關(guān)于諧振子第一積分的研究

丁光濤

1 引言

諧振子是力學和物理學中基本的模型之一,很多理論研究和工程實際應(yīng)用研究都建立在這個模型之上[1,2].微振動系統(tǒng)是可積系統(tǒng),然而,有關(guān)的問題,例如系統(tǒng)存在多少個不含時的獨立積分以及如何導(dǎo)出這些積分,仍是受關(guān)注的課題,很多系統(tǒng)的量子化與這些積分(守恒量)有關(guān)[3-6].文獻[7]用擴展的P-S方法得到了二維非對稱諧振子系統(tǒng)分振動的頻率比為有理數(shù)情況下的第三個獨立的積分,但是,對分振動的頻率比為無理數(shù)情況下是否存在第三個獨立的積分問題,未做明確回答.

本文繼續(xù)研究諧振子系統(tǒng)不含時的獨立積分問題,探討構(gòu)造這種特殊系統(tǒng)積分的新方法.首先,對一維諧振子提出基本積分的概念,以及與之相關(guān)的構(gòu)造系統(tǒng)其他積分的直接方法.其次,將這種概念和方法推廣到二維系統(tǒng),并給出利用不同自由度的基本積分構(gòu)造系統(tǒng)其他積分的方法,證明所有的二維諧振子,包括對稱的和非對稱的兩種系統(tǒng),以及對非對稱的系統(tǒng)中分振動的頻率比為有理數(shù)和無理數(shù)兩種情況,都存在能量積分之外的第三個獨立的與時間無關(guān)的積分,并對這些積分進行了分析討論.最后,將一維和二維系統(tǒng)的結(jié)果直接推廣到n維諧振子系統(tǒng),利用上述方法直接構(gòu)造獨立的不含時積分,從而證明這種系統(tǒng)存在2n-1個獨立的不含時的第一積分.

2 一維諧振子的基本第一積分

一維諧振子的運動微分方程為[1,2]

方程的兩個第一積分為

將t=0時的初始條件I11代人,即可知道I1和I2分別與初位置和初速度直接相關(guān),它們是兩個獨立的積分.由這兩個積分可以直接得出方程(1)的解

而且利用它們能夠構(gòu)造其他的積分,例如

容易證明,I3是振子能量,直接與振幅A相關(guān)

I4與振子初位相φ相關(guān)

在上述積分中,I3與時間無關(guān),給出了系統(tǒng)在相空間的軌道,然后直接積分這個一階微分方程,或是結(jié)合另外的與時間相關(guān)的積分用代數(shù)方法求解,就能確定諧振子的運動規(guī)律.

從運動積分還能夠直接構(gòu)造諧振子的Lagrange函數(shù)[8],例如,由I3可以構(gòu)造得到

由I1和I2還可以分別構(gòu)造得到兩個Lagrange函數(shù)族

其中函數(shù)F應(yīng)滿足條件

因為(2)式中兩個積分與初位置和初速度直接相關(guān),既能直接導(dǎo)出諧振子的解,又能構(gòu)造其他積分,還能構(gòu)造Lagrange函數(shù)和函數(shù)族,所以我們將它們稱為諧振子的基本積分,這個概念是下面討論的出發(fā)點.在此指出,下面只討論構(gòu)造諧振子的積分問題,而不再涉及構(gòu)造Lagrange函數(shù)問題.

3 二維對稱諧振子的第一積分

將上述一維情況推廣到二維情況.首先討論對稱諧振子,其運動方程為

方程的四個獨立的基本積分為

這四個獨立的積分的物理意義清楚,利用它們同樣能夠?qū)С龆S諧振子的解,也能利用它們構(gòu)造二維諧振子其他的積分.例如,與兩個分振動對應(yīng)的能量積分和初位相積分

由此還可以得到涉及整個系統(tǒng)的積分,例如,總能量

和(初)位相差

以及其他整個系統(tǒng)的積分,例如,

積分I11與兩個分振動的振幅和初位相差相關(guān),I12相當于角動量守恒,對于二維對稱諧振子而言,這兩個積分也是重要的積分.

由于(13)和(14)式中四個第一積分的任意函數(shù)都是新的積分,故二維對稱諧振子的積分有任意多個,其中大部分是含時的.但是,在討論系統(tǒng)運動時,人們往往更重視尋找與時間無關(guān)的積分[1,3,7],如(15),(17),(19)—(22)式中的積分,每一個這樣的積分都表示系統(tǒng)相點在相空間中一個不隨時間而變化的曲面上運動,對2個自由度的系統(tǒng)而言,如果導(dǎo)出3個獨立的不含時積分,這些積分在相空間表示不同的固定曲面,它們的交線就是系統(tǒng)相點的軌道,如果再導(dǎo)出一個與時間相關(guān)的積分,那么,相點在軌道上的運動規(guī)律就可以確定[1,2].上面給出的二維對稱諧振子的6個不含時積分并不是彼此獨立的,例如,I5,I7和I9,不是彼此獨立的;I6,I8和I10也不是彼此獨立的.對二維系統(tǒng)而言,最多只能有4個彼此獨立的積分,而獨立的不含時積分最多只能有3個.二維對稱諧振子是簡單可積系統(tǒng),它的四個獨立第一積分是容易全部得到的,例如,(13)和(14)式中四個第一積分就是彼此獨立的,(15)—-(18)式中四個積分也是彼此獨立的,三個獨立的不含時積分也容易給出,如(15),(17),(20)式,或(19),(20),(22)式等.總而言之,利用四個基本積分,構(gòu)造二維對稱諧振子的其他積分問題,包括構(gòu)造獨立的不含時積分問題,就完全解決了.

4 二維非對稱諧振子的運動積分

討論二維非對稱諧振子,其運動方程為

同樣可以得到方程的四個基本的運動積分

利用這四個積分同樣能夠?qū)С龆S非對稱諧振子的解,以及構(gòu)造二維諧振子其他的積分,例如,與兩個分振動對應(yīng)的能量積分和初位相積分

應(yīng)當再次指出,二維諧振子運動無論是對稱的還是非對稱的,都是可積系統(tǒng),都能得到四個獨立的運動積分,如(24)和(25)式中或是(26)—(29)式中的四個積分.

仍存在其他涉及整個系統(tǒng)的積分,如總能量

但是,直接與上面(20)—(22)式對應(yīng)的積分則不存在了,這是因為ω1/=ω2的緣故.不含時的能量積分I9和I5,I7彼此相關(guān),獨立的只有兩個.因此,要討論第三個這樣的不含時的獨立積分是否存在,如果存在將如何構(gòu)造的問題[7].

通常認為,第三個不含時的獨立積分是否存在的問題與系統(tǒng)的相軌道是否閉合,系統(tǒng)的運動是否為周期運動的問題相關(guān)[1-3,7].已經(jīng)明確的是,當兩個自由度的振動頻率之比為有理數(shù),即ω1/ω2=p/q,p,q為整數(shù)時,二維諧振子運動的相軌道是閉合的,系統(tǒng)運動是周期的,第三個不含時的獨立積分存在;然而當振動頻率之比為無理數(shù)時,二維諧振子運動的相軌道不是閉合的,系統(tǒng)運動是非周期的.第三個不含時的獨立積分是否存在呢?有關(guān)文獻中并沒有回答.我們將在上面討論的基礎(chǔ)上,直接從構(gòu)造運動積分的途徑,來研究第三個不含時的獨立積分的問題,對振動頻率之比為無理數(shù)情況給出答案.

不難看出,前面一維振子和二維對稱諧振子,從四個基本的含時的運動積分導(dǎo)出不含時的運動積分是通過代數(shù)運算消去時間因子得到的.在二維非對稱振子情況,振動頻率之比為有理數(shù)時,除了能量積分外,仍然能夠通過有限次的代數(shù)運算從四個基本的含時的運動積分中再消去時間因子,得到新的不含時的積分.這里的方法與文獻[7]不同,作為實例并為了簡化討論,下面只處理ω1/ω2=2的情況,此時(24)和(25)式可以改寫成

由(32)式可導(dǎo)出

從(31)和(33)式消去時間因子,導(dǎo)出新的獨立的不含時的積分為

這個積分與文獻[7]中的結(jié)果一致.

但是,還有一種更簡單的方法直接導(dǎo)出另一個獨立的不含時的積分

這個積分可以看作(20)式中積分的推廣,可以將它變換成代數(shù)函數(shù)形式

這是一個不同于I10的積分.

當ω1/ω2為無理數(shù)時,不能導(dǎo)出類似I10的積分了,但是,能夠?qū)С鲱愃艻11的積分

這就是第三個不含時的獨立積分.然而,由于ω1/ω2為無理數(shù),積分I11與積分I12之間有重要區(qū)別,I12不能變換為代數(shù)函數(shù)形式,積分I11在相空間的曲面是閉合的,而積分I12在相空間的曲面不是閉合的,與其他積分曲面的交線構(gòu)成不閉合的相軌道,系統(tǒng)的運動是非周期的.應(yīng)當指出,(37)式形式的積分是一種普遍的形式,并不僅限于ω1/ω2為無理數(shù)的情況.ω1/ω2為有理數(shù),包括等于1的情況,都存在這種形式的積分,(20)和(35)式的積分是其特例.

上面給出了從二維諧振子同一個自由度和不同自由度的基本積分構(gòu)造諧振子系統(tǒng)其他積分的方法.利用這種方法證明了對二維諧振子不論是對稱的,還是非對稱的,也不論兩個振動的頻率比是有理數(shù),還是無理數(shù),都可以在能量積分之外構(gòu)造得到第三個獨立的與時間無關(guān)的積分.頻率比是有理數(shù)的系統(tǒng)第三個獨立的與時間無關(guān)的積分是代數(shù)函數(shù),或是可以變換成代數(shù)函數(shù)形式,三個獨立的與時間無關(guān)的積分在相空間中曲面的交線是閉合的相軌道,系統(tǒng)的運動是周期的;頻率比是無理數(shù)的系統(tǒng)第三個獨立的與時間無關(guān)的積分是超越函數(shù),不能變換成代數(shù)函數(shù)形式,系統(tǒng)的相軌道不是閉合的,運動不是周期的.這種討論是純理論的.諧振子模型是一種理想模型,在實際的物理系統(tǒng)中,頻率比是1,是有理數(shù),還是無理數(shù),都只是理想情況.兩個自由度間微小的耦合,運動初始條件的細微變化,系統(tǒng)非線性的微弱存在,都會對系統(tǒng)的運動,特別是長期運動產(chǎn)生影響.

5 多維諧振子系統(tǒng)的運動積分

對一維和二維諧振子的積分問題的討論,得到了如何從同一個自由度振動和不同的自由度振動的基本積分構(gòu)造其他積分的方法,顯然,這種方法容易推廣到n維諧振子.設(shè)n維諧振子系統(tǒng)的運動微分方程組為

其中n個頻率ωi可以相等或不相等;不相等的頻率之比,可以為有理數(shù)或無理數(shù).對應(yīng)于每一個自由度的分振動都存在(2)式形式的基本積分

這2n個積分是彼此獨立的第一積分.利用它們能夠構(gòu)造對應(yīng)于振動能量和位相的積分

這2n個積分也是彼此獨立的第一積分.(40)式中n個能量積分與時間無關(guān),還可以進一步推導(dǎo)其他的與時間無關(guān)的第一積分.對頻率相等的分振動,可以得到(20)式形式的積分,它們對應(yīng)著分振動的初位相差,也可以得到(21)和(22)式形式的積分;對頻率不相等的分振動,可以得到(37)式形式的積分,等等.顯然,能夠?qū)С龅牟缓瑫r的第一積分是相當多的,而我們關(guān)心的是能夠構(gòu)造得到多少個獨立的不含時的第一積分.

下面用構(gòu)造法證明對n維的諧振子系統(tǒng),總能夠得到(2n-1)個獨立的不含時積分.取第一個分振動為基準,設(shè)頻率等于ω1的分振動有m個(m≤n),將這m個分振動排在前面,即ω1=ω2=···=ωm,余下的n-m個分振動的頻率與ω1不相等,這n-m個分振動的頻率之中可能又分為相等或不相等的,但是對下面的證明沒有影響.首先,(40)式形式的能量積分有n個,它們是獨立的;這些能量積分可以將幾個分振動組合起來,甚至整個系統(tǒng),即全部分振動的能量加起來,得到更多與能量相關(guān)的積分,但是,獨立的只有n個.其次,m個頻率相等的分振動,可以導(dǎo)出m-1個獨立的初位相差積分,例如,

余下的n-m個頻率與ω1不相等的分振動,可以構(gòu)成n-m個(37)式形式的不含時積分

(42)和(43)式中共有n-1個獨立的不含時積分.總而言之,(40),(42)和(43)式中共有2n-1個獨立的不含時積分.這些積分分別與分振動的能量和位相相關(guān),而能量(振幅)和位相是振動現(xiàn)象中具有特征意義的物理量.導(dǎo)出2n-1個獨立的不含時積分,就確定了系統(tǒng)代表點在相空間的軌跡,再利用一個含時的第一積分,就可以確定相點沿相軌跡運動的規(guī)律.綜上所述,n維的諧振子系統(tǒng)是完全可積系統(tǒng),(39)式中2n個第一積分,或(40)和(41)式中2n個第一積分,都是系統(tǒng)的獨立的第一積分;而且通過直接構(gòu)造得到(40),(42)和(43)式形式的與時間無關(guān)的第一積分,證明n維的諧振子系統(tǒng)存在著(2n-1)個獨立的不含時的第一積分.

6 結(jié)束語

本文研究諧振子的不含時積分問題,給出構(gòu)造這種積分的新途徑,在力學和物理學中,人們往往對這樣的運動積分更重視,它們與經(jīng)典力學中系統(tǒng)相點在相空間的軌道的封閉性和運動的周期性相關(guān),與量子力學中系統(tǒng)的不同量子化模式相關(guān).首先,本文討論一維諧振子,提出基本積分的概念,以及利用基本積分構(gòu)造其他積分的方法.其次,將基本積分的概念和構(gòu)造其他積分的方法推廣到二維情況,并解決如何利用不同自由度振動的基本積分構(gòu)造新的與時間無關(guān)的積分的問題,證明了對不同類型的二維諧振子都存在3個獨立的不含時的積分.最后,將這種方法推廣到n維諧振子系統(tǒng),利用直接構(gòu)造法證明n維諧振子總是存在2n-1個獨立的不含時積分,并給出這樣2n-1個獨立的不含時積分的實例,這些積分由基本積分導(dǎo)出并分別與振動能量和位相組合相關(guān).

本文對二維諧振子的積分問題討論得比較詳細,對稱的二維諧振子可以構(gòu)造得到的不含時積分函數(shù)形式比較多.對非對稱二維諧振子系統(tǒng)而言,兩個分頻率比是有理數(shù)還是無理數(shù),兩種情況存在重大區(qū)別.頻率比是有理數(shù)時系統(tǒng)的相軌道閉合,運動是周期的;頻率比是無理數(shù)時,系統(tǒng)能量積分之外的第三個獨立的與時間無關(guān)的積分是超越函數(shù),相軌道不能閉合,運動是非周期的.但是,研究結(jié)果表明,相軌道是否為閉合的運動是否為周期的,并不能決定第三個獨立的與時間無關(guān)的積分能否存在,各種類型的二維諧振子系統(tǒng)都存在三個不含時的獨立積分.

[1]Goldstein H,Poole C,Salko J 2005 Classical Mechanics(3rd Ed.)(Beijing：Higher Education Press)

[2]Li D M,Chen C M 2006 Classical Mechanics(Beijing：Higher Education Press)(in Chinese)[李德明,陳昌民2006經(jīng)典力學(北京：高等教育出版社)]

[3]Zeng J Y 2001 Quantum Mechanics(Beijing：Science Press)(in Chinese)[曾謹言2001量子力學(北京：科學出版社)]

[4]Um C I,Yeon K H,George T F 2002 Phys.Rep.362 63

[5]Ling R L,Feng J F 2009 Acta Phys.Sin.58 2164(in Chinese)[凌瑞良,馮金福2009物理學報58 2164]

[6]Hao J H,Huang X Y 1998 Acta Sin.Quant.Opt.4 49(in Chinese)[郝劍紅,黃相友1998量子光學學報4 49]

[7]Lou Z M,Mei F X 2012 Acta Phys.Sin.61 110201(in Chinese)[樓智美,梅鳳翔2012物理學報61 110201]

[8]Ding G T 2011 J.Dynam.Control.9 102(in Chinese)[丁光濤2011動力學與控制學報9 102]