線性代數教學的認識與實踐

王書臣，張 友

(大連民族學院理學院遼寧大連116605)

線性代數是理工科的一門重要的數學基礎課程，近年來許多文科專業也開設了這門課程，主要是因為線性問題廣泛存在于科學技術的各個領域以及人文科學的許多領域中。在快速發展的電子計算機領域，線性代數又為算法的模式更新提供了技術手段和思維源泉。

線性代數概念多、定理多、結論也多。學生乍一接觸很難找到與過去知識之間的聯系，與實際生活也建立不起聯系。這就使一部分學生在最初接觸線性代數的時間里，心理受到很大的打擊，可能會一蹶不振，對后續內容的學習產生了畏懼心理，甚至是厭倦，學習消極，最后導致成績上不來。這方面的表現比較普遍，曾做過問卷調查，也曾訪談過學生，普遍認為線性代數比微積分難學。另外，線性代數的許多技能、技巧需要實際演練，思想方法也是需要在長期教學中逐漸滲透與講解才能慢慢領悟，并通過習題演練逐漸到位。但由于時間短，習題課的課時比例少，這種先天不足就使目標難以實現。

本文針對線性代數課程的難點和特點，結合多年的教學經驗，討論了如何學好和教好線性代數。從激發學生的認知動因、幫助學生消除抽象感和注重數學思想的滲透等方面總結教學經驗，提出改進的建議。在實踐中收到良好的效果。

1 激發學生的認知動因

認知動因是指學生參與數學學習活動所需的內部驅動力，起著引發、指引、維持和增強數學活動的作用，是學生自主參與教學活動的基礎，真正的學習需要學生全部心理活動的參與，每個學生頭腦里的認知結構和意向狀態互為前提，互相促進。這將起到激發學習動機，促進個性發展的作用。喚起學生的求知欲，使學習的需求發自內心，產生積極向上的情感，久而久之，學生將逐漸地養成良好的學習習慣。體驗積極、愉快、進取、融洽的情感，培養堅強的意識，改變過去消極的學習態度。學習成績也自然就會提高上來。

激發學生認知動因必須精心設計每一節課。例如，在講對線性方程組的增廣矩陣進行初等變換時，引進《九章算術》中的一道古算題［1］，讓學生看到中國古人的解法(方程術)實質上就是線性代數中的基本方法。設計時一定要考慮到讓學生成為學習的主人，尊重學生的主體地位，引導組織學生的學習活動，使學生真正地參與到教學活動中來，用內心的體驗與創造去學習。在設計時，要發掘多種可能性，重視學生的非智力因素，以具體形象或問題情境作為教學出發點，喚起學生的求知欲望，使學習的需求發自內心，產生積極向上的情感，即使面對學習上的困難，也可以進行自我調節，朝著學習的結果前進。

2 幫助學生消除抽象感

抽象性是困擾學生學習線性代數的最大障礙?，F行的線性代數教材普遍有一個缺點，就是缺少知識背景，編寫上完全采用邏輯演繹的形式，從定義到定理，從概念到結論，不是按問題解決的方式來展開知識內容，而且，定理往往是成堆的集中出現，讓學生應接不暇。這是所謂抽象的主要根源。這樣就導致學生的學習始終處于一種迷惘狀態，不知在干什么。在做教學設計時，必須充分地考慮到這一點，認真對待每一個問題，任何的抽象都是來自具體的，每一種抽象又是可分層次的，由低向高逐級而來的。所以，要找到每一個問題的源頭，使所講內容具體化、形象化，這就要求一方面充分利用學生的已有知識;另一方面要用類比的方法來處理這些內容［2-3］。

2.1 抽象概念具體化

掌握概念一般認為有兩種方式。一是概念形成方式，即通過若干具體例子，逐步歸納概括出一類事物的共同本質屬性的過程，這是一種發現學習的過程。中小學中的大部分數學概念都是用這種方式來學習的。另一方式就是概念的同化，即學習者利用原有認知結構中的觀念來理解接納新概念的過程，這是一個接受學習的過程。后者在高等數學學習中使用比較普遍。但由概念到概念很抽象，不易掌握。其實，無論通過哪種方式來獲得概念，其最終目標都是掌握同類事物的關鍵屬性。剛剛入學的大學生其實在思維水平上與高中生相差無幾，抽象思維能力是有限的，所以這兩種概念學習方式要相互結合，共同使用，才能使抽象的概念具體化、直觀化、形象化，使學生學得更容易、更順暢，達到掌握概念的目的。

(1)類比法。雖然線性代數的內容很難找到生活實例，但和中學的代數還是有一定聯系的。在講解某些概念時，可以與初等代數中的概念進行類比。

例如，講可逆矩陣時，可引入學生非常熟悉的非零實數的倒數的定義，將可逆矩陣與之對于實數a≠0若存在b，使ab=1，則稱b是a的倒數，即b=1/a…在實數中，只有0沒有倒數，它是特殊的，也就是奇異的，對比之下，對于矩陣A，若存在矩陣B，使AB=BA=E，則稱 A是可逆的，B叫A的逆矩陣，A可逆的充分必要條件是|A|≠0，對于|A|=0，A是特殊的，這也正是把不可逆矩陣稱為奇異陣的來由。從中還可看出，單位陣E的地位與作用就如同實數中的1。

(2)引導法。先給出一個簡單的實例，引導學生將其逐漸復雜化，當復雜到一定程度，用以往知道的概念已經很難描述時，再給出新的概念。例如，講矩陣的秩的概念時，先讓學生觀察一個方程組，如

問學生這3個方程之間是否有聯系，是否可相互推出，有的同學就會發現第三個方程可以由前個方程推出。即3個方程中“有效方程只有2個”，然后再舉稍微復雜一些的方程組，讓學生繼續觀察，說明有效方程的個數其實就是階梯形矩陣中非零行的個數，這件事很重要。需要下個定義，最后再拋出矩陣的秩的概念［4］。

(3)幾何直觀法。先通過幾何法給學生一個直觀的印象，再歸納出抽象的概念。

例如，講解向量組線性相關和線性無關的概念時，盡管有中學的二維向量和三維向量的直觀模型，但四維以上的向量很難建立具體的模型了，n維的就更不用說了，學生會感到非常抽象。首先從幾何上直觀地給出向量組線性相關和線性無關的含義，得出“平面上任意一個向量都可由兩個不平行的向量的線性組合來表示”“空間上任意一個向量都可以由3個不共面的向量的線性組合來表示”的結論。這實際上就是向量的分解，蘊含了基底的概念。然后再歸納抽象出向量組線性相關和線性無關的定義。

2.2 抽象問題具體化

根據學生的思維特點，將教材進行再加工，找到知識發生的起點，同時還要指明知識的去向，引導探究，與學生一起歸納推導出新知識，并將新舊知識進行類比，并說明它們之間的關系，這樣就使教學內容具體而生動，學生知道目前所學的內容是怎么來的，干什么用的，與其他知識是什么關系，因而知識就容易接受了。

例如講定理“方陣A可逆的充分必要條件是存在有限個初等矩陣 P1，P2…，Pt，使 A=PaP2…Pt”時，要先講明這個定理的意義是什么，存在的價值是什么。為此，將其與小學的質因數分解、中學的因式分解作類比，質數是整數里不可再分解的，是整數構成中的基本元素，質因數分解的意義也就在于要搞清楚每一個整數的構成。同樣的道理，因式分解的意義就在于要搞清楚每一個多項式的構成，并為其計算和證明提供方便。初等矩陣是單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣，而初等變換是矩陣的一種最基本的運算，可見，該定理的意義就在于揭示可逆矩陣的結構，并為具體求可逆矩陣提供一個新的途徑。這樣的講解，學生的思維不再是抽象的，而是非常具體的。由具體到抽象，再又抽象到具體，這樣非常符合學生的認知規律，更有意義的是，這種學習方式避免了一言堂，填鴨式的老一套教學模式，教學目標是師生共同達成的，因為師生共同完成了定理的發現、陳述和證明。也正因為如此，所學的內容在理解上也較為深刻，大大地減少了“只見樹木，不見森林”的感覺。

3 重視數學思想的滲透

學習數學并非只是學會一招一式的技能和技巧，重要的是掌握其中的精神、思想和方法，只有這樣才能把握它的真諦，才能將數學思維遷移到其他領域中。線性代數中充滿了豐富的數學思想方法，對這些思想方法進行提煉，在教學中不斷地揭示、滲透與應用，對學生深刻領悟線性代數的內容，提高數學素質，學會用數學思維方式思考問題和解決問題都有很大幫助。

3.1 抽象概括思想的滲透

抽象在數學中是指從研究對象或問題中抽象出數量關系或空間形式，而舍棄其他屬性對其進行考察的思想方法。高度的抽象性是線性代數的一大特點，也是一大難點。抽象概括是數學中的基本方法，而在線性代數中則表現的淋漓盡致。線性代數中的定義、定理、公式及符號等都是抽象再抽象的結果，如教材中首先從解二元一次方程組和三元一次方程組引出二階行列式和三階行列式的定義，在此基礎上結合反序數的概念進一步抽象概括出階行列式的定義。n維向量空間的概念也是在已經熟知的二維和三維空間的基礎上抽象概括出的，逆矩陣、矩陣的秩、初等矩陣、二次型等概念的得出都體現著這種思想方法。不僅定義如此，在解決問題的方式上也是一樣的，例如，通過線性方程組解的研究，進一步升級到對向量空間的線性相關、線性無關和極大線性無關組的研究，反過來，向量空間的極大線性無關組的研究又為線性方程組解的結構的研究提供更高一層的概括的基礎。實際上，數學中的推廣、一般化也就是數學抽象化的一種具體表現［5］。

3.2 求簡精神的滲透

全部的數學可以概括為兩件事情，一是如何使描述與刻畫自然或社會現象的語言變得更簡練、更準確、更形式化;二是如何使改造自然或社會的方法變得更簡潔。這就是數學的求簡精神，之所以把它放在精神層面，是因為它高于普通數學思想方法，具有統領數學意識的作用，在線性代數中，求簡精神貫穿全書始終。從最初的行列式的引入就可以看出，它的引入是為了把解線性方程組算法化，使其通過有限個步驟就可實現，這對計算機高度發展的今天尤其有重要的意義。當人們發現解方程組其實與未知數的表示無關，僅與未知數的系數有關，于是，將同解變形簡化為只是對一數表進行變形，于是矩陣的概念產生了(當然還有其他因素)，由此，所有的線性變換都可以表示為矩陣的運算。在概括了三種初等變換為矩陣的基本變換后，仍感對一矩陣進行變形時非常麻煩，尤其是在理論表述和證明中多有不便。于是又創造了三種初等矩陣，使其與三種初等變換相對應，這樣在理論表述上就大大簡潔了。再如，研究向量空間時，受平面向量中基底概念的影響，從而抽象出極大無關組的概念，其基本思路就是在一個向量空間中能用最少的“骨干”向量表示出所有向量，這就是求簡。線性方程組解的結構的研究也體現了這一思路，“能否找到有代表性的一組解，使所有的解都可用它們表示?”“所有的解是否有統一的形式?”“齊次與非齊次方程組的解之間是否有一定的關系?”正是有了這樣的求簡的“追問”，才得出一系列的研究結果。

線性代數中還有許多思想方法，如化歸、歸納、遞推、分類、類比、變換、構造等等，應在每一節課中都注意滲透和講解這些思想方法，在做教學設計時，要注意到長期行為與短期行為的關系，形成系統培養的計劃，就會把數學思想方法教育做的更好［6］。

［1］史炳星.算法初步［M］.北京:高等教育出版社，2005.

［2］孫小禮.數學與文化［M］.北京:北京大學出版社，1980.

［3］黃秦安.數學哲學與數學文化［M］.西安:陜西師大出版社，1999.

［4］同濟大學.線性代數［M］.4版.北京:高等教育出版社，2006.

［5］張友，王書臣.高等數學課程的教學改革和考試改革［J］.黑龍江教育學院學報，2006(5):62-63.

［6］蕭樹鐵.面向21世紀高等數學教學改革的探討(續二)［J］.高等數學研究，2001(3):4-5.