線性調頻信號激勵過阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振現象研究*

彭皓 鐘蘇川 屠浙 馬洪

(四川大學數學學院,成都 610065)

(2012年9月13日收到;2012年12月18日收到修改稿)

1 引言

1981年,Benzi等[1,2]在研究地球冰川期變化機制的過程中,發(fā)現了一種奇特的現象,即隨著噪聲強度的增大,系統(tǒng)的輸出信噪比呈現出先增大后減小的非單調變化,此后該現象被稱為隨機共振.隨機共振揭示出噪聲對序結構的建設性,顛覆了人們以往對噪聲只具有破壞性的認識,故而在信號處理中展示出良好的應用前景,引發(fā)了一輪研究熱潮.但在研究早期,受限于Benzi等發(fā)現隨機共振時所用的模型,學者們普遍認為隨機共振是非線性系統(tǒng)、周期信號及噪聲的一種協(xié)同效應,三者缺一不可,這使隨機共振的研究范圍非常有限[3-6].

1995年,Collins等[7,8]將隨機共振與信息理論相結合,提出了非周期隨機共振理論,該理論以平均互信息量、誤碼率及信道容量等作為研究隨機共振的測量手段,巧妙地解決了因非周期信號不適宜以頻域信噪比作為衡量是否產生隨機共振的測量手段的問題.但由香農信息理論可知,不具有隨機性的信號是沒有信息量的,故線性調頻信號本身不攜帶信息,這使得我們無法沿用Collins等的方法來研究線性調頻信號激勵下系統(tǒng)的隨機共振現象.

為此,本文嘗試改造Collins的方法,利用線性調頻信號在最優(yōu)分數階Fourier變換域上的能量聚集性,提出以分數階Fourier變換域上定義的信噪比作為測量手段來研究線性調頻信號疊加高斯白噪聲激勵過阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振現象.

2 系統(tǒng)模型及其隨機共振機理分析

線性調頻信號疊加高斯白噪聲激勵的過阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng)可由如下隨機微分方程表示：

其中,D為噪聲強度.

下面我們從粒子躍遷的角度闡明本文所提出的系統(tǒng)模型產生隨機共振的機理,并進一步分析其與傳統(tǒng)周期信號激勵的雙穩(wěn)系統(tǒng)之不同之處.

方程(1)實際上描述了一個過阻尼的擴散過程.當A=0,D=0時,該系統(tǒng)的勢壘高為ΔU=a2/4b,在x=±處有兩個勢阱.設a=b=1,則該系統(tǒng)的雙穩(wěn)勢函數曲線如圖1所示.

從圖1中可以看出,在沒有外部激勵信號和噪聲的情況下,系統(tǒng)處于平衡狀態(tài).其在x=±1處的兩個勢阱點和在x=0處的一個勢壘點分別對應勢函數曲線中的兩個極小值和一個極大值,此時粒子位于兩個勢阱中的任意一個(視系統(tǒng)的初始狀態(tài)而定).

外部激勵信號與噪聲對粒子躍遷過程的影響有多種等價的解釋,例如不妨將線性調頻信號看作是改變原有勢函數的量,其作用是改變原有勢函數U(x)的斜率,造成勢阱和勢壘發(fā)生有利于粒子躍遷的變化;而噪聲則給粒子提供能量,在勢阱和勢壘發(fā)生變化的情況下,以更大概率促進粒子躍遷的實現.圖2給出了系統(tǒng)[x˙(t)=-V˙(x)+η(t)的有效勢]函數 V(x)=U(x)-A cos(2πμt2+2πft)+η(t)x的曲線.當A/=0,D=0時,勢阱在LFM信號的驅動下按其頻率產生傾斜變化,但只要A小于勢阱閾值粒子只能在相應的勢阱內按信號頻率做局域運動,無法實現躍遷.當D逐漸增大到某一值時,由于LFM信號的作用,可使勢阱傾斜程度足夠大,致使噪聲作用下的粒子得以克服勢壘,在兩個勢阱中按LFM信號頻率進行躍遷,即產生了隨機共振現象.又由于噪聲是隨機過程,這種躍遷具有一定隨機性,此時要求LFM信號的頻率足夠低,讓“有效勢函數”V(x)的變化足夠慢,使粒子在噪聲的隨機作用下有充分長的時間完成躍遷.換言之,在LFM信號低頻時段出現隨機共振,此要求即所謂的“絕熱近似原理”.

圖2 輸入信號及噪聲對勢函數的影響 (a)輸入信號;(b)噪聲

需要說明的是,一般認為隨機共振只有在“絕熱近似條件”[9]下才能發(fā)生.為滿足“絕熱近似條件”,激勵信號的頻率應足夠低.而在本文提出的系統(tǒng)模型中,激勵信號為LFM信號,當調頻率μ和中心頻率 f為正實數,且 f充分小時,LFM信號的瞬時頻率2μt+f將隨時間增長由初始時段的低頻逐漸增高,這也就使得LFM信號隨時間增長逐漸不滿足“絕熱近似條件”,從而使“隨機共振效應”逐漸減弱.這一點將在隨后的數值仿真中得到驗證.

3 分數階Fourier變換域信噪比定義

3.1 分數階Fourier變換

函數 f(t)的p階分數階Fourier變換的定義為[10]

其中Kp(u,t)稱為分數階Fourier變換的核 函 數[,(當 p/=2n,n為 整 數 時),]Kp(u,t)≡Aαexp jπu2cotα-2ut cscα+t2cotα, Aα=. 當 p=4n時,Kp(u,t)≡δ(u-t),當 p=4n+2時,K(u,t)≡δ(u+t).

p

函數Fp(u)的p階分數階Fourier逆變換公式為

由(4)式可知,函數 f(t)的分數階Fourier變換Fp(u)可解釋為 f(t)在以逆變換核K-p(u,t)為基的函數空間上的展開,而該核是u域上的一組正交的線性調頻基.因此,一個LFM信號在最優(yōu)的分數階Fourier變換域中將表現為一個沖擊函數,這與周期函數在頻域上的表現形式是一致的.故可類比傳統(tǒng)的頻域信噪比定義,相應給出LFM信號的分數階Fourier變換域信噪比定義.

3.2 最優(yōu)分數階Fourier變換階數

確定LFM信號最優(yōu)分數階Fourier變換階數(簡稱最優(yōu)階數)的基本原理是：以階數 p為變量,p∈[0,2],對給定的LFM信號連續(xù)進行分數階Fourier變換,形成信號能量在參數(p,u)平面的二維分布,并在此平面上進行峰值點的二維搜索.峰值點所對應的p值即為該LFM信號的最優(yōu)階數p bo[10]：

3.3 分數階Fourier變換域信噪比定義

對方程(1)的輸|出信號|x(t)做pbo階Fourier變換,可得其幅度譜|Xpbo(u)|,其中的線性調頻成分,即有用信號成分將表現為一沖擊函數,且由于噪聲的能量均勻地分布在整個時頻平面內,在任何的分數階Fourier變換域上均不|會出現|能量聚集,故有用信號成分位于幅度譜|Xpbo(u)|的峰值點處,至此,可得分數階Fourier變換域上定義的信噪比為

此定義是對傳統(tǒng)頻域信噪比定義的一個推廣,當輸入的有用信號為周期信號時,最優(yōu)階數pbo=1,則該定義將退化為頻域信噪比的定義.

4 仿真實驗及分析

下面我們給出方程(1)所刻畫的系統(tǒng)按第3節(jié)定義的輸出信噪比的仿真實驗及其分析.

4.1 輸出信號x(t)的時域圖

設a=b=1,A=0.3,μ=0.0001,f=0.01,D=0.7.以Runge-Kutta法求解方程(1),可得輸出信號x(t)的時域圖.為體現噪聲的隨機性,所得的x(t)是以Monte-Carlo法將此求解過程重復500次后的平均值.

圖3 輸入信號與輸出信號的時域圖

圖3 (a)為系統(tǒng)輸入之LFM信號s1(t)=0.3cos(0.0001×2πt2+0.01×2πt)的時域圖;圖3(b)是s1(t)+η(t)的信號時域圖;而圖3(c)則為系統(tǒng)輸出信號x(t)的時域圖.可以看出,由于隨機共振,系統(tǒng)輸出信號x(t)的幅度在初始時段較大,但隨著系統(tǒng)輸入端LFM信號s1(t)的瞬時頻率0.0002×t+0.01隨時間增長而增高,逐漸破壞了“絕熱近似條件”,導致“隨機共振效應”隨時間的增長逐漸減弱,進而表現為系統(tǒng)輸出信號x(t)的幅度隨時間的增長逐漸減小,這與第2節(jié)中的理論分析是一致的,體現出線性調頻信號產生隨機共振現象時的獨特性質.

下面我們將按前述方法在分數階Fourier變換域上對輸出信號x(t)中的有用信號與噪聲進行區(qū)分,從而得到在該域上定義的信噪比,并將其作為測量手段驗證本文提出的模型產生了隨機共振.

4.2 最優(yōu)階數的確定

輸入的LFM信號為s1(t)=0.3cos(0.0001×2πt2+0.01×2πt),按前述方法以0.01為步長搜索其最優(yōu)階數pbo.

圖4 LFM信號s1(t)不同階次時的分數階域幅度

圖4 (a)為LFM信號s1(t)在(p,u)平面上的能量分布,圖4(b)—(d)分別為圖4(a)在 p=0.98,0.99,1處的截面.易得該LFM信號的最優(yōu)階數pbo為0.99.

4.3 隨機共振現象

圖5描述的是輸出信號在0.99階Fourier變換域上所定義的信噪比(簡稱信噪比)隨噪聲強度增大時的變化趨勢,噪聲強度D從0.2以0.025為步長逐漸增大至6.5.從圖5中可看出,隨著噪聲強度的增大,輸出信號的信噪比出現先增大后減小的非單調變化.當D∈[0.2,0.9]時,部分噪聲能量轉換為信號能量,信噪比隨噪聲強度增大而增大.特別地,當D=0.9時,輸出信號的信噪比達到最大值.當D＞0.9時,輸出信號的信噪比逐漸減小,這是因為噪聲強度過大,雖有部分噪聲能量轉換為信號能量,但有大量過剩的噪聲能量污染了信號.仿真的結果與之前從粒子躍遷角度進行的理論分析完全一致,驗證了本文所提出的模型能夠產生隨機共振現象.

4.4 調頻率對隨機共振現象的影響

為進一步分析LFM信號在隨機共振中產生的新現象,即調頻率對隨機共振的影響,將輸入信號的調頻率μ增大為0.0002,其余參數不變.此時輸入的LFM信號為s2(t)=0.3cos(0.0002×2πt2+0.01×2πt),可按前述方法得其最優(yōu)階數為0.98.

圖5 輸出信號信噪比隨噪聲強度增大時的變化(μ=0.0001)

圖6 輸出信號信噪比隨噪聲強度增大時的變化(μ=0.0002)

圖6 描述的是在參數μ=0.0002時輸出信號信噪比隨噪聲強度增大時的變化趨勢,顯然在此參數條件下也出現了隨機共振.將圖6與圖5進行比較,發(fā)現在任意噪聲強度下,圖6中的輸出信號信噪比均低于圖5所描述的.這是由于調頻率μ從原來的0.0001增大為0.0002,使得信號頻率增加的速率增快,在更短的時間內超出了絕熱近似條件所限制的頻率范圍,從而使得隨機共振現象減弱.此結果與之前的理論分析是一致的.

5 結論

本文首先從粒子躍遷的角度,定性地分析了線性調頻信號疊加高斯白噪聲激勵的過阻尼雙穩(wěn)系統(tǒng),得出該模型能夠產生隨機共振現象以及隨機共振效應將隨信號頻率增大而減弱的論斷.然后首次提出以最優(yōu)分數階Fourier變換域上定義的信噪比作為測量手段,對上述模型進行了定量分析.仿真的結果驗證了從理論分析中得到的論斷,表明了本文提出的方法的有效性.

[1]Benzi R,Suter A,Vulpana A 1981 Physica A 14 L453

[2]Benzi R,Parisi G,Suter A,Vulpana A 1982 Tellus34 11

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[4]Jia Y,Yu SN,Li JR 2000 Phys.Rev.E 62 1869

[5]Berdichevsky V,Gitterman M 1996 Europhys.Lett.36 161

[6]Luo X,Zhu S 2003 Phys.Rev.E 67 021104

[7]Collins JJ,Chow CC,Imhoff T T 1995 Phys.Rev.E 52 3321

[8]Collins JJ,Chow CC,Capela A C,Imhoff TT 1996 Phys.Rev.E 54 5575

[9]McNamara B,Wiesenfel K 1989 Phys.Rev.A 39 4854

[10]Tao R,Qin L,Wang Y 2004 Theory and Applicationsof the Fractional Fourier Transform(1st Ed.)(Beijing：Tsinghua University Press)p111(in Chinese)[陶然,齊林,王越2004分數階Fourier變換的原理與應用(第一版)(北京：清華大學出版社)第111頁]