時標上三階中立型動力方程的振動性與漸近性

尚仲平

（燕山大學繼續教育學院，河北秦皇島 066004）

時標上動力方程的研究可追溯到其創立者Hilger［1］，是當前國內外學者極為關注的新研究熱點.因為時標分析理論不僅能夠統一連續分析和離散分析，而且有著廣泛的應用背景.許多領域提出了大量這類的問題，例如：生態領域、自動控制領域、信息領域以及經濟領域等［2］.近幾年，時標上動力方程振動性的研究也取得了許多結果，如Saker等［3－8］討論了時標上二階動力方程的振動性，Li［9］研究了時標上一階中立型時滯微分方程的振動性，最近Hassan［10］又研究了時標上三階動力方程的振動性.但是上述文獻［3－7］所考慮的時標上的動力方程均不是中立型或變時滯的，本文所研究的動力方程更具廣泛性，同時在處理一些細節問題時采用了不同的方法，所得新結果推廣并發展了現有的一些結論.

首先給出一些基本的定義，見文獻［2］.

時標T是指實數R上的一個非空子集，對任意T，定義向前跳躍算子σ和graininess函數μ分別為σ（t）：＝inf｛s∈T：s＞t｝，μ（t）：＝σ（t）－t.當σ（t）＝t時，稱t是右稠密的，當σ（t）＞t時，稱t是右稀疏的.類似的，可定義向后跳躍算子e（t）∶＝sup｛s∈T：s＜t｝，以及左稠密、左稀疏.

稱函數f：T→R是rd－連續的，如果它在T上的右稠密點是連續的，且在T上的左稠密點左極限存在（為有限值），并記f∈Crd.

如果存在函數F（t），使得（t）＝fε（b），則定義s＝Fε（b）－Fε（a）.

關于時標上各種計算公式，請讀者參閱文獻［2］，本文不再列出.

本文考慮以下時標上三階非線性中立型變時滯動力方程

的振動性與漸近性，在此考慮的時標T是無上界的，即T具有［t0，∞）形式.其中β≥1是正奇整數的商，ε≥0，c≥0，c（t），a（t），p（t）是定義在T上的正實值rd－連續函數.

方程（1）的一個解x（t）稱為振動的是指它既不最終為正，也不最終為負，否則稱它為非振動（漸近）的.如果一個方程的所有解是振動的，就說該方程是振動的.

如果方程（1）是振動的或者是漸近的需要有以下3個條件成立：

（H1）時滯函數r（t）：T→T和τ（t）：T→T滿足且（τ·σ）（t）＝（σ·τ）（t）；

（H2）0≤p（t）＜1；

（H3）函數fε：T×R→R滿足ufε（t，u）＞0，并且存在時標T上正的rd－連續函數qε（t）使得

1 預備知識

引理1 假設x（t）是方程式（1）的一個最終正解，且下面的條件成立

則存在一個t1∈［t0，∞）使得：Ⅰ）y（t）＞0，yΔ（t）＞0，（a（t）yΔ（t））Δ＞0，t≥t1或Ⅱ）y（t）＞0，yΔ（t）＜0，（a（t）yΔ（t））Δ＞0，t≥t1成立.

證明 令

設x（t）是方程（1）一個最終正解，則存在t1≥t0使得x（t）＞0，x（r（t））＞0，x（τ（t））＞0，t≥t1.由式（4）得y（t）＞0，t≥t1.再由式（1）和（2）得

這表明c（t）｛［a（t）yΔ（t）］Δ｝β在［t1，∞）是嚴格單調減少的，下面證明c（t）｛［a（t）yΔ（t）］Δ｝y＞0，t≥t1.否則，則存在t2≥t1，使得c（t）｛［a（t）yΔ（t）］Δ｝β≤d＜0，t≥t2.那么兩邊同除以c（t）并開方，再從t2到t積分得

由式（3）知，當t→∞時，a（t）yΔ（t）→－∞，從而存在t3≥t2和負常數e，使得a（t）yΔ（t）≤e＜0，t≥t3，則有yΔ（t）≤e／a（t），t≥t3，對該式從t3到t積分得

當t→∞時，y（t）→－∞.這與y（t）＞0，t≥t1矛盾，因此c（t）｛［a（t）yΔ（t）］Δ｝β＞0，t≥t1.這意味著［a（t）yΔ（t）］Δ＞0，故a（t）yΔ（t）在［t1，∞）是嚴格單調增加的，從而有yΔ（t）＞0或yΔ（t）＜0.證畢.引理2 假設x（t）是方程（1）的解并滿足引理1中（Ⅱ），則存在t1∈［t0，∞）使得

證明 因為c（t）｛［a（t）yΔ（t）］Δ｝β在［t1，∞）是嚴格單調減少的，所以

證畢.

引理3 假設

并且x（t）是方程（1）的解，且滿足引理1中的（Ⅱ），則有.

證明 設x（t）是方程（1）的解，且滿足引理1中（Ⅱ），即y（t）＞0，yΔ（t）＜0，（a（t）yΔ（t））Δ＞0，t≥t1，則＝b≥0.下面證明b＝0，假設b＞0，從式（4）知存在t2≥t1，使得x（τ（t））≥b／2，t≥t2，且存在一個q（t）使得

從t2到t積分知當t→∞時，有c（t）｛［a（t）yΔ（t）］Δ｝β→－∞，與c（t）｛［a（t）yΔ（t）］Δ｝β＞0矛盾，所以又因為0＜x（t）≤y（t），所以

2 主要結果

定理1 假設式（4）和式（9）成立，且存在一個正的函數ψ使得ψΔ在［t0，∞）上是rd－連續的，則對充分大的t1∈［t0，∞），

其中δ（τ（s），t1）∶＝δ1（τ（s），t1）（δ2（τ（s）），則方程（1）的所有解振動，或漸近趨于零.

證明 假設方程（1）有一個非振動解x（t）.不失一般性，則存在t1∈［t0，∞），使得x（t）＞0，x（r（t））＞0和x（τ（t））＞0，t≥t1.由引理1知，或者條件（Ⅰ）成立，或者條件（Ⅱ）成立.如果條件（Ⅱ）成立，由引理3得limx（t）＝0.如果（Ⅰ）成立，有

t→∞

由式（4）得y（t）＝x（t）＋p（t）x（r（t））≤x（t）＋p（t）y（r（t））≤x（t）＋p（t）y（t），從而x（t）≥（1－p（t））y（t）.根據式（1）和式（2）有

定義廣義Riccati變換

則

利用鏈式法則，知（yβ（τ（t）））Δ≥β（yβ－1（τ（t）））yΔ（τ（t））τΔ（t），所以

因為yΔ（t）＞0，τΔ（t）≥0，所以y（τ（σ（t）））≥y（τ（t））.又由于（c（t）｛［a（t）yΔ（t）］Δ｝γ）Δ≤0，因此c（τ（t））［（a（τ（t））yΔ（τ（t）））Δ］β≥c（σ（t））［（ayΔ）Δ］β（σ（t）），應用這2個不等式，

所以

從t1到t積分得

當ψ（t）＝t和ψ（t）＝1時，相應得到以下2個推論.

推論1 假設式（3）和式（9）成立，對充分大的t1∈［t0，∞），有

成立，則方程（1）的所有解振動，或漸近趨于零.

推論2 假設式（3）和式（9）成立，對充分大的t1∈［t0，∞），

成立，則方程（1）的所有解振動，或漸近趨于零.

3 例子

本節利用例子對所得結果進行論證.考慮如下動力方程

其中β≥1是正奇整數的商，這里取，c＝0并設條件（H1）成立，顯然條件（H2），（H3）已滿足.

因此，由推論2可知方程（16）的所有解振動，或者漸進趨于零.

［1] HILGER S.Analysis on measure chains－a unified approach to continuous and discrete calculus［J］.Results Math，1990，18（1）：18－56.

［2] BOHNER M，PETERSON A.Dynamic equations on time scales：an introduction with applications［M］.Boston：Birkhuser，2001

［3] SAKER S H.Oscillation criteria of second－order half－linear dynamic equations on time scales［J］.J Comp Appl Math，2005，177（2）：375－387.

［4] SAKER S H.Oscillation of second－order nonlinear neutral delay dynamic equations on time scales［J］.Math Anal Appl，2006，187（2）：123－141.

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