從一道高考題談學生的運算求解能力

安徽省黃山市屯溪第一中學 方 瑋 （郵編：245011）

運算求解能力是高考對學生的能力要求之一，高考試卷中幾乎每一道題都要考查到這種能力.一道題解題思路的探究過程需要它；一道題有了正確的思路以后，能否得到最終結果取決于它；一道題運算量的大小、運算難度與強度的高低也離不開它.因此，學生的運算求解能力直接關系到解題的效率和成敗.

本文以2013年高考（安徽卷）文科數學第17題的第（Ⅱ）問為例，結合筆者所帶班級中63名高二學生的原始答題情況，談談學生目前的運算求解能力.

1 原題再現

為調查甲、乙兩校高三年級學生某次聯考數學成績情況，用簡單隨機抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級學生，以他們的數學成績（百分制）作為樣本，樣本數據的莖葉圖如下：

（I）略.

2 解法歸納

從學生的原始解法中歸納出比較典型的6種正確解法和3種錯誤解法：

2.1 正確解法

正解2

2.2 錯誤解法

錯解2由莖葉圖可知甲、乙兩校樣本中有16人的成績相同，則

3 解法評注

此類解法總人數為43，約占68.25%，其中解法1人數為12，約占19.05%；解法2人數為13，約占20.23%；解法3人數為18，約占28.57%.

從上述數據來看，此類解法屬于該題的“通法”，其優點是學生容易想到，思路也比較自然；但其缺點是運算量較大，且運算易出錯.尤其是解法1，學生計算的錯誤率要高于解法2和解法3.實際上，解法1只考查到學生的運算技能，而解法2和解法3則體現了對數據的處理能適當降低運算的難度，除了需要學生的運算技能外，更有思維能力的運用.正如《考試說明》中所說的：運算求解能力是思維能力和運算技能的結合.

解法4 是將同一根“莖”兩邊的“葉”相抵消；解法5是將樣本數據“分組”抵消；解法6是將樣本數據“兩兩”抵消.這與前一類解法相比，不僅少了一個步驟，而且通過“減法”運算抵消了一部分數據，大大降低了運算的難度與強度，從而也降低了計算的“錯誤率”.《考試說明》中指出：運算能力包括分析運算條件，探究運算方向，選擇運算公式，確定運算程序等一系列過程中的思維能力.第二類方法正是這一點的體現，尤其是解法4.（注：解法4是高考公布的參考答案）

但此類解法總人數僅為7，約占11.11%.其中解法4人數為3，約占4.76%；解法5人數為3，約占4.76%；解法6人數為1，約占1.59%.上述數據反映大部分學生在考場上短時間之內不易想到此類思路，而且“先入為主”的是前一類思路.由此說明學生目前的運算求解能力中的“思維能力”部分還有待提高.

評注3 從學生的答題思路中也發現了三種比較典型的錯誤解法，總人數為8，約占12.70%.其中錯解1的思路同正解4，但它忽略了“莖”為5、6、7、9的“葉”不一樣長，想當然地將兩邊的“葉”的數據的和抵消，從而得到錯誤的結果，甚是可惜.錯解2與錯解3則犯了“概念”上的錯誤，而且這種錯誤的隱蔽性高，不易發現.錯解2先將甲、乙兩校樣本中的相同數據抵消，再將剩下14個數據的差的和除以14，從而得到錯誤結果.錯解3先分別求出六組數據的平均數，再求這六個平均數的平均數，錯誤地把這個結果作為樣本平均數，這兩種錯解都是混淆了樣本平均數的概念.

4 教學反思

對于這次學生的答題情況，筆者感到大部分學生的運算求解能力還未達到高考的要求，當然這里有各種各樣的原因，有教師方面的，也有學生方面的.學生在計算過程中出現的這樣那樣的錯誤也不僅僅是粗心、馬虎所造成的，而應該是多方面原因的綜合表現，所以應引起我們的足夠重視.

4.1 不足之處

（1）平常在“莖葉圖”等知識點的教學中，不大重視運算環節，總認為學生只要會算就可以了，沒必要占用過多的教學時間，沒有給學生創造訓練“思維能力”和“運算技能”的機會.

（2）教學中忽略了“基本概念”的重要性，輕描淡寫、一帶而過，導致學生不能準確、清晰、完整地掌握概念.而一旦出現了概念錯誤，則使解題中的有些運算成為“無用功”.

（3）教學中缺乏訓練“處理數據”的能力，導致學生見到大量的數據后，迷失了方向，很難在短時間內找到簡捷的運算思路.

（4）學生考慮問題時“思維定勢”比較嚴重，不能靈活變通.解題時急于動筆，忽略了思考，導致解題過程中存在較大的運算量，事倍功半，降低了解題的效率.

（5）學生對運算求解能力缺乏足夠的認識，認為只要聽懂思路，知道怎么做就行了，好高騖遠且惰性嚴重，缺少動筆練習.

（6）學生考慮問題不夠全面、不夠深入，思考時只停留在問題的表面，或被一些表面現象所蒙蔽，導致犯了“想當然”的錯誤.

（7）學生平時過分依賴于計算器，錯失動手、動腦的機會，從而影響了思維發展及運算技巧的掌握.

（8）學生在運算時往往顯得不夠自信，心理壓力大，畏首畏尾，導致一些“低級錯誤”的發生.

4.2 改進方向

（1）教學中，對一些表面上簡單的“運算”要端正態度，積極引導學生認真對待.課堂上要創造機會，給學生一個自主思考的空間.

（2）培養學生養成良好的審題習慣，遇到一些復雜的式子、復雜的運算，要細心去觀察、比較，找出其中的聯系、其中的規律，盡可能將其轉化為簡捷的運算.

（3）尋找思路時應從通法入手，但也不能思維定勢，要結合問題的條件，靈活地選擇運算公式，確定運算程序.

（4）培養學生養成“慢思考、快動筆”的習慣，要有耐性，不急不躁，克服急于求成的心理.考慮成熟后，方可減少運算量，提高解題的效率.

（5）培養學生認真計算的習慣，即使是簡單的運算也要小心謹慎，計算時要書寫工整、格式規范.保留好每一次計算的草稿紙，以便訂正時與老師的思路對比，找到錯誤的原因，才能更有效地糾正錯誤.

（6）重視對“概念”的教學，讓學生全方位、多角度地去理解概念，才能減少學生“想當然”方面的錯誤.

（7）加強對學生心理素質方面的訓練，以平和的心態對待運算，既要做到“謹慎”，又要充滿“自信”，要敢于做題、敢于計算，才能提高運算的速度和準確率.

（8）任何能力都是有計劃、有目的地訓練出來的.因此，要加強學生的運算練習，而且要按照一定的步驟和一定的規則進行多練、巧練、反復練.

總之，數學學習最重要的是創造能力，而解題則是培養學生創造能力的最好手段.只有運算求解能力提高了，解題水平才可以提高，數學學習就一定可以搞好.