光場位相算符和逆算符的Weyl編序展開*
2013-09-27 11:02:50李學超楊陽范洪義
物理學報 2013年8期
關鍵詞：利用
李學超 楊陽 范洪義
1)(安徽理工大學理學院,淮南 232001)
2)(中國科學技術大學近代物理系,合肥 230026)
3)(中國科學技術大學材料科學與工程系,合肥 230026)
(2012年9月2日收到;2012年12月26日收到修改稿)
1 引言
自從1927年Dirac[1]首次通過光子湮滅算符引入位相算符以來,在量子光學中它一直是個重要的課題.在量子力學中位相算符可以反映量子態的位相性質,Dirac通過極分解a=·S(S為位相算符)定義位相算符,這里N=a?a是[粒子]數算符,a?(a)分別是玻色產生 (湮滅)算符,a,a?=1.隨后Carruthers等[2]修正了位相算符,把它定義為
那么位相算符的經典對應是什么？這個問題的解決在以往的文獻中尚未見有討論,原因可能是位相算符是非線性的.本文通過推導位相算符的Weyl編序來研究它及其經典對應,在此基礎上研究產生算符和湮滅算符的逆的Weyl編序.這是深入了解光場算符性質的一種新的途徑.
在粒子數表象|n〉中,利用
得到位相算符在粒子數表象中展開
注意到|0〉是真空態,a|0〉=0,可見 eiφ與 e-iφ是不對易的.
在量子光學中,人們經常會將算符在不同的表象中展開,如P表示,Q表示以及密度算符的Wigner函數[3-6]等.算符A的Q表示可以簡單地利用粒子數表象來獲得：
在以往的文獻中,方程(6)除了提示我們求矩陣元Am,n外,并沒有提供過多的信息,|m〉〈n|被認定是這種展開的一個“終極的”表示.本文將突破|m〉〈n|這個“終極的”表式,用算符的Weyl編序理論對上式繼續推導,將A以Weyl編序展開[7].利用Weyl編序算符在相似變換下的序不變的優點,不僅可以獲得關于光場算符的一些新的信息,同時也推導出許多有用的積分公式和一些特殊函數的生成函數,尤其是導出帶負冪次的復高斯積分公式.
2 |m>文獻[8]曾導出任意一個算符的Weyl編序形式的公式
可見(7)式是正確的.由
并且利用雙變量厄米特多項式的積分與表示
這里
我們就可用有序算符內的積分技術[9-12]來推導出|m〉〈n|的 Weyl編序式
將上式代入(7)式,即可得到任一算符用雙變量的厄米特多項式展開的新形式
3 光場位相算符的經典對應
作為(13)式的應用,我們來推導位相算符的Weyl編序.利用
將其代入(13)式,得到
根據Weyl量子化理論[7],位相算符 e-iφ的Weyl對應式為
由于Wigner算符Δ(α)的Weyl編序為[13]
所以對照(15)式可見
這說明位相算符的經典對應是
可見位相算符 e-iφ對應的經典位相體現在 eiφ,
同樣我們也可以算出 eiφ的Weyl編序式
所以算符 eiφ的經典對應為
4 產生算符和湮滅算符的逆的Weyl編序式及應用
Dirac[14]首先考慮了湮滅算符的逆a-1.既然產生算符描述光子產生過程,產生算符的逆應該描寫光子湮滅過程;反之,湮滅算符的逆應該描寫產生過程.但要注意由于a|0〉=0,盡管aa-1=1,但a-1a/=1.用相干態和圍道積分的方法[15]可以將粒子數態|n〉表示為
這里的圍道C包括了z=0點,在圍道積分下a-1e z a?|0〉=z-1ez a?|0〉就有了意義,于是有
即
a-1滿足
利用(24)式得到
將
代入(13)式得到
另一方面,直接利用(7)式又有
該式代入時利用了 a-1|β〉=β-1|β〉,比較 (28)和(29)兩式得到
由于Weyl編序中,產生算符與湮滅算符是可交換的,可以將其看作積分參量,從(30)式得到一個新的積分公式
注意β-l是負冪次,所以這個積分帶有瑕點,不易用常規的方法積分,這里用Weyl編序方法繞過了這一困難.()
同樣我們可以推導出a?-l的Weyl編序
由此可以悟出帶負冪次(β?)-l的新高斯積分公式
進一步由(24)式可見
將
代入(13)式得
另一方面,直接利用(7)式又得到
比較以上兩式,可以悟出關于帶負冪次(β?)-kβ-l的新高∫斯 積分公式
進一步可改寫為
作為比較,我們推導帶正冪次(β?)kβl的新高斯積分公式.將
另一方面,將(a?)kal直接代入(7)式得
比較以上兩式,可以悟出關于帶正冪次(β?)kβl的新積分公式
另一方面利用(10)式得到
比較(44)與(45)式,得出關于雙變量厄米特多項式的一個新的母函數公式
該式也可利用其他方法驗證.
(45)式進一步可改寫為
該式正好與(41)式相匹配.
5 結論
本文推導出了光場位相算符的Weyl編序,寫出了其經典對應,這對于深入了解光場算符的性質提供了一種新的途徑;推導了產生算符與湮滅算符的逆的Weyl編序,并據此推導出了某些特殊函數的新的生成函數和帶負次冪的高斯積分公式.
[1]Dirac PA M 1927 Proc.R.Soc.London A 114 243
[2]Carruthers P,Nieto M M 1968 Rev.Mod.Phys.40 411
[3]Wigner EP1932 Phys.Rev.40 749
[4]Klauder JR,Skagerstam B S1985 Coherent States(Singerpore：World Scientifi c Publishing)
[5]Scully M O,Zubairy M S 1997 Quantum Optics(United Kingdom：Cambridge University Press)
[6]Glauber RJ1963 Phys.Rev.130 2529
[7]Weyl H 1927 Z.Phys.A 46 1
[8]Fan HY 1992 J.Phys.A 25 3443
[9]Fan H Y,Hu L Y 2008 Chin.Phys.B 17 1640
[10]Yuan H C,Xu X X 2010 Acta Phys.Sin.61 064205(in Chinese)[袁洪春,徐學翔2012物理學報61 064205]
[11]Fan H Y 2008 Ann.Phys.323 1502
[12]Jiang N Q,Fan H Y,Hu L Y 2011 J.Phys.A：Math.Theor.44 195302
[13]Xu X X,Yuan H C,Hu L Y 2010 Acta Phys.Sin.59 4661(in Chinese)[徐學翔,袁洪春,胡利云2010物理學報59 4661]
[14]Dirac P A M 1966 Lectures on Quantum Field Theory(New York：Academic)
[15]Fan H Y 1993 Phys.Rev.A 47 4521
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文獻[8]曾導出任意一個算符的Weyl編序形式的公式
可見(7)式是正確的.由
并且利用雙變量厄米特多項式的積分與表示
這里
我們就可用有序算符內的積分技術[9-12]來推導出|m〉〈n|的 Weyl編序式
將上式代入(7)式,即可得到任一算符用雙變量的厄米特多項式展開的新形式
3 光場位相算符的經典對應
作為(13)式的應用,我們來推導位相算符的Weyl編序.利用
將其代入(13)式,得到
根據Weyl量子化理論[7],位相算符 e-iφ的Weyl對應式為
由于Wigner算符Δ(α)的Weyl編序為[13]
所以對照(15)式可見
這說明位相算符的經典對應是
可見位相算符 e-iφ對應的經典位相體現在 eiφ,
同樣我們也可以算出 eiφ的Weyl編序式
所以算符 eiφ的經典對應為
4 產生算符和湮滅算符的逆的Weyl編序式及應用
Dirac[14]首先考慮了湮滅算符的逆a-1.既然產生算符描述光子產生過程,產生算符的逆應該描寫光子湮滅過程;反之,湮滅算符的逆應該描寫產生過程.但要注意由于a|0〉=0,盡管aa-1=1,但a-1a/=1.用相干態和圍道積分的方法[15]可以將粒子數態|n〉表示為
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即
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將
代入(13)式得到
另一方面,直接利用(7)式又有
該式代入時利用了 a-1|β〉=β-1|β〉,比較 (28)和(29)兩式得到
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同樣我們可以推導出a?-l的Weyl編序
由此可以悟出帶負冪次(β?)-l的新高斯積分公式
進一步由(24)式可見
將
代入(13)式得
另一方面,直接利用(7)式又得到
比較以上兩式,可以悟出關于帶負冪次(β?)-kβ-l的新高∫斯 積分公式
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另一方面,將(a?)kal直接代入(7)式得
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