基于Backstepping的機器人有限時間跟蹤控制研究

劉海濤，張鐵

(1.廣東海洋大學工程學院，廣東湛江524088;2.華南理工大學機械與汽車工程學院，廣東廣州510640)

工業機器人的運動精度不僅依賴于零部件的制造和裝配精度，以及運動學標定效果，而且與運動控制模型參數的精確程度和外部干擾密切相關。但在進行基于模型的控制器設計時，常常不得不忽略某些不確定性因素，如高頻動態特性、運動部件間的摩擦、信號的檢測噪聲等，而這些因素往往成為影響軌跡跟蹤精度的主要原因。因而一些現代的非線性魯棒控制算法受到研究者的關注，如自適應控制、滑模變結構控制和魯棒控制等。其中有限時間控制具有較好的瞬時響應特性和較高的跟蹤精度，因而特別適合于工業機器人系統的高品質控制。有限時間控制［1－2］是指系統狀態能在有限時間內收斂至平衡點，常見的有限時間控制方法有齊次系統方法［3］，有限時間Lyapunov函數構造法［4］、終端滑模控制［5－7］等。這些控制方法近年來的在機器人控制領域取得了許多研究成果，如文獻［8］采用齊次系統方法結合PD和重力補償策略提出了一種有限時間穩定的機器人控制方法，可獲得局部的有限時間穩定。文獻 ［9］提出的一種非線性PD+機器人控制器卻是全局有限時間穩定的，僅把傳統PD控制的線性位置誤差項代換為誤差的分數冪形式，卻獲得了更好的控制性能。文獻 ［10］利用Backstepping方法構造了一種有限時間控制器，但只考慮了機器人的位置控制。最近，文獻 ［11］提出了基于逆動力學方法的全局有限時間機器人跟蹤控制方法，同樣也是對機器人的傳統逆動力學方法加以修正，通過Lyapunov直接穩定性理論和有限時間穩定理論證明了全局有限時間穩定性。但是文獻 ［11］假設了機器人的動力學模型是完全精確已知的，并且未考慮各種不確定性因素的影響，如未建模動力學、模型誤差、干擾力矩和摩擦力等，眾所周知，六自由度工業機器人的動力學模型是相當復雜難以精確獲得的，因而其魯棒性難以保證。

結合工業機器人的實際應用，并考慮了常用交流伺服電機的動力學特性，利用Backstepping方法設計了一種具有強魯棒性且有限時間穩定的機器人軌跡跟蹤控制方法。

1 問題的描述

1.1 機器人的動力學方程

根據拉格朗日原理，對于一個多輸入多輸出的n自由度工業機器人系統，其動力學方程可表示為

為實現器人的高精度控制，必須同時考慮交流伺服電機的動力學特性，即機器人n個關節上交流伺服電機的動力學模型可表示為如下形式:

式中:τm∈Rn是電磁扭矩向量;qm∈Rn是電機轉子的轉角向量;τL∈Rn是電機的負載扭矩向量;Jm∈Rn×n為瞬時慣性矩陣;Dm∈Rn×n是電機阻尼系數矩陣;u∈Rn為電壓輸入向量。這里假設采用三菱交流伺服電機，在轉矩模式下，輸入電壓與輸出轉矩成正比，因此得出式 (3)，實際上忽略了交流伺服電機矢量控制的動態特性。

另外，機器人關節角與電機轉子轉角的關系如下:

其中N∈Rn×n為機器人n個關節的減速比矩陣。

由式 (1)— (4)可得，機器人－電機的動力學模型可表示為

實際上，模型 (5)的相關參數是很難甚至不可能精確獲得的，因此基于模型的控制方法不得不考慮參數不確定性的影響。為便于分析與設計，假設計實際的動力學參數可以表達為如下形式:

其中:

其中，a0，a1，a2，ε均為大于零的常數，通常利用試差法可以獲得，對于旋轉關節的工業機器人來說，關節位置及速度是有界的，因而上述假設是符合實際的。

1.2 相關定理

引理1.假設存在連續可微函數V(x):U→Rn，使其滿足下列條件:

(1)V(x)正定;

(2)存在正實數c＞0和0＜α＜1，以及一個包含原點的開鄰域U0?U，使得下列條件成立條件:

則系統 (7)為有限時間穩定的，若U=U0=Rn，則系統 (7)為全局有限時間穩定的。并且系統在初始狀態x(0)=x0下的調整時間滿足:

其中V(x0)是V(x)的初始值。

引理2.對于任意正實數a，b和0＜λ＜2，有以下不等式成立:

引理3.對于任意正實數a，b和0＜λ＜2，有以下不等式成立:

1.3 問題的描述

機器人有限時間軌跡跟蹤控制的目的就是使機器人的關節變量q能有效地跟蹤期望的關節量qd，并且使跟蹤誤差e能在有限時間內收斂至零，其中e(t)，∈Rn分別定義為e=q－qd，。

2 控制器設計

為了便于控制器的設計和分析，Sig(·)α向量定義如下:

其中 ξ= ［ξ1，…，ξn］T∈Rn，0 ＜ α ＜1，sgn(·)是標準的符號函數，定義如下:

令x1=e，x2=，則動力學系統(7)可表示為:

其中

為獲得系統的有限時間穩定，引入輔助控制量φ (x1)∈Rn，并且φ (0)=0。令誤差變量z=x2－φ(x1)，則式 (16)可表示為

通過Backstepping方法來設計控制器u，以獲得系統的有限時間穩定。

第一步:定義Lyapunov函數

則其導數為

為實現系統的有限時間穩定，須保證式 (20)滿足引理1的條件 (2)，因而設計輔助控制量φ (x1)= － K1Sig(x1)α，其中 K1=diag(k11，k12，…，k1n)，并代入式 (20)可得

如果z=0，則有

為此，需要進行下一步設計。

第二步:定義Lyapunov函數

對V2求導并將式 (18)代入得:

其中 K2=diag( k21，k22，…，k2n)，定義 μ=(1+α)/2，1/2＜μ＜1，將式 (25)代入式 (24)可得

顯然，由引理1可知，該系統是有限時間穩定的。但是由于不確定性集合函數ρ(q，，)是未知的，因此控制器 (23)是無法實際應用的。基于此，引入變結構項以提高對不確定性的魯棒性，即將控制器設計為:

其中 K3=diag(k31，k32，…，k3n)。

證明:將控制器式 (27)代入式 (24)，可得

如果選擇k3i≥ε，則有

因此，由引理1可知，系統 (18)是全局有限時間穩定的，并且系統在初始狀態下的調整時間為

說明1:由于變結構項的引入提高了系統的魯棒性，但是系統的高頻切換會產生“抖振”現象，容易激發高頻未建模的動力學，重則會損壞物理器件。因此，為避免產生“抖振”，引入邊界層的方法加以消除，但這會犧牲控制精度，實際應用時，需要加以權衡。

其中δ為較小的正常數，稱為邊界層厚度。

說明2:由于φ(x1)=－K1Sig(x1)α，當x1i=0時，φ(x1)的導數可能會產生奇異，因此對其修正如下:

說明3:冪指數α的選擇會影響控制效果，α越小，誤差收斂速度越快，但所需的控制量越大，重則也會產生“抖振”，因此通常選擇0.6＜α＜0.8。

3 仿真

為驗證文中控制算法的有效性，現對2自由度的工業機器人進行數值仿真，其動力學模型如下:

機器人的實際動力學參數和估計動力學參數見表1，交流伺服電機的動力學參數為Jm=diag(0.67×10－4，0.42 ×10－4)，Dm=diag(0.21，0.15)，N=diag(8，1)，Kτ=diag(19/40，19/80)。控制系統的輸入參考信號為qd1=sin(2πt)，qd2=sin(2πt)，系統的初始狀態為q1(0)=0.5，q2(0)=0.5，引入外界干擾信號τd=0.001+0.002q+0.005。控制器的相關參數設置如下:K1=diag(20，20)，K2=diag(30，30)，K3=diag(5，5)，α=0.7，δ=0.1，Δ=0.1。

為說明所提控制算法 (簡記為BFTC)的優點，與Yusin SU等人［11］提出的有限時間逆動力學跟蹤控制方法 (簡記為FIDC)進行比較，該控制算法為:

其中 Kp=diag(50，40)，Kd=diag(20，20)，α1=0.5，α2=2α1/(α1+1)=2/3。

表1 機器人的物理參數

仿真結果如圖1—3所示，由圖1—2可以看出，所提控制方法 (BFTC)的軌跡跟蹤位置誤差、速度誤差均遠小于文獻 ［11］的控制算法，具有較強的魯棒性，即使存在較大參數不確定性和外界干擾的情況下，仍能獲得滿意的跟蹤性能，并且在兩種算法情況下所需的控制量相當。另外該算法的瞬時響應速度更快，但初始時刻需要稍大的控制量，保證了系統的有限時間穩定。而文獻 ［11］的控制算法 (FIDC)假設了機器人的動力學模型精確已知，雖獲得了系統的有限時間穩定性能，但魯棒性難以保證，因而不適合用于工業機器人的實際控制。

圖1 軌跡跟蹤誤差

圖2 速度跟蹤誤差

圖3 控制輸入量

4 結論

結合工業機器人的實際情況，綜合考慮了交流伺服電機的動力學特性，通過Backstepping的遞推方法設計的有限時間穩定控制器，一方面保證了跟蹤誤差的有限時間收斂，瞬時特性好;另一方面引入了變結構項，增強了系統的魯棒性。在機器人動力學參數未精確已知和存在外界干擾的情況下，仍能獲得滿意的控制效果。通過與其他有限時間控制算法的仿真比較，說明該算法是有效的、可行的。

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