不考慮軸承上產生的附加動載荷;4）不考慮滾動體與內外圈之間的摩擦。

1.2 滾子線接觸剛度分析

在交叉轉盤軸承中，滾子與內外套圈的接觸為典型的有限長線接觸。滾子滾道線接觸的彈性趨近量是軸承分析中的基本公式。Hertz線接觸理論沒有像點接觸理論得到完善，用平面應變問題來處理無限長圓柱與彈性半空間的接觸，但沒能得到法向接觸變形的理論解。

Plamgren［1］給出的經驗公式:

式中:ν1，ν2為泊松比;E1，E2為彈性模量;Q為滾子載荷;LWe為滾子有效長度。對于鋼制軸承，有ν1=ν2=0.3，E1=E2=206Gp，于是有公式:

式（2）是Plamgren基于大量的實驗數據，處理分析所得。在滾動軸承工程運用中，得到了廣泛使用。但式（2）表明，無論滾子和套圈的直徑如何，都不改變彈性趨近量，即式（2）只與接觸間的載荷Q，滾子有效長度LWe有關，而與其余參量無關。很明顯，式（2）還需要改進。

鑒于Plamgren公式不能反映滾子和套圈直徑對彈性趨近量的影響，羅天宇和羅繼偉［2］研究了建立圓柱與彈性半空間模型，通過數值方法得到彈性趨近量—滾子直徑關系曲線，如圖1所示。

在Plamgren公式的基礎上，引入一個彈性趨近量—滾子直徑曲線的擬合項，得到最終式:

圖1 δ－DW曲線

式中，DW為滾子直徑;k=DW/dr，dr為滾道直徑。作為Plamgren公式的修正公式，已經得到驗證其實用性。

但是，對于忽略內外圈整體變形的假設，式（3）還不能直接使用，這是因為該式默認內外圈是柔性體。所以，推導得滾動體為柔體、內外圈為剛體的修正公式:

所以，將使用式（4）作為后續分析的基礎公式。

1.3 力平衡公式推導

軸承受力分析主要包括兩方面，1）單個滾動體與滾道間的接觸分析，由上文已經得到彈性趨近量分析結果;2）整個軸承在外載荷的作用下，各滾動體的受載分布，本節將討論這一問題。

對于大直徑的轉盤軸承，大多承受軸向和翻轉力矩，在工程運用中，如挖掘機，盾構機等，徑向所受到的載荷非常小，所以，本文不考慮徑向載荷，只分別建立承受軸向和翻轉載荷的模型。

首先，建立轉盤軸承在坐標系中模型，如圖2所示。

圖2 轉盤軸承在坐標系中

1）軸向力

根據轉盤軸承的靜力平衡條件:軸承中每個滾子分別對滾道產生的軸向力之和與軸承z方向所受的軸向力平衡如圖3所示。

圖3 轉盤軸承在受純軸向載荷變形

軸向位移為δa，則內外圈滾道間的位移為:

2）翻轉力矩

在翻轉力矩的作用下，內外圈發生相對轉動角度θ，且只有一半的滾柱承受載荷，如圖4所示。

圖4 轉盤軸承受純翻轉力矩載荷變形

內外圈滾道間的位移為:

整理式（9）、式（10）可以得到各滾動體變形協調方程:

對于每個承受載荷的滾動體，實際受到不同的軸向力，各滾動體軸向力對x軸的力矩之和，與翻力矩平衡，可得式（12）。

翻轉力矩平衡方程:

1.4 實例分析

本文研究的110.20.0990.001.04.03F1型交叉滾子回轉支承，其滾柱規格為D20*19.6mm，共58對116個滾柱，均布分布，接觸角α=45°;支承座內徑d=890mm，支承座外徑D=1075mm滾動體材料為GCr15，泊松比0.3，彈性模量206GMp。

1）軸向力

把各參數代入式（8）得:

2）翻轉力矩

把各參數代入式（11）得:

整理得:

把上式代入翻轉力矩平衡方程（12），得:

得到:

2 有限元方法計算

2.1 有限元模型簡化

對于交叉滾子轉盤軸承有限元模型，因為滾動體的數目是普通軸承的數倍，與內外圈接觸的數目隨之也增多，所以，非線性程度非常高，需要高配置硬件設備，給模型計算帶來極大困難。但可以根據各受力情況，對模型進行適當合理的簡化。

軸向力:因為滾動體只有圓柱面和內外圈接觸，所以只有一半的滾動體受到軸向載荷。可以建立1/58模型，對于不受力的滾動體不建立，如圖5所示。

圖5 承受軸向力的滾動體與外圈模型

翻轉力矩:對于承受翻轉力矩模型，外圈固定不動，內圈在載荷的作用下，發生傾斜。從每個滾動體的角度來考察，相當于每段內圈軸向向下位移，所以整個軸承模型只有一半的滾動體承受載荷，即相間的滾動體承受載荷。整個模型相對于zx面對稱，相對于yz面反對稱。所以，簡化成1/4模型，如圖6所示。

圖6 承受翻轉力矩的滾動體與外圈模型

2.2 有限元計算

1）網格劃分

為了保證接觸計算精度，采用三維六面體單元對幾何有限元網格劃分。對于徑向和翻轉力矩模型，如果采用同軸向模型一樣的單元尺寸和單元類型，模型大小會急劇加大，由于計算機硬件配置的限制，導致內存不夠無法計算。所以，必需進行簡化。

接觸區域采用C3D8I單元，單元大小不能大于接觸面半寬，接觸面半寬由Hertz線接觸理論求得。非接觸區域采用C3D4單元，單元大小采用比例縮減方式根據距離接觸區域遠近而變化。各工況網格如圖7所示。

圖7 模型網格

2）邊界條件

轉盤軸承模型中，包括大量的接觸的條件，是高非線性模型。不同的載荷，接觸區域大小不同，所以軸承的各向剛度都是非線性剛度。本文計算各不同載荷下，各方向的位移（角位移）。

在軸承的軸線上建立與內圈運動耦合的參考點，內圈的邊界條件和載荷加在此參考點上;外圈只加載邊界條件，它的載荷由滾動體傳遞，所以根據不同的載荷情況，相應地在外圈上定義邊界條件;滾動體在各自的徑向平面內保持不動，否則出現剛體位移，所以在各滾動體上定義徑向位移為零。

3）接觸定義

接觸問題是一種高度的非線性問題，接觸單元是覆蓋在分析模型接觸面上的單元層，有限元會通過所設定的接觸單元來識別可能的接觸對。

如圖8所示，因為內外圈是剛體，所以與滾動體接觸的套圈外表面是主面，滾動體上接觸面設為從面。對于接觸模型，軟接觸更能使模型收斂，但計算結果會使位移變大，剛度變小，結果與實際相差很大，所以采用是硬接觸，更接近實際情況。滾動體和內外圈間為光滑摩擦，即沒有摩擦力。

圖8 滾動體與外圈接觸定義

3 經典赫茲解與有限元結果比較分析

計算該模型經典赫茲解，及有限元模型并提取計算結果，如表1和圖9—圖12所示。

表1 各模型計算結果及剛度分析

由表1及圖9～圖12可知，文中所述理論計算方法所得結果和有限元所得結果比較吻合，使得經典赫茲解和有限元解相互驗證，為轉盤軸承的工程應用及選擇提供了依據。

圖9 赫茲解軸向剛度

圖10 有限元軸向剛度

圖11 赫茲解翻轉剛度

圖12 有限元翻轉剛度

無論是軸向剛度，還是翻轉剛度，都隨著載荷的增大而增大。這是因為隨著載荷的增大，接觸面積隨之增大，增強了抗變形能力。并且，隨著載荷增大，剛度的增加值逐漸變小。

4 結語

給出了基于經典赫茲理論的推導公式，并建立有限元模型對該推導公式進行驗證。同時，兩者結果都顯示了轉盤軸承非線性剛度的特性，為轉盤軸承的設計選擇提供了依據，具有一定的工程應用參考價值。

［1］Palmgren A.Ball and Roller Bearing Engineering［M］，3rd ed.Burbank，Philadelphia，1959.

［2］羅天宇，羅繼偉.圓柱滾子的彈性趨近量［J］.軸承 2009（6）:8-10.

［3］劉丹丹，韓紅彪，劉紅彬.三排滾柱式回轉支承有限元分析［J］.礦山機械2010（14）:58-62.

［4］石亦平，周玉蓉.ABAQUS有限元分析實例詳解［M］.北京:機械工業出版社，2007.

［5］定龍建，洪榮晶，高學海.基于ABAQUS的回轉支承非線性接觸研究［J］.煤礦機械2010（12）:68-70