關于線性阻尼振子第一積分的研究

丁光濤

1 引言

振動是自然界和工程技術領域中最常見的運動形式,是力學和物理學中一個基本的研究領域.經過對振動系統的理想化抽象,系統的振動規律常常以微分方程來描述,因此,求振動微分方程的積分,就是振動理論的重要課題.最簡單的振動系統是簡諧振子,對多維簡諧振子系統的積分問題,特別是與時間無關的積分問題仍然受到重視[1-4].近來,我們引入基本積分概念,以及利用基本積分構造其他積分的方法,比較好地解決了簡諧振子的第一積分構造問題,證明對n維簡諧振子系統總是存在2n-1個獨立的不含時的第一積分[5].由于在周圍環境和工程實際中耗散因素普遍存在,故阻尼振子問題,特別是線性阻尼振子問題不僅在經典力學中長期受到關注,而且從20世紀30年代以來,也成為量子理論的重要研究課題[6-9].

本文研究線性阻尼振子系統的積分問題,利用引入線性阻尼振子的基本積分的概念,去構造多種形式的線性阻尼振子第一積分.首先,我們導出一維線性阻尼振子系統的基本積分,并利用它們來構造其他第一積分,特別是具有明顯物理意義的積分和不含時間的積分,并指出線性阻尼振子與簡諧振子之間的一個重要的區別;其次,將這種概念和方法推廣到多維系統,重點是構造不同類型的二維線性阻尼振子系統的第一積分,提出利用不同自由度的基本積分構造其他積分的方法;給出n維情況的一般結果,證明對n維線性阻尼振子系統也存在2n-1個獨立的不含時的第一積分;最后,利用變量變換將一維線性阻尼振子的第一積分變換成簡諧振子的形式,并討論了n維系統的一般情況,即將n維線性阻尼振子問題變換成n維簡諧振子問題.

2 從線性阻尼振子的基本積分構造第一積分

一維線性阻尼振子的運動微分方程為

方程的兩個第一積分為

式中

將初始條件代入,即可知道I1和I2分別與初位置和初速度直接相關,它們是兩個獨立的積分,我們將這兩個積分稱為基本積分.由兩個基本積分可以直接得出方程(1)的解

而且利用它們能夠構造其他的積分.例如,

積分I3和I4分別與能量和初位相相關,而I5是不含時間的積分.應當指出,積分I5的存在是線性阻尼振子與簡諧振子之間的一個重要區別,在簡諧振子中不含時積分是能量積分,而線性阻尼振子能量積分(5)是含時的耗散的,但是,由于積分(5)和(6)中,都含時間,因此,利用它們也可以消去時間,得到了新的不含時積分(7),原則上這個積分給出了線性阻尼振子的相軌道.當阻尼不存在,即β=0時,該積分與能量積分等價.

3 多維線性阻尼振子的第一積分

3.1 二維對稱線性阻尼振子

將上述一維情況推廣到二維情況.首先討論二維對稱線性阻尼振子,其運動方程為

方程的四個獨立的基本積分為

這四個獨立的積分的物理意義清楚,利用它們同樣能夠導出二維線性阻尼振子的解,也能利用它們構造二維線性阻尼振子其他的積分.例如,與兩個分振動對應的四個積分

這些積分的物理意義也很明確,直接利用它們還可以得到其他積分,例如

對于二維對稱線性阻尼振子而言,這四個積分也是重要的積分.值得注意的是I10是與時間無關的積分.由于(9)和(10)式中四個第一積分的任意函數都是積分,故二維對稱線性阻尼振子的積分有任意多個,其中大部分是含時的.但是,在討論系統運動時,人們往往更重視尋找與時間無關的積分,如(16)式中的積分,這樣的積分代表著相空間中一個不隨時間變化的曲面,系統相點在其上運動.對二維系統,如果能夠導出3個獨立的與時間無關的第一積分,那么就確定了系統的相軌道.對于二維對稱線性阻尼振子系統與時間無關的積分可以如下方法來構造,例如

等等.這些積分中I13,I14是與(7)式中積分同一個類型的,I15,I16也是這種類型的積分,但是涉及兩個自由度.這些與時間無關的積分中獨立的只有3個,例如,可選擇I10,I13,I14作為一組獨立的積分.大多數積分之間是函數相關的,例如

上述結果表明,導出了全部基本積分就解決了構造二維對稱線性阻尼振子系統第一積分問題,證明了這種系統存在三個獨立的不含時的第一積分.

3.2 二維非對稱線性阻尼振子

對于二維非對稱線性阻尼振子,運動方程為

對于每一個分振動,(9)和(10)式形式的基本積分,以及(11)—(14)式類型的積分都存在,即

式中

比較容易得到的涉及整個系統的積分為

等等,其中I1′0,I1′1是不含時間的積分,當然,還可以構造其他的涉及和不涉及整個系統的積分,包括含時間的和不含時間的積分,例如,對每一個分振動都可以導出(7)式類型的與時間無關的積分.值得注意的是,導出這些積分與兩個分振動的頻率之比是有理數還是無理數無關.對二維非對稱的線性阻尼振子三個獨立的不含時第一積分,可以選擇對應著兩個自由度的(7)式類型的積分,再從(30)和(31)式中任意選擇一個積分.綜上所述,我們利用直接構造方法證明了不同類型的二維線性阻尼振子總是存在三個獨立的不含時第一積分.還應當指出,與一維情況相似,由于線性阻尼振子基本積分中存在兩個與時間相關的因子,故不論是一維情況,還是二維情況,線性阻尼振子比簡諧振子多一種消去時間的方法,如積分I7,I13,I15I′11等.

3.3 n維線性阻尼振子

在上述一維二維線性阻尼振子從基本積分構造其他積分的基礎上,進一步討論n維系統獨立的不含時積分的構造問題.設系統運動微分方程為

系統的2n個基本積分是

式中

我們利用直接構造法證明系統存在2n-1個獨立的不含時的第一積分.首先,對每一個自由度都可以構造如下的第一積分

顯然,(37)式中n個不含時第一積分是獨立的.其次,利用不同的自由度的基本積分構造其余n-1個不含時第一積分.為了討論簡明有序,我們選取第一個自由度為基準,假設存在m個自由度的振動的參數βk和ωk(k=1,···,m)相同,其余的 n-m個自由度振動參數 βj和 ωj(j=m+1,···,n)與第一個自由度振動參數β1和ω1不同(至少有一個參數不同).由前m個自由度可以構造m-1個不含時積分

利用后面n-m個自由度可以構造n-m個不含時積分

(38)和(39)式中n-1個積分也是獨立的,還應當指出,它們實際上可以統一地寫成(39)式的形式.(37)—(39)式中2n-1個積分構成了n維線性阻尼振子系統一組獨立的不含時的第一積分.當然,還可以利用其他函數形式的不含時積分構成2n-1個獨立的積分,例如,根據情況可以將上述積分中的某些積分代以(17),(18)或(31)式類型的積分.

4 從線性阻尼振子到簡諧振子的變換

經典力學中簡諧振子系統是非常重要的系統,其運動規律研究得十分深入;量子力學中情況也類似,簡諧振子的量子化是一個完全解決的問題[1,2,4].然而,從數學表示上來看,簡諧振子與線性阻尼振子之間不是絕然分開的,它們之間可以相互變換.利用變量變換方法能夠將線性阻尼振子的微分方程和第一積分變換成為簡諧振子形式的,這個變換將利于對線性阻尼振子問題的研究,根據前面得到的結果,我們需要對基本積分完成這樣的變換.

首先研究一維情況,引入與時間相關的變換

方程(1)可以寫成如下等效的簡諧振子的形式

(2)式中兩個積分變換成

這正是簡諧振子的第一積分.顯然,通過變換(40)式的逆變換,(42)式中兩個積分仍變換為(2)式中的兩個積分.

上述變換可以直接推廣到多維情況,對n維線性阻尼振子(32)式,引入變換

則方程(32)和對應的2n個基本積分都變換成簡諧振子形式的,即

利用變換(43)式的逆變換從(45)式中2n個簡諧振子形式的積分就得到(33)式中2n個線性阻尼振子的基本積分;由簡諧振子基本積分構成的其他積分也逆變換成為線性阻尼振子的對應積分.然而,必須指出的是,線性阻尼振子的基本積分(33)式可以通過變換(43)式得到簡諧振子基本積分(45)式,由基本積分構成的積分(35)和(36)式也可以直接變換成簡諧振子的對應積分.但是,(37)式類型的線性阻尼振子積分直接利用變換(43)式得到的結果,必須經過進一步變換才能成為簡諧振子形式的積分.將(43)式代入(37)式得到

上式不能稱為簡諧振子形式的積分.但是,利用積分(36)式,可以導出

這種積分與簡諧振子的能量積分等價.這種情況的出現,與我們前面指出的由于線性阻尼振子基本積分中存在兩種與時間相關的因子,故線性阻尼振子情況比簡諧振子情況多一種消去時間的方法相關;這就是說,由于阻尼因素的存在,從物理本質上線性阻尼振子與簡諧振子之間存在著區別.

5 結論

1)本文以新的思路對線性阻尼振子系統第一積分進行深入的研究,即導出直接與初始條件相關的基本積分后,再利用它們構造線性阻尼振子的其他第一積分,包括不顯含時間的第一積分.這種處理方法可以應用于一維系統和多維系統,包括對稱和非對稱系統.

2)通過直接構造法證明,二維線性阻尼振子系統,無論是對稱的還是非對稱的,都存在并可以實際構造出三個不顯含時間的第一積分;n維線性阻尼振子系統存在2n-1個獨立的不顯含時間的第一積分.

3)通過變量變換,將線性阻尼振子方程和第一積分變換成簡諧振子形式的,這樣就使得處理線性阻尼振子的問題,包括經典力學和量子力學問題,得到簡化.研究表明,對簡諧振子的第一積分能夠利用變量變換直接變成對應的線性阻尼振子的結果,但是,有些線性阻尼振子的第一積分利用變量變換導出對應的簡諧振子的結果時,需要利用其他第一積分.

[1]Goldstein H,Poole C,Salko J 2005 Classical Mechanics(3rd Ed.)(Beijing：Higher Education Press)

[2]Li D M,Cheng C M 2006 Classical Mechanics(Beijing：Higher Education Press)(in Chinese)[李德明,陳昌民2006經典力學(北京：高等教育出版社)]

[3]Lou Z M,Mei F X 2012 Acta Phys.Sin.61 110201(in Chinese)[樓智美,梅鳳翔2012物理學報61 110201]

[4]Zeng J Y 2001 Quantum Mechanics(Beijing：Science Press)(in Chinese)[曾謹言2001量子力學(北京：科學出版社)]

[5]Dekker H 1981 Phys.Rep.80 1

[6]Um C I,Yean K H,George T F 2002 Phys.Rep.362 63

[7]Pen H W 1980 Acta Phys.Sin.29 1084(in Chinese)[彭桓武1980物理學報29 1084]

[8]Zhu R Z 1981 Acta Phys.Sin.30 1410(in Chinese)[朱如曾1981物理學報30 1410]

[9]Ling R L,Feng J F 1998 Acta Phys.Sin.47 1952(in Chinese)[凌瑞良,馮金福1998物理學報47 1952]