最小二乘法在熱電偶熱電勢校準(zhǔn)中的應(yīng)用

趙楠，吳方，劉丹英

(中航工業(yè)北京長城計(jì)量測試技術(shù)研究所，北京 100095)

1 問題的提出

熱電偶廣泛應(yīng)用在熱處理爐控溫和溫場測試領(lǐng)域，這些熱電偶都需要經(jīng)過計(jì)量部門校準(zhǔn)。為了降低校準(zhǔn)成本，使用方可以選擇幾個(gè)常用溫度點(diǎn)對熱電偶進(jìn)行校準(zhǔn)，其他所需溫度點(diǎn)的熱電動勢數(shù)值使用多項(xiàng)式曲線擬合法確定[1]，因此最優(yōu)擬合的階次就成為研究的重點(diǎn)。本文通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)的比較給出了使用多項(xiàng)式擬合法進(jìn)行熱電偶熱電勢值計(jì)算時(shí)的最佳階次，并對多項(xiàng)式擬合結(jié)果進(jìn)行不確定度評定。

2 多項(xiàng)式擬合結(jié)果

依據(jù)熱電偶檢定規(guī)程[2－3]，每支熱電偶一般只檢定3～4個(gè)溫度點(diǎn)，以廉金屬熱電偶為例，在已知四個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)熱電勢情況下，根據(jù)最小二乘法擬合原理，利用Matlab模擬求得一階多項(xiàng)式擬合、二階多項(xiàng)式擬合、三階多項(xiàng)式擬合、四階多項(xiàng)式擬合、五階多項(xiàng)式擬合、六階多項(xiàng)式擬合、七階多項(xiàng)式擬合的非校準(zhǔn)點(diǎn)的實(shí)測值與擬合值的差值如表1、表2所示。其中，表1為已知N型熱電偶在550，700，830，1000℃熱電勢情況下，求得690，970，1100℃各階次多項(xiàng)式擬合中實(shí)測值與擬合值的差值;表2為已知K型熱電偶400，600，800，900℃熱電勢情況下，求得300，500，1050℃各階次多項(xiàng)式擬合中實(shí)測值與擬合值的差值。各階次多項(xiàng)式擬合誤差平方和如圖1、圖2所示。

表1 N型熱電偶多項(xiàng)式擬合誤差表

圖1 N型熱電偶多項(xiàng)式擬合結(jié)果分析圖

表2 K型熱電偶多項(xiàng)式擬合誤差表

圖2 K型熱電偶多項(xiàng)式擬合結(jié)果分析圖

從表1、圖1和表2、圖2中可以看出:

1)利用多項(xiàng)式擬合曲線時(shí)，選擇二階擬合時(shí)各測試點(diǎn)擬合誤差的平方和最小，為最小二乘擬合的優(yōu)選階次[4]。

2)利用多項(xiàng)式擬合曲線，內(nèi)插溫度點(diǎn)擬合結(jié)果與實(shí)測值差別不大，外推溫度點(diǎn)擬合結(jié)果與實(shí)測值差別相對比較大，使用時(shí)應(yīng)盡量避免使用多項(xiàng)式擬合方法求得外插溫度點(diǎn)熱電勢值。

3)在兼顧降低校準(zhǔn)成本和保證實(shí)際使用溫度點(diǎn)結(jié)果可靠的情況下，只需校準(zhǔn)使用溫度范圍的上下限及中間溫度點(diǎn)，利用這三個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)求得二階擬合曲線，從而求得其他非校準(zhǔn)點(diǎn)的方法是可以滿足校準(zhǔn)需求的。

3 二階擬合結(jié)果的不確定度評定

由于目前對校準(zhǔn)結(jié)果的表示要求越來越規(guī)范，要求每一個(gè)校準(zhǔn)結(jié)果均應(yīng)有一個(gè)不確定度與之相對應(yīng)，因此需要對非校準(zhǔn)點(diǎn)的擬合結(jié)果進(jìn)行不確定度評定。

本文使用熱電偶測量溫度范圍的上下限及中間溫度點(diǎn)的校準(zhǔn)結(jié)果，確定二階擬合曲線，求得非校準(zhǔn)點(diǎn)擬合結(jié)果及其不確定度。

假設(shè)已知的三個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)為t1，t2，t3，在這三個(gè)分度點(diǎn)上進(jìn)行校準(zhǔn)得到的修正值分別為 Δt1，Δt2，Δt3，而實(shí)際需要應(yīng)用的分度點(diǎn)為t，通過二次多項(xiàng)式擬合得到的修正值為Δt。

所以可得

由于u(Δt1)，u(Δt2)，u(Δt3)是已知的校準(zhǔn)溫度點(diǎn)，的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，因此可以通過公式 (7)得出該分度點(diǎn)的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。

4 結(jié)論

在熱電偶熱電勢校準(zhǔn)時(shí)，利用二階多項(xiàng)式進(jìn)行最小二乘擬合時(shí)擬合精度最高。只需在熱電偶使用溫度范圍的上下限及中間溫度點(diǎn)校準(zhǔn)，并進(jìn)行最小二乘擬合從而求得其他非校準(zhǔn)點(diǎn)的熱電勢值，大大降低了校準(zhǔn)成本，同時(shí)能夠保證校準(zhǔn)數(shù)據(jù)可靠。本文同時(shí)對這一擬合結(jié)果進(jìn)行了不確定度評定，這對滿足國際要求、實(shí)現(xiàn)每一個(gè)校準(zhǔn)結(jié)果均應(yīng)有一個(gè)擴(kuò)展不確定度與之相對應(yīng)具有一定的理論指導(dǎo)意義和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

[1]王建新，楊世風(fēng)，隋美麗.Labwindows/CVI測試技術(shù)及工程應(yīng)用[M].北京:化學(xué)工業(yè)出版社，2006.

[2]國家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局.JJG351－1996工作用廉金屬熱電偶檢定規(guī)程 [S].北京:中國計(jì)量出版社，1996.

[3]國家質(zhì)量技術(shù)監(jiān)督局.JJG141－2000工作用貴金屬熱電偶檢定規(guī)程 [S].北京:中國計(jì)量出版社，2000.

[4]趙楠，劉丹英.基于最小二乘法的熱電偶特性擬合方法[J].工業(yè)計(jì)量，2013(2):45－47.

[5]馬松齡.最小二乘法在熱電偶熱電勢—溫度特性線性化中的應(yīng)用[J].西安建筑科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2001，3(1):86－88.

[6]徐耀松，付華，王丹丹.基于數(shù)字采集卡的虛擬測溫系統(tǒng)[J].工業(yè)控制計(jì)算機(jī)，2004，17(3):64－65.