基于量子理論的圖像中值濾波

謝可夫，許悟生

(湖南師范大學 a.計算機教學部；b.物理與信息科學學院，長沙 410081)

1 概述

1974年 Tukey在進行時間序列分析時提出中值濾波運算，隨后該方法被引入到圖像處理領域，與傳統的線性平滑濾波方法相比較，中值濾波能在有效地濾除脈沖噪聲的同時較好地保留圖像細節。因此，中值濾波成為實際應用中被廣泛使用的非線性圖像濾波技術。

傳統的中值濾波算法使用固定窗口在圖像中移動進行像素排序取中值運算，因此，窗口的大小將直接影響濾波的效果，理論可以證明，當窗口中所含噪聲像素點的數目大于和等于窗口元素數目的一半時，傳統的中值濾波不能有效地消除噪聲。此外，對檢驗點(移動窗口中心點)無條件的執行中值運算是影響傳統中值濾波效果的另一原因，顯然如果窗口中心點為非噪聲污染的像素點，或者排序中值對應的像素點與窗口中心的距離較遠，這種替代都將不可避免地造成對圖像細節的損壞。

對傳統中值濾波的改進一直受到業界的關注，因此，許多改進的中值濾波算法被提出，如遞歸中值濾波[1]、各種加權中值濾波[2-3]等。雖然這些改進有效地提高了中值濾波的效果，但對受大噪聲強度污染的圖像其其降噪能力卻仍不理想，事實上解決上述問題的關鍵在于2個方面：(1)引入自適應濾波機制，使窗口的大小和形狀能根據移動位置附近像素的局部特征自動調整；(2)采用有條件的中值運算，即窗口移動時僅對受噪聲干擾的像素點進行排序中值運算。而兩者之中如何讓窗口的大小和形狀隨圖像的局部特征變化是急需解決的關鍵問題。

近年來借鑒量子理論建立的、在當前計算機上實現的信息處理新算法收到學術界的關注，如量子信號處理、量子神經網絡、量子遺傳算法[4-7]和基于量子理論的圖像處理新算法[8-9]等。本文提出改進的中值濾波算法，沿用上述算法的思想，通過借鑒量子理論引入自適應濾波機制，并采用有條件中值運算對傳統的中值濾波算法進行改進。但值得強調的是這里所引入的量子理論的一些基本概念和操作僅考慮其數學意義上的合理性而不受量子系統自身的物理約束。

2 圖像的偽量子化

2.1 量子比特

一個量子比特(一個量子位)是一個有2個基態的雙態量子系統，若將這2個基態分別記為|0〉和|1〉，則一個量子比特即是由一對特定的標準正交基組成：

其中，a, b是2個復數，分別稱之為狀態|0＞和|1＞的概率幅，包含4個實參數，它的模方需要滿足歸一化條件：

在式(1)中，若 a= 1,b = 0或 a=0,b =1，態|ψq〉退化到|0〉或|1〉。在量子信息處理中，通常將基態|0＞和|1＞對應經典比特的 0和 1。當量子位處在一般的|ψq〉= a |0〉 + b |1〉描述的態時， |a|2和 |b|2分別表示對|qψ＞測量時獲得基態|0〉和基態|1〉的概率。

2.2 圖像的偽量子化表示

設 f( m, n)為一幅數字圖像， (m, n)∈ Z2，灰度級歸一化處理后， f( m, n)∈ [0,1]表示在位置 (m, n)∈Z2處圖像像素的灰度值。然而，從概率統計的觀點看，f( m, n)、1 ? f( m, n)也可分別表示在位置 (m, n)∈Z2處像素的灰度值為1和0的概率。這樣圖像 f( m, n)可用量子比特表示為：

其中，|0〉、|1〉表示經典比特“0”和“1”，它是量子系統中的 2個基態，分別對應圖像中的黑點(f( m, n) = 0,|f( m, n)〉 =| 0〉)和白點(f( m,n) = 1,|f( m, n)〉=| 1〉)。對非黑、白點)、分別為出現黑點|0〉和白點|1〉的概率幅，顯然式(3)的概率幅滿足歸一化條件式(2)。|f( m, n)〉稱為圖像 f( m, n)的偽量子化表示。

2.3 量子Hadamard變換

按量子理論[10]將量子 Hadamard門 H作用于式(1)的|qψ〉，可得：

由式(4)可知，利用 Hadamard門 H分別對黑點(|0〉)和白點(|1〉)進行操作，可得：

由上可知，若對黑、白點經過Hadamard變換后的新態矢H·|0〉和H·|1〉進行測量，則獲得|0〉的概率均為0.5。對而非黑、白點獲得|0〉的概率為：

3 改進的中值濾波算法

3.1 自適應窗口調整

文獻[11]提出一種均值濾波改進方法，這種改進方法在計算窗口移動位置的均值時，首先將窗口中灰度接近最大或最小值的像素點丟棄，然后計算余下點的均值，因為窗口中的最大和最小值很可能就是噪聲污染造成的，所以本文在自適應窗口調整中將采用這一思想。

下面以尺度3×3的窗口為例，說明所提出的自適應窗口調整原理?？紤]圖像中以(m, n)處像素為中心的一個尺度為3×3窗口，為書寫簡便，將(m, n)處像素的灰度值簡記為 fm,n，則該窗口的偽量子化表示形式為：

對上式窗口中的每一元素進行 Hadamard變換操作：

對上述窗口中的每一元素進行測量，取其獲得|0〉的概率 P|0〉( H · W3×3(| fm,n〉)為：

由式(6)可知，gm,n= 0.5(1 + 2。

對式(9)的窗口中的每一元素以0.5為閾值進行二值化處理，并將所有取值為1的點構造一個新的窗口，記為Wmed3。顯然窗口不一定是正方型，其大小和形狀將根據以(m, n)中心的3×3的窗口內像素的局部特征調整。這個Wmed3將為圖像位置(m, n)處的排序取中值窗口。對其它的窗口尺度，如 5×5、7×7，也可做相同處理。一般情況下尺度為3×3能更好地保留圖像的細節，因為取中值時被替代的像素與替代像素的距離將在一個單位內。

3.2 條件中值運算

為克服傳統的中值濾波算法對檢驗點無條件執行中值運算導致的圖像模糊，針對椒鹽噪聲的污染，改進的自適應中值濾波運算的算法描述如下：

If Wmed3=[0]//對 3×3無噪聲污染的黑、白區域 Wmed3//的所有元素為0

其中，[0]表示 3×3的全“0”正方形窗口表示，W3×3(m , n)是以(m, n)為中心的 3×3全“1”正方形窗口，Median表示求中值運算。

上述的改進中值濾波表示，在濾波過程中計算(m, n)處的輸出時，首先觀察(m, n)處像素點的灰度f( m, n)，若 f( m, n)是 W3×3(m, n)中的最大或最小值，表明該像素點可能受到噪聲污染，則在Wmed3中完成排序取中值運算，否之直接取 f( m, n)為(m, n)的濾波輸出。由于排序窗口Wmed3是一個動態窗口，因此所提出的改進中值濾波是一種自適應中值濾波。

椒鹽噪聲是噪聲幅度為0和1的脈沖噪聲，是脈沖噪聲的特例。對一般的脈沖噪聲，確定自適應的排序窗口Wmed3時，可在Hadamard變換前對 W3×3(m, n)窗口中每一像素的灰度做如下預處理：

其中，max和min分別為 W3×3(m, n)中像素的最大灰度值和最小灰度值，上述預處理后將根據 f′(m, n)構造 W3×3(| fm′,n〉)，然后進行 Hadamard變換確定(m, n)處的Wmed3。

4 仿真實例

圖1～圖 4為所提出的改進中值濾波的仿真實驗結果。其中，圖 1為加入不同強度的椒鹽噪聲后的Lena圖片，圖片分辨率為512×512像素；圖2和圖3分別為傳統的中值濾波和遞歸中值濾波對圖1的相應輸出結果；圖4為所提出的改進中值濾波輸出結果。

圖1 不同噪聲強度的圖像

圖2 傳統中值濾波算法的濾波結果

圖3 遞歸中值濾波算法的濾波結果

圖4 本文算法的濾波結果

由仿真結果可見，由于本文提出的改進中值濾波算法采用有條件的中值運算，因此能更好地保留圖像細節，使得輸出圖像非常清晰。同時通過圖 2～圖 4的比較表明，自適應濾波機制的引入使得改進的中值濾波的去噪能力更強，尤其是對大噪聲強度污染的圖像(如噪聲強度 0.5的結果比較)。此外，本文提出的改進中值濾波算法對噪聲的強度不敏感，即噪聲污染的強度對輸出結果影響甚微。

5 結束語

本文分析了影響傳統中值濾波算法性能的2個重要原因，并從這2個方面對傳統的中值濾波算法進行改進。仿真結果表明，與傳統的中值濾波和遞歸中值濾波相比，本文提出的改進中值濾波算法在更好地保留圖像細節的同時有更強的噪聲濾除能力。由此可見，借鑒量子理論的數學體系和處理機制來改進傳統的算法以提高其性能是一個值得研究的課題，后續研究將集中于基于量子理論的圖像金字塔分解，通過借鑒量子疊加態建立像素之間的關聯來實現圖像分解，并將其應用于數字圖像的融合。

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