三次B樣條曲線插補(bǔ)技術(shù)修正算法*

張萬(wàn)軍 胡赤兵 鄔再新 張 峰 張國(guó)華 王保民

（①蘭州工業(yè)化設(shè)備有限公司，甘肅蘭州730050;②蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅蘭州730050;③蘭州理工大學(xué)數(shù)字制造技術(shù)與應(yīng)用省部共建教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，甘肅蘭州730050）

對(duì)于曲面處理而言，NURBS是目前流行的自由曲線與自由曲面的表達(dá)式，但其生成原理和表達(dá)式相對(duì)較為復(fù)雜。B樣條計(jì)算量大，特別是非均勻有理B樣條（NURBS），將嚴(yán)重影響運(yùn)動(dòng)的響應(yīng)時(shí)間。為了減少計(jì)算量，主要研究三次均勻有理B樣條曲線。而三次B樣條曲線由于能夠滿足處理一般工程問(wèn)題的需要（當(dāng)特征點(diǎn)或型值點(diǎn)之間的距離比為1/3～3時(shí)，其與三次NURBS曲線的差異很小）且計(jì)算簡(jiǎn)便［1］，因此三次B樣條曲線是工程上廣泛采用的曲線構(gòu)造方法和工程技術(shù)人員解決相關(guān)問(wèn)題的首選。

對(duì)于三次B樣條曲線插補(bǔ)算法的研究已有大量的文獻(xiàn)，其中許多算法都是為了力求在計(jì)算機(jī)上快速產(chǎn)生曲線而設(shè)計(jì)的，三次B樣條曲線大多數(shù)采用解三角方程組的方法，如遞推耦合法、循環(huán)約化法、矩陣分解法的并行算法，但對(duì)于多核計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)不一定都適用［2］。姚哲［3］提出一種基于泰勒公式的用于實(shí)時(shí)控制的任意空間參數(shù)曲線插補(bǔ)方法，葉伯生［4］提出NURBS曲線曲面得到廣泛應(yīng)用。這些文獻(xiàn)都是關(guān)于NURBS曲線曲面插補(bǔ)參數(shù)遞推的插補(bǔ)，泰勒展開(kāi)式一階、二階求解比較復(fù)雜，加工誤差較大。本文主要針對(duì)三次B樣條曲線的表達(dá)式泰勒公式展開(kāi)式一階、二階展開(kāi)式，修正調(diào)節(jié)插補(bǔ)增量Δu與插補(bǔ)速度v的關(guān)系，以達(dá)到修正改進(jìn)原三次B樣條曲線插補(bǔ)的目的。Δu與插補(bǔ)速度經(jīng)實(shí)例驗(yàn)證表明該插補(bǔ)算法可以提高插補(bǔ)運(yùn)算效率，大大地節(jié)約計(jì)算時(shí)間，從而實(shí)現(xiàn)樣條曲線的快速插補(bǔ)。

1 三次B樣條曲線的數(shù)學(xué)定義

近年來(lái)，以 NURBS（Non－Uniform Rational BSpline非均勻有理B樣條）為內(nèi)部描述的自由曲線曲面造型技術(shù)得到廣泛的應(yīng)用和發(fā)展。NURBS不僅能精確統(tǒng)一地表示標(biāo)準(zhǔn)解析曲線和自由曲線，而且它的控制能力也是十分強(qiáng)大、靈活的。鑒于此原因，國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織（ISO）將NURBS方法定為STEP中的唯一數(shù)學(xué)方法。

NURBS曲線一分段的矢值有理多項(xiàng)式函數(shù)，其表達(dá)式為［5］

式中:di（i=0，1，…，n）為控制點(diǎn)，又稱德?tīng)柌键c(diǎn)，每個(gè)控制點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)相應(yīng)權(quán)的權(quán)因子ωi。U=［u0，u1，…，un+k+1］稱為節(jié)點(diǎn)矢量，Ni，k（u）為k次規(guī)范B樣條基函數(shù)（對(duì)于本文涉及的三次NURBS曲線，k=3），是關(guān)于節(jié)點(diǎn)矢量的函數(shù)，其遞推公式中ωi為權(quán)因子（i=0，1…，n），di，k（u）分別控制頂點(diǎn)相聯(lián)系（i=0，1…，n），Ni，k（u）為k次樣條基函數(shù)。按 Cox－de Boor遞推公式確定的k次規(guī)范B樣條基函數(shù)，可由下式遞推計(jì)算［3］:

式中，ui是節(jié)點(diǎn)值，且為非減序列，U=|u0，u1，…，un+k+1|構(gòu)成了k次（k+1）B樣條基函數(shù)的節(jié)點(diǎn)矢量，每一基函數(shù)由對(duì)應(yīng)的k+2個(gè)節(jié)點(diǎn)確定。式（2）表明，高次B樣條曲線可用低次B樣條函數(shù)來(lái)表示，由此遞推且節(jié)點(diǎn)數(shù)目由控制頂點(diǎn)di（i=0，1，…，n）和曲線次數(shù)k確定（節(jié)點(diǎn)數(shù)目是m=n+k+2，n為控制項(xiàng)的點(diǎn)數(shù)，k為B 樣條基函數(shù)的階數(shù)）［6］。

在式（2）中B樣條曲線的方程式令k=3時(shí)，將式（1）改寫為

將式（3）寫成矩陣的形式:

其中1 ～3 次系數(shù)矩陣Nk（k=1，2，3;i=0，1，2，3）分別為:

這樣，式（2）不用遞推即可展開(kāi)，即可得到上述矩陣形式（二次均勻B樣條曲線）:

同理可得到三次B樣條曲線的方程形式:

2 三次B樣條曲線修正的算法

式中:H.O.T.是指 Taylor展開(kāi)的高階項(xiàng)（High Order Terms）。

2.1 泰勒公式一階展開(kāi)式的近似計(jì)算

設(shè)v為沿曲線的進(jìn)給速度，可由曲線對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得到［6－9］:

本算法針對(duì)三次B樣條曲線參數(shù)的插補(bǔ)，采用快速遞推的近似算法來(lái)預(yù)估新插補(bǔ)點(diǎn)的參數(shù)時(shí)，發(fā)現(xiàn)泰勒公式展開(kāi)式的一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)在每個(gè)插補(bǔ)周期T內(nèi)有相等的微小增量Δu，參數(shù)增量周期T恒定，Δu與插補(bǔ)速度v有關(guān)，因此本文提出三次B樣條曲線修正插補(bǔ)算法。根據(jù)泰勒公式展開(kāi)式（二階展開(kāi)式）得:

因此，u對(duì)t的一階導(dǎo)數(shù)可以表示為

將式（9）、（10）代入式（8）得到泰勒公式一階展開(kāi)式的近似計(jì)算公式為

當(dāng)插補(bǔ)周期T→0時(shí)，ui+1≈ui，可以滿足泰勒公式一階展開(kāi)式插補(bǔ)近似迭代。

2.2 泰勒公式二階展開(kāi)式的近似計(jì)算

進(jìn)一步求導(dǎo)可以得u對(duì)t的二階導(dǎo)數(shù):

設(shè)NURBS B曲線表示為p（u），則該曲線上參數(shù)u=ui的曲率為

所以該點(diǎn)曲率半徑Ri為

當(dāng)Ri→∞，即k→0時(shí)，則有:

如果曲線曲率半徑很小，便可以滿足泰勒公式二階展開(kāi)式插補(bǔ)近似迭代［10］

由式（11）、（18）可知，插補(bǔ)增量Δu由進(jìn)給速度V和插補(bǔ)周期T決定，在每一個(gè)插補(bǔ)周期中弦長(zhǎng)不變，則插補(bǔ)周期是不變的。

3 插補(bǔ)算法流程圖

在NURBS曲線時(shí)間分割插補(bǔ)的過(guò)程中，首先設(shè)置插補(bǔ)條件以及初始化參數(shù)，通過(guò)循環(huán)計(jì)算每一步的參數(shù)值，得到新的數(shù)據(jù)點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)插補(bǔ)。同時(shí)，在插補(bǔ)的過(guò)程中要使弓高誤差保持在一定范圍內(nèi)，保證插補(bǔ)進(jìn)度實(shí)現(xiàn)插補(bǔ)運(yùn)算［11］。要使上面的插補(bǔ)算法實(shí)現(xiàn)，具體的插補(bǔ)算法的流程圖如圖1所示。

4 算法實(shí)例及分析

4.1 插補(bǔ)算法實(shí)例

任意輸入一組三次B樣條曲線的參數(shù)，在數(shù)控機(jī)床中實(shí)現(xiàn)插補(bǔ)。例如由參數(shù)U=［0 0 0 0 0.45 0.636 0.742 1］控制頂點(diǎn)d0（0，0，1），d1（25，30，6），d2（50，50，16），d3（65，60，22），d4（77，70，30），相應(yīng)權(quán)因子ω=［1.6 1.7 0.7 1.25 0.6 0.85 1 1.2 1.2］

調(diào)用仿真程序，讀取NURBS插補(bǔ)G代碼G06.2，NURBS.txt'，rt'在數(shù)控機(jī)床中完成插補(bǔ)。

對(duì)此自由NURBS曲線進(jìn)行實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)軌跡仿真插補(bǔ)，其最后結(jié)果如圖2所示。

4.2 插補(bǔ)算法分析

根據(jù)前面文章中給出的任意點(diǎn)三次B樣條曲線插補(bǔ)參數(shù)，做出原曲線與修正曲線的輪廓誤差圖如圖3所示。

表1 修正后的曲線與原曲線精度誤差分析

從圖3可以看出，修正后的三次B樣條曲線實(shí)現(xiàn)了快速插補(bǔ)運(yùn)算。減小了輪廓誤差，但仍需要對(duì)新修正的插補(bǔ)算法與原插補(bǔ)算法做如表1所示的精度誤差分析。

由表1可知，該插補(bǔ)算法減小了插補(bǔ)誤差，提高了插補(bǔ)精度，節(jié)約了插補(bǔ)時(shí)間，同時(shí)也提高插補(bǔ)運(yùn)算的效率，滿足插補(bǔ)的要求。

5 結(jié)語(yǔ)

（1）分析了三次B樣條的泰勒公式一階、二階展開(kāi)式在插補(bǔ)周期一定的情況下，插補(bǔ)增量只與插補(bǔ)速度有關(guān)，通過(guò)改變插補(bǔ)增量可以達(dá)到插補(bǔ)修正的目的。并結(jié)合具體實(shí)例在MATLAB 7.0上驗(yàn)證該算法是正確的，達(dá)到了參數(shù)修正的目的。

（2）該插補(bǔ)算法簡(jiǎn)化了三次B樣條曲線數(shù)學(xué)遞推公式推導(dǎo)的過(guò)程，實(shí)現(xiàn)樣條曲線的快速插補(bǔ)，對(duì)應(yīng)用該插補(bǔ)算法解決三次B樣條曲線等重大的工程問(wèn)題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

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