基于四元數的雙彩色圖像盲水印算法

姚 濤，蘇慶堂，闕大順

(1.魯東大學信息與電氣工程學院，山東 煙臺 264025；2.武漢理工大學信息學院，武漢 430063)

1 概述

隨著數字多媒體技術的發展，數字水印技術被認為是解決版權問題的一種有效方式[1]。圖像水印的相關研究成果已經很多，但大多集中在灰度圖像水印技術。計算機技術、通信技術和多媒體技術的發展使得在實際應用中彩色圖像占據了主導地位，而關于這方面的研究成果卻很少，其中比較典型的算法[2-4]有：

(1)單通道法：根據人眼對RGB顏色模型中藍色分量變化不敏感的特性，通過修改彩色圖像的藍色分量值或對其變換到變換域，在變換域中嵌入水印信息；或把彩色圖像由 RGB顏色模型變換到 YUV或YCbCr顏色模型，然后在人眼不敏感的亮度分量中嵌入水印。這類算法保證了水印的不可見性，但是嵌入的水印信息量較少。

(2)多通道法：對彩色圖像R、G、B 3個分量分別做離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform,DFT)、離散余弦變換(Discrete Cosine Transform,DCT)、離散小波變換(Discrete Wavelet Transform,DWT)和 Contourlet變換后，把水印信息嵌入到頻域系數中[5-6]。雖然這類算法可以把水印擴展到整幅圖像中，但還是把像素的各個分量分離了，沒有考慮到像素各個分量之間的聯系，而且算法需要對彩色圖像的各分量分別做變換和嵌入，計算量較大。

四元數理論在圖像處理、人工智能、計算機視覺、模式識別等領域有著廣泛的應用[7-10]。近年來，四元數理論在彩色圖像處理方面的應用尤為突出。四元數分為實部和虛部兩部分，其中，虛部又分為i、j、k 3個部分，可以使彩色圖像的 R、G、B 3個分量作為這3個虛部分量，而四元數的實部為0。此時進行基于四元數的離散傅里葉變換，算法始終將彩色像素作為一個整體來處理，在具有良好的不易感知性的同時，也保證了算法的魯棒性。

本文提出一種基于四元數理論的雙彩色圖像水印算法，通過對彩色宿主圖像和水印圖像分別進行離散四元數傅里葉變換(Discrete Quaternion Fourier Transform, DQFT)得到其頻譜，并置亂水印圖像頻譜系數，然后根據DQFT的特性，選擇適當的頻域系數進行彩色水印圖像的嵌入。

2 四元數

四元數可以看成是復數的推廣，它包括1個實部和3個虛部，也稱為超復數，可視為特殊的clif-ford代數，近年來在圖像處理中得到廣泛的應用。

一個四元數可表示為：

其中， a0r,a1, a2,a3∈R；3個虛數i、j、k滿足：

四元數q還可用幅值和相位表示為：

一幅大小為 M×N的 RGB彩色圖像 f( m, n),m ∈ [0,M ? 1], n ∈ [0,N ? 1]用四元數表示為：

其中，實部 fr(m, n) =0；fi( m, n)為R分量；fj(m, n)為G分量；fk(m, n)為B分量。

由式(2)可以看出，四元數的乘法不滿足交換律。因此，圖像處理中常用的離散傅里葉變換的四元數有3種定義形式[11]：

(1)雙邊變換

(2)左邊變換

(3)右邊變換

四元數傅里葉變換中需要2個獨立的iμ，且計算量明顯大于單邊DQFT，迄今為止還沒有數據表明這2類變換的優劣，因此，本文算法采用左變換來實現。

左邊變換對應的逆變換定義為[12]：

其中，μ為單位向量；(u, v)和(m, n)分別為頻域和時域中的坐標。

這里把 f( m, n)稱為空間域，F( u, v)稱為頻率域，F( u, v)也是一個四元數，可表示為：

3 水印圖像預處理

混沌序列是一種偽隨機序列，具有各態歷經性、非周期性、寬頻譜性等特點，所以，用它加密的信息很難破譯，能大大提高算法的安全性。混沌序列易生成，對初始條件敏感，初值產生很小的變化即會產生完全不同的混沌序列。因此，混沌被廣泛應用于信息的置亂、加密和隱藏領域。

常見的Logistic混沌序列具有以下優點：

(1)序列的統計特性等同于白噪聲。

(2)只需要混沌映射參數和初始條件就可重現混沌序列，因此，不必浪費空間存儲整個混沌序列。

(3)利用混沌系統對初始條件的敏感特性，可獲得數量很多的混沌序列。

(4)幾乎不可能從有限長數據中推斷出混沌序列的初始條件，因此，無法解密，而這對信息安全非常重要。

4 嵌入及提取算法

4.1 嵌入算法

水印的嵌入過程分為以下3步：

(1)分別選取合適的參數 μ對 I（ x, y） 和 W（ m , n）做DQFT變換，得I( u, v)和W( u, v)。

(2)利用混沌序列分別對水印圖像變換后的低頻、中頻和高頻系數做置亂處理，得到置亂后的系數W′( u, v)。

(3)在頻域 I（ u, v） 中嵌入W′( u, v)，為了減小嵌入強度對透明度的影響，在嵌入水印時采用脈沖編碼調制(Pulse Code Modulation, PCM)中的方法實現系數的量化。

嵌入過程如下：

首先利用量化的方法對W′( u, v)系數進行 8位量化編碼，再把編碼每個量化后的8位系數分為4組，每組 2位(為了描述方便，記為 bibj)。在低頻系數、中頻系數和高頻系數中選擇合適的頻域系數分別嵌入水印的低頻系數、中頻系數和高頻系數的4組編碼數據，把載體圖像頻域 I（ u, v）系數C量化到最近的數值。具體算法如下：

其中，Q可根據低頻、中頻和高頻系數的大小分別取不同的量化值，由此得到嵌入水印后圖像的頻域I′（u, v） 。

(4)對 I′（u, v）做反 DQFT變換得到的空域圖像I′（x, y） 即為嵌入水印后的圖像 I ′（x, y） 。

4.2 提取算法

提取算法為嵌入算法的逆過程，如圖1所示。

圖1 水印提取過程

5 實驗結果與分析

本文利用Matlab7.0進行仿真實驗。原始載體圖像為 512×512像素的彩色 Lena圖，如圖 2(a)所示，水印圖像為 64×64像素的彩色 baboon圖，如圖 2(b)所示，參數Q=16，嵌入水印后的圖像如圖2(c)所示。無攻擊時提取水印圖像，實驗結果如圖2(d)所示。

實驗中采用峰值信噪比PSNR來定量分析算法的性能，PSNR定義如下：

其中，X是原始載體圖像；Xw是嵌入水印后的圖像；MSE是均方誤差計算公式：

其中，M、N分別是圖像的高和寬。PSNR值越大，說明隱藏信息的透明性越好。

本文采用歸一化相似度NC定量評價算法的魯棒性，NC的定義如下：

其中，Q值分別取低頻、中頻和高頻系數分量均值的0.06倍、0.08倍和 0.12倍，嵌入水印的圖像的PSNR=38.025 3，無攻擊時提取水印的NC=0.999 8。

攻擊測試實驗結果如表1所示。從中可以看出，本算法可以在各頻率分量自適應地嵌入水印，在低頻分量嵌入水印的低頻分量，在保證算法不可見性的同時，提高了算法的魯棒性。低頻分量集中了圖像的大部分能量，在此嵌入水印，魯棒性較高，所以，本文算法嵌入水印圖像的低頻分量，提高了算法的魯棒性。而中頻分量和低頻分量能量相對較少，嵌入強度加大，也提高了算法的魯棒性。因此，與傳統水印算法相比，本文算法嵌入容量較大，并且在保證不可見性的同時，對常見的攻擊具有較強的魯棒性。

表1 提取水印實驗結果

6 結束語

本文提出一種基于離散四元數傅里葉變換的雙彩色圖像數字水印算法。首先對彩色宿主圖像和水印圖像分別進行離散四元數傅里葉變換得到其頻譜，然后利用3個互不相關的混沌序列分別對水印頻域進行置亂，最后通過選擇適當的頻域系數，實現彩色水印圖像的嵌入。實驗結果證明，該算法在保證水印透明性的同時，具有較強的魯棒性。另外，提取算法的版權水印時不需要原始載體圖像，因此，屬于盲水印技術。

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