混凝土噴射臺車工作臂逆向運動學研究

韓 勇，管會生

(西南交通大學機械工程學院，四川 成都 610031)

0 引言

混凝土噴射臺車是一種利用機械臂和壓縮空氣將混凝土輸送并噴射到施工面的自行式機械，被廣泛應用于隧道、礦山等地下工程的建設中。我國對混凝土噴射臺車的應用與研究始于20世紀70年代。近年來，不斷對國外混凝土噴射機械臂進行引進、消化、吸收再創新，目前已有幾家企業成功研制出混凝土噴射臺車，其綜合性能指標已達到了相當高的水平，可以滿足國內部分工程項目的需要。

在以往的研究中:文獻［1－2］總結了地下工程建設機械化施工技術;文獻［3－5］具體介紹了混凝土噴射臺車在隧道和礦山建設的應用、發展、施工工藝以及存在的技術難點。機械臂是混凝土噴射臺車的主要工作裝置，具有調節噴頭空間位置與姿態的功能。對于復雜的噴射路徑，需要有一套聯動控制的機制，控制各油缸動作，驅動機械臂的關節運動，使末端工作器按給定路徑移動。文獻［6］給出了機械臂數學模型化的方法;文獻［7］介紹了機械臂的控制技術;文獻［8－10］將機器人臂的分析技術應用于工程機械工作臂的研究，在已知臂關節參數變量的條件下計算出工作臂末端可達空間，提供了工程機械工作臂正向運動學的研究實例。

為解決機械臂末端執行器工作路徑控制的問題，需進一步研究噴射路徑與機械臂關節參數變量的關系。在噴射混凝土作業中，噴射路徑是依照工程需要預先給定的。因此，與文獻［8－10］不同的是，噴頭位置已知而機械臂關節運動過程未知。計算機械臂各關節參數將涉及到運動學逆向求解(文獻［8－10］屬于正向運動學求解)。

本文以Spraymec 9150 WPC型混凝土噴射臺車工作臂裝置作為研究對象，利用逆向運動學的方法，研究機械臂位姿參數與噴頭運動軌跡的關系。

1 混凝土噴射機械臂的結構與工作原理

Spraymec 9150 WPC型混凝土噴射臺車是由Normet公司開發的一種多功能隧道移動混凝土噴射設備，可用于橫截面積15～200 m2和高度為15 m的工作空間。該臺車工作裝置(如圖1所示)集高效能的機械臂和工作平臺于一體，主要由基座、大臂、平臺基座、人員操作平臺、小臂和噴頭等部分組成。

混凝土噴射作業步驟為:

1)臺車移動。駕駛員操作臺車進入噴射位置，放下支腿，固定臺車位置。

2)大臂動作。大臂油缸驅動大臂工作，將人員平臺送至噴射工作面。保證工作區域在小臂工作空間之內，且操作人員視野良好。

3)小臂動作。人員籃小臂將噴射頭送至噴射位置并采用S型路徑往返前進。同時，將混合均勻的混凝土輸送至噴頭，均勻噴射在工作壁面上。

圖1 Spraymec 9150混凝土噴射臺車機械臂(單位:mm)Fig.1 Working arm of Spraymec 9150 shotcreting machine(mm)

2 運動數學模型的建立

混凝土噴射機械臂可被看做由一系列轉動副和移動副連接而成的桿件組。在各桿件都不變形的前提下，在各桿件上確立對應的笛卡爾坐標系，并且保證坐標系與對應桿件相對固定，利用Denavait－Hartenberg(D－H)方法，以4×4的矩陣來描述某桿件與相對固定參考坐標系的三維幾何關系。將一系列空間關系矩陣按機構運動關系首尾相乘，就可以得到機械臂末端相對于基座坐標系的位置關系矩陣，最終建立混凝土噴射機械臂的位姿矩陣。具體步驟如下:

1)建立桿件坐標。除去油缸后的機械臂結構簡圖如圖2(a)所示，在桿件 Li(i=0，1，…，7)上固結坐標系XiYiZi。其中，桿件 L1—L4的 X坐標垂直向外桿，桿件L5—L7的X坐標垂直向內，X0Y0Z0坐標為地面，X7Y7Z7坐標為噴頭位置，噴頭原點被固結在小臂尖端中心位置。繪制的桿件坐標簡圖如圖2(b)所示。根據工作臂機構結構參數和桿件坐標可得到其桿件參數，各桿件參數如表1所示。

圖2 工作臂結構Fig.2 Structure of working arm

表1 機械臂桿件參數Table 1 Pole parameters of manipulator

2)建立空間位姿矩陣。XiYiZi坐標相對地面坐標系X0Y0Z0的空間位姿矩陣Li可表示為各桿件矩陣按順序首尾相乘的形式，為

式中:三行三列矩陣Ri3×3是XiYiZi坐標的姿態參數矩陣，決定其在空間中對應坐標系的姿態;(xi，yi，zi)T是位置參數矩陣，確定其空間位置坐標。

桿件矩陣i－1Ti有通式，為

根據機械臂桿件參數(如表1所示)，可知桿件矩陣0T1、1T2、2T3、3T4、4T5、5T6、6T7分別是關于變量 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7的函數。所以 7 個桿件矩陣可表示為:0T1(θ1)、1T2(θ2)、2T3(d3)、3T4(θ4)、4T5(θ5)、5T6(θ6)、6T7(d7)。

3 逆解方法

逆解問題是在目標矩陣位置參數已知的情況下，求整臂位置姿態——各桿件參數的問題。

混凝土噴射機械臂逆解的已知條件:小臂終端X7Y7Z7坐標相對于 X0Y0Z0坐標的位置(x7，y7，z7)。求解目標:機械臂各桿件參數變量(θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7)。

在無附加條件的情況下，顯然逆解將得到多組臂形解。為確定一組合理臂形解，將整臂逆解分為以下3步:

1)確定大臂終端點。根據噴射路徑，找到合適的人員平臺位置，確定大臂終端X4Y4Z4坐標(x4，y4，z4)。

2)確定大臂運動，解大臂桿件參數。根據大臂終端點坐標，解出大臂桿件參數矩陣0T1(θ1)、1T2(θ2)、2T3(d3)、3T4(θ4)。

3)求小臂桿件參數。將求出的大臂參數L4和已知參數X7Y7Z7的坐標(x7，y7，z7)代入整臂位姿矩陣，解得出小臂桿件矩陣4T5(θ5)、5T6(θ6)、6T7(d7)。

3.1 大臂終端位置

大臂臂形與人員平臺的位置有關，為找出大臂終端X4Y4Z4位置，應確定合理的人員平臺位置。

合理的人員平臺位置應滿足以下2個條件:

1)操作人員應有良好的操作視野。

2)噴射工作區域在小臂工作空間之內。

因此，人員平臺應位于噴射工作面中心(點Pc)正前方。噴射區域與人員平臺關系如圖3所示。圖中X4Y4Z4為大臂終端，該點與平臺底部連接。D為大臂終端與噴射區域中心點Pc的橫坐標距離，考慮小臂伸長距離，取值為2.5～3 m。Z為大臂終端與噴射區域中心點Pc的縱坐標距離，其取值與操作人員目視高度有關，可取1.4 ～1.6 m。

圖3 噴射區域與平臺位置關系Fig.3 Position relationship between working area and platform

確定人員平臺位置的步驟如下:

1)根據噴射路徑找出工作面中心nc。以隧道中線某處為坐標0點，在噴射路徑上均勻地取n個點Pn(xn，yn，zn)，通過式3可得到噴射中心點Pc的空間坐標(cx，cy，cz)。

2)求出人員平臺中心L點。以噴射隧道側墻為例，X4Y4Z4相對于 X0Y0Z0的空間位置坐標 (x4，y4，z4)為:

3.2 大臂參數求解

已知大臂末端坐標(x4，y4，z4)，大臂姿態就能被確定。在式(1)中，當取i=4，可得大臂末端(桿件4坐標X4Y4Z4)相對地面的位姿矩陣為:

考慮到人員平臺與地面水平，將條件θ1=－θ4代入式(5)，等式右側矩陣相乘可得:

提取式(6)中矩陣的位置參數可得:

經計算整理后可得出4個變量的解:

式中:A= －x4·sin θ1+y4cos θ1－a4;B=xz－d1－d4。

3.3 小臂參數求解

已算得大臂桿件參數矩陣L4，式(1)取i=7，可得小臂末端(桿件7坐標X7Y7Z7)相對地面的位姿矩陣

此時逆解整臂問題的未知量僅剩下3個小臂桿件參數 θ5、θ6、d7。計算可得出:

式中:C=cos θ1·x7+sin θ1·y7－sin θ1·y4－cos θ1·x4;D= － sin θ1·x7+cos θ1·y7－ cos θ1·y4+sin θ1·x4。

4 應用

按照實際噴射混凝土噴射工況［1］，在側墻上定義一條起點坐標為(5 000，3 800，7 800)的噴射路徑(如圖4所示)，根據該路徑計算機械臂各關節運動參數曲線。

圖4 噴射路徑(單位:mm)Fig.4 Shotcreting path(mm)

按逆向解方法求以上路徑對應各個運動副的參數曲線，過程如下:

1)在路徑上均勻取1 000個點;

2)求每個點對應的 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7值;

3)將每個關節的數據擬合成曲線，得到5條轉動副參數曲線和2條平移副參數曲線;

4)將 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7曲線以 ASCII碼的形式保存至 joint1.txt、joint2.txt、…、joint7.txt文件。

編寫Matlab程序實現上述功能，程序框圖如圖5所示。

圖5 程序運行框圖Fig.5 Program block

設定路徑上取點數n=1 000，計算步數為2 000。輸出仿真結果，得到轉動副參數曲線(見圖6)和平移副參數曲線(見圖7)。

5 虛擬樣機驗證

為論證逆解的正確性，設計虛擬樣機實驗來驗證逆解結果。

采用SolidWorks軟件進行三維建模，利用COSMOSMotion進行運動仿真實驗，從而驗證逆解方案。

根據預定噴射路徑，通過逆解求得了 θ1、θ2、d3、θ4、θ5、θ6、d7共 7 個變量曲線。利用正向運動學思想，將這些運動曲線賦值給機械臂的對應關節驅動電機，通過運動仿真，觀察機械臂末端的運動路徑與預定噴射路徑是否一致。

5.1 虛擬樣機的建立

利用SolidWorks軟件建立混凝土噴射機械臂各零件的簡化模型，除去油缸和銷軸，裝配整臂。在COSMOSMotion插件中，定義基座為靜止零件，其他零件為運動零件。軟件根據裝配條件生成如下運動副:轉動副joint1、轉動副joint2、移動副joint3、轉動副joint4、轉動副joint5、轉動副joint6、移動副joint7，然后在上述運動副上添加驅動電機。

將 joint1.txt、joint2.txt、…、joint7.txt文件以樣條曲線的形式依次導入至joint1、joint2、…、joint7對應的驅動電機中。

建立混凝土噴射機械臂虛擬樣機如圖8所示。

圖8 機械臂虛擬樣機Fig.8 Virtual prototype of manipulator

5.2 仿真結果

為觀察人員籃和小臂末端運動軌跡，分別在人員籃轉動基座和小臂第二節伸縮臂末端定義軌跡跟蹤［8］。

設置仿真時間為200 s，幀數為2 000，選擇積分器類型為GSTIFF。機構路徑仿真結果如圖9所示。

對比圖9和圖4，不難看出，正向仿真運動軌跡線和預先定義的噴射路徑相符合。該現象說明:按照逆解得到的各關節運動曲線可以驅動機械臂尖端按照預定路徑運動。

圖9 運動軌跡Fig.9 Trajectory

6 體會

本文運用幾何解法，給出了Spraymec 9150 WPC型混凝土噴射臺車工作臂的一種逆解方案，并設計了虛擬樣機實驗，對逆解結果進行驗證。驗正結果證明逆解正確，可作為同類機械臂末端執行器控制的參考。

本文建立數學模型時默認各桿件為剛性桿件，在真實桿件形變作用下，實際情況和理論計算存在一定偏差。如考慮桿件變形因素的影響，可使計算更精確。

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