三體量子系統態的可分離性判據

李嫦娥，陶元紅，丁巍巍

（延邊大學理學院 數學系，吉林 延吉 133002）

0 引言

量子糾纏現象被視為一種重要的物理資源.量子糾纏廣泛應用于量子處理，如量子計算、量子編碼、量子隱形傳態等[1］.關于糾纏態的數學結構和物理特性還沒有被完全了解.近年來，關于判斷糾纏態可分判據見文獻[2-11］.筆者給出三體量子系統密度矩陣所在線性空間的Hamel基，以及三體量子系統密度矩陣的表示形式，并提出三體量子系統密度矩陣可分離的一個判據.

1 預備知識

一個獨立的R維Hilbert空間上的厄米特算子總可以由單位算子I和特殊酉群SU（R）的生成元表示[2］.SU（R）的生成元可以用R×R陣初等矩陣構造，其中，為k行j列為1，其余元素為0的矩陣[2］.SU（R）群的一組典型生成元共有R2-1個，它們是跡為0的R×R階矩陣，不妨設為.這R2-1個典型生成元與R×R 階單位算子I一起構成線性空間MR（C）的一個完備的厄米特算子基

引理1.1[9］設SU（R）群的R2-1個獨立生成元為｛λi｜i＝1，2，…，R2-1｝，則

引理1.2[7］設單粒子量子態空間維數為R，ρ可以表示為，其中均為實數，且滿足

由于任意量子系統的密度算子都是半正定的厄米特算子，所以密度算子也可以由特殊酉群SU（R）的生成元和單位算子表示.

定義1.1 若三體量子系統A，B，C的量子態用密度矩陣ρABC描述，且，其中分別為系統A，B，C的密度矩陣，則稱可分；否則，稱為糾纏.

設T為任意矩陣，TT表示矩陣的T轉置，T＋表示矩陣T的轉置共軛，取T的Frobenius范數為

2 主要結論

首先研究三體量子系統密度矩陣所在線性空間的Hamel基，其次討論三體量子系統密度矩陣的表示形式，最后給出三體量子系統密度矩陣可分離的一個必要條件.

定理2.1 設三體量子系統A，B，C的空間維數分別為R1，R2，R3，則由矩陣組成的集合S是線性無關的，并構成線性空間的一個 Hamel基.

證明：為了證明集合S是線性無關的，先設

故（1）式可變為

因此有

因此得

由上述定理容易得到密度矩陣的表示形式.

其中，實系數為

給出三體量子系統密度矩陣的一個可分離判據.

對比式（5）與定理2.2式子的系數可得

不妨設

則由引理1.2和跡范數的凸性可知

為了驗證定理2.3的正確性，首先考慮Werner量子態.設Werner量子態的密度矩陣為ρ1，且

其中0≤p≤1.由文獻[4］可知，對于 Werner態ρ1，當時，ρ1是可分的.

證明：量子態ρ的矩陣形式為

則由定理2.3得Γρ的形式為

故定理2.3得到驗證.

3 結束語

首先，利用SU（R）群的R2-1個獨立生成元和單粒子量子態的表示形式，給出三體量子系統密度矩陣所在線性空間的Hamel基，以及三體量子系統密度矩陣的表示形式.其次，利用量子態表示形式中的表示系數，構造表示系數矩陣.在此基礎上，證明對任意三體量子系統密度矩陣ρABC，若ρABC是可分的，則其表示系數矩陣的Frobenius范數不超過1；若其表示系數矩陣的Frobenius范數大于1，則ρABC是糾纏的.最后，利用經典的Werner量子態，構造能夠例證文中定理和推論的例子.

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