關(guān)于Van Der Corput不等式推廣的進(jìn)一步改進(jìn)

何 燈,吳善和

(1.福建港頭中學(xué),福建 福清 350317;2.龍巖學(xué)院教學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,福建 龍巖 364012)

0 引言

著名的Van Der Corput不等式由Van Der Corput J G[1]于1936年所建立.近幾年,眾多學(xué)者對(duì)該不等式進(jìn)行了研究,總結(jié)所使用方法,大致有兩種.傳統(tǒng)方法,利用加權(quán)算術(shù)幾何平均不等式將Van Der Corput不等式較小端放大,再對(duì)所獲得的不等式的上界進(jìn)行估計(jì),從而建立強(qiáng)弱不同的不等式[2-8].特別地,文獻(xiàn)[9]利用此法建立了Van Der Corput不等式的單參數(shù)推廣,文獻(xiàn)[10][11]則將文獻(xiàn)[9]的結(jié)論做了改進(jìn).更多關(guān)于該不等式的參數(shù)推廣,還可參閱文獻(xiàn)[10-13].有別于傳統(tǒng)的方法,文獻(xiàn)[14]中張小明及合作者利用所建立的最值單調(diào)定理[15]給出了Van Der Corput不等式的一個(gè)形式簡(jiǎn)潔且較強(qiáng)的加強(qiáng)式,文獻(xiàn)[16]同樣利用最值單調(diào)定理將文獻(xiàn)[9]的結(jié)論做了改進(jìn).借助于maple數(shù)學(xué)軟件,采用傳統(tǒng)的方法,本文建立Van Der Corput不等式單參數(shù)推廣的更進(jìn)一步的改進(jìn),所得結(jié)論優(yōu)于現(xiàn)有的相關(guān)結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

Van Der Corput不等式:(n+1)an收斂,則

其中γ=0.57721566…為歐拉常數(shù),系數(shù)e1+γ為最佳.

設(shè) α∈(-1,+∞),記

文獻(xiàn)[9]建立Van Der Corput不等式的單參數(shù)推廣

文獻(xiàn)[10][11]建立式(2)的改進(jìn)

注 根據(jù)文獻(xiàn)[10][11]的證明過(guò)程,該文獻(xiàn)僅證明當(dāng)α∈[0,+∞),式(3)成立.事實(shí)上,當(dāng)α=-1/2,n=4時(shí)

故當(dāng) α∈(-1,0)時(shí),式(3)不恒成立. 注意到 r*(α)=r(α)+ln(1+α),當(dāng) α∈[1/10,+∞)時(shí),求導(dǎo)易證故式(3)普遍弱于式(2).

文獻(xiàn)[16]利用最值單調(diào)定理將式(2)改進(jìn)為

2 引理及證明

引理1[17]若x>0,則(1+1x)x

引理2 若x∈(0,1),則ln(1-x)≤-x.

求導(dǎo)易證,證略.

引理3[9]設(shè)α∈(-1,+∞),則

P1(α)在(1,2)上單調(diào)遞減,P2(α)在(1,2)上單調(diào)遞增.求導(dǎo)可證,證略.

引理5[18,19]如果多項(xiàng)式F(x)的判別式序列的符號(hào)修訂表的變號(hào)數(shù)是ν,那么F(x)的互異共軛虛根對(duì)的數(shù)目就是ν,而且,如果該符號(hào)修訂表中非零元的個(gè)數(shù)是η,那么F(x)的互異實(shí)根的數(shù)目是η-2ν.

引理6 P3(α)=109a6+1262a5+4747a4+6064a3-3946a2-15576a-9688在α∈(-1,∞)上存在唯一實(shí)根α*=1.3614….

證明 由文獻(xiàn)[19]中給出的DISCR程序,可求P3(α)的判別式序列的符號(hào)表和符號(hào)修訂表均為[1,1,1,-1,-1,-1],其變號(hào)數(shù)為1,據(jù)引理5得P3(α)有1對(duì)互異的虛根,有4個(gè)互異實(shí)根.借助于maple數(shù)學(xué)軟件可求這四個(gè)實(shí)根為-5.7860…,-1.5980…,-1.3580…,1.3614…,顯然前三個(gè)實(shí)根并未落在區(qū)間(-1,+∞)上,從而P3(α)在(-1,+∞)上存在唯一實(shí)根α*=1.3614….

特別地,當(dāng)α∈(-1,α*),P3(α)符號(hào)必恒定,又P3(0)=-9688<0,則α∈(-1,α*),P3(α)<0. 同理當(dāng) α∈(α*,+∞),P3(α)符號(hào)恒定,又 P3(1)=115200>0,則當(dāng) α∈(α*,+∞),P3(α)>0.

3 主要結(jié)論及其證明

定理 設(shè) α∈(-1,+∞),an≥0(n∈N),若收斂,則有

證明 只需證Bn由引理1

則只需證

或

由引理2有

則只需證明

(I)當(dāng)n=1,由引理3有

則

其中借助于maple數(shù)學(xué)軟件可計(jì)算

其中P3(α)同于引理6.由引理6,當(dāng)α∈(-1,α*),G1′(α)<0,G1(α)在α∈(-1,α*)上單調(diào)遞減.當(dāng)α∈(α*,+∞),G1′(α)>0,G1(α)在α∈(α*,+∞)上單調(diào)遞增.則G1(α)≥G1(α*).

由引理4可得

綜上,當(dāng)n=1時(shí),式(6)成立.

(Ⅱ) 當(dāng)n≥2時(shí),式(6)等價(jià)于

G2(Sn(α))可看成是關(guān)于Sn(α)的一元二次函數(shù),由引理3得

顯然G2(Sn(α))圖象是開(kāi)口向下的拋物線的一部分.注意到該拋物線的對(duì)稱軸

2n22(n+α))則僅需證

記 T= γ(α)+ln(n+α),則只需證

借助maple數(shù)學(xué)軟件,式(7)等價(jià)于

其中

由引理3得

則只需證明

經(jīng)整理,式(9)等價(jià)于

其中

下面就B1(n,α)分兩種情況討論:

①當(dāng)B1(n,α)≤0時(shí),由式(8),欲證式(10),只需證明

做代換n=x+2,α=y-1(x≥0,y>0),則

其中

顯然D(x,y)>0,式(10)成立.

②當(dāng)B1(n,α)>0時(shí),式(10)等價(jià)于

借助maple數(shù)學(xué)軟件,可求

其中

從而F′(t)>0,F(n)≥F(2).

由引理3

欲證F(2)>0,只需證明

上不等式顯然成立,式(11)成立.

綜上,式(10)成立,式(6)成立,定理得證.

4 強(qiáng)弱比較

且 α∈(-1,α*)時(shí),H(1,α)<0,α∈(α*,+∞)時(shí),H(1,α)>0.

當(dāng)n≥2,注意到e-t<1-t+12t(2t>0),則

其中

綜上,式(5)僅在n=1,α∈(-1,α*)上弱于式(4),其他范圍較式(4)強(qiáng),且形式簡(jiǎn)潔優(yōu)美.

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