軌道隨機不平順影響下高速鐵路地基動力分析模型＊

馮青松，雷曉燕，練松良

（1．華東交通大學鐵路環境振動與噪聲教育部工程研究中心，江西 南昌 330013；2．同濟大學道路與交通工程教育部重點實驗室，上海 201804）

引 言

高速列車在軌道上行駛時將引起軌道、路基及地基的振動，當振動波通過地基傳遞到建筑物基礎時將誘發建筑物振動及輻射低頻結構噪聲，形成環境振動問題，對人們的日常生活和工作產生影響。路基及地基振動是鐵路環境振動中最基本問題，是進行環境振動預測、減振及隔振設計的基礎。影響地基振動的因素眾多，如列車類型、行車速度、輪軌表面的平順狀態、軌道結構類型、路基及地基中土層分布及土體材料特性等。近年來國內外鐵路工作者對高速鐵路地基振動給予了大量關注，出現了許多有代表性的研究成果［1～17］。

在這些研究中，一般采用基于頻率－波數域的解析或半解析法［1～10］，數值計算方法如有限元［11～14］、有限元－邊界元混合法等［15～17］。數值計算方法具有強大的分析能力，能較好地適應復雜系統的不同狀況，但當列車高速運行時，計算模型必須很大，計算時間步長需很短，這樣計算成本很高，特別是在設計階段，需進行大量的方案比較，此時數值計算方法的應用受到很大的限制。解析或半解析法通過適當的幾何簡化，能較好地分析復雜系統振動的基本特性，具有高效的計算效率，受到學者和工程師的推崇。文獻［1～5］采用解析法分析了移動軸荷載作用下軌道－地基或軌道－路基的振動響應，但未考慮車輛與軌道的耦合振動。文獻［6～8］將軌道不平順考慮為諧波不平順，通過車輛－軌道－地基耦合振動模型分析了列車行駛引起的地基振動。文獻［9］提出了軌道隨機不平順功率譜密度與地基表面位移功率譜之間的關系式，得到地基表面位移功率譜，但文中所建模型不能得到動態輪軌力，也很難應用于地基表面振動的時程分析。文獻［10］建立了分析軌道隨機不平順影響下地基振動的半解析模型，但由于使用了解析法、邊界元法等多種理論方法，理論推導復雜，編程難度很高，計算效率較低。

作者曾建立了車輛－軌道－路基－地基耦合系統垂向振動模型，軌道不平順考慮為諧波不平順。本文在已有研究的基礎上，引入虛擬激勵法和諧波疊加原理，建立了軌道隨機不平順影響下高速鐵路地基振動分析模型，通過與現場試驗數據對比驗證了模型的有效性。與文獻［9，10］所建模型相比，本文模型思路清晰易懂，程序編制相對簡單，計算效率高，適用于對軌道隨機不平順影響下高速鐵路地基振動進行時域及頻譜分析。

1 虛擬激勵法求解軌道隨機不平順引起的動態輪軌力功率譜

列車荷載作用下地基的動應變很小，一般考慮為線彈性體，因此在研究鐵路地基振動時，一般將車輛－軌道－路基－地基系統考慮為線性系統。在文獻［7］中作者建立了基于線性系統假設的車輛－有砟軌道－路基－地基耦合系統垂向振動模型（見圖1）。模型中軌道不平順考慮為諧波不平順。移動車輛考慮為彈簧與阻尼器連接的多剛體系統；包括鋼軌、扣件及墊板、軌枕、道床、路基基床的軌道結構考慮為層狀彈性多層梁模型；路堤本體－地基考慮為層狀半空間體；車輪和鋼軌為線性赫茲彈性接觸。由輪軌接觸點處位移限制條件，可求解得動態輪軌力的方程

式中AW，AR分別為車輛在輪對處、軌道－路基－地基系統在輪軌接觸點處的柔度矩陣，AΔ為輪軌線性赫茲接觸柔度系數矩陣，Δz（）Ω為輪軌接觸點處軌道表面諧波不平順，P（Ω）為動態輪軌力幅值，上述各式的具體表達式見文獻［7］。

圖1 車輛－軌道－路基－地基耦合系統垂向振動模型Fig．1 Vertical vibration model of the vehicle－track－subgrade－ground coupled system

虛擬激勵法是中國學者林家浩等提出的用于分析結構系統隨機振動的新方法，其具體原理見文獻［18］．當列車在具有軌道不平順的鐵路軌道上運行時，同一條軌道上的任意兩車輪可以認為受到相同的軌道不平順激勵作用，兩激勵間存在某一時間差，即第一個輸入激勵點之后各點的輸入可視為前一個輸入點的簡單延時。設系統受到M點（M個輪對）異相位平穩隨機激勵Δz（t），則有

式中 Δz（t）為軌道高低不平順平穩隨機激勵的時間歷程函數；tj（j＝1，2，…，M）為各激勵點處的激勵滯后時間，tj＝（aj－a1）／c，aj為t＝0時第j個輪對的位置坐標，c為列車運行速度；Δz（t）可視為一個廣義的單激勵。設Δz（t）的自譜密度為Sv（Ω），則相應的虛擬激勵可設為

由于軌道不平順功率譜一般為以空間圓頻率表示的單邊功率譜Sv（β），而Sv（Ω）為時間功率譜，因此計算中需首先將軌道不平順功率譜轉換為以時間圓頻率表示的單邊功率譜。時間圓頻率Ω＝βc，β為空間圓頻率，則時間功率譜Sv（Ω）為

將式（7）代入式（4），利用上述方法可得到軌道隨機不平順引起的動態輪軌力的單邊功率譜密度SPP（Ω）。常規的動態輪軌力計算中，需先由軌道不平順功率譜反演軌道不平順樣本，再由軌道不平順樣本求解動態輪軌力功率譜。本文直接利用軌道不平順功率譜得到準確的動態輪軌力功率譜，減少了誤差，極大地減小了計算工作量。

2 求解軌道－路基－地基隨機振動響應的諧波疊加法

軌道隨機不平順一般可考慮為平穩的各態歷經隨機過程，由于整個系統模擬為線性定常系統，則動態輪軌力P（t）也為平穩隨機過程。由隨機振動理論知，激振力P（t）作用于軌道上固定點時，軌道－路基－地基系統的振動響應也應為平穩隨機過程；但當P（t）在軌道上移動時，此時即使激振力為平穩隨機過程，但軌道－路基－地基系統的振動響應卻為非平穩隨機過程。對于平穩隨機過程，用一個功率譜密度函數就足夠來描述整個過程；而對于非平穩隨機過程，則每一個時刻都有一個功率譜密度函數，需用譜場（功率譜隨頻率和時間的變化）來表示。由于譜場計算非常復雜，且沒有明確的物理意義，因此工程上一般仍借用平穩隨機過程的方法來近似處理非平穩隨機過程。本文將非平穩隨機過程近似處理為平穩隨機過程。

動態輪軌力P（t）可表示為指數傅立葉級數形式，即

式中P0為軸荷載。根據線性系統疊加原理，軌道－路基－地基系統的隨機振動響應為移動軸荷載和所有動態輪軌力諧波分量引起的振動響應的疊加。

對式（10）取模的平方，并考慮到各諧波分量之間相互獨立，則得相應的地基表面的位移能量譜為

式中T為觀測周期，取列車通過某點的時間。同理，可求出鋼軌、軌枕、道砟和基床表面加速度功率譜密度的估計值。

式（11）表明，能量譜的計算需在頻率Ωk，－Ωk處計算位移響應頻譜，而且為得到精確而光滑的能量譜，頻率采樣點數N應取很大，對盡量多的譜頻率計算能量譜，因此計算工作量非常大。為此需研究位移響應頻譜的簡化計算方法。

由文獻［7］可知，在移動諧荷載作用下地基表面位移可表示為

令（Ωk－2πf）／c＝βk，則式（16）變為

根據關于x，y的空間雙重傅里葉逆變換公式

式（17）可改寫為

由式（9）知，作用于軌道上的總荷載為軸荷載和傅立葉級數表示的N個正負諧波分量的疊加，移動軸荷載可看作頻率Ω＝0的諧波分量。在任一個諧波分量作用下軌道－路基－地基系統各部分的振動響應時程可根據文獻［7］計算得到。根據線性系統疊加原理，振動響應的總時程為所有諧波分量作用下的時程疊加。為提高計算效率，可將動態輪軌力諧波分量劃分為合適的諧波區間，根據能量等效原則計算出諧波區間中心頻率處動態輪軌力的等效幅值，這樣求解振動響應的總時程只需在各諧波區間中心頻率處計算即可。

諧波區間中心頻率處的動態輪軌力等效幅值的計算方法：假定動態輪軌力時域信號為a（t），其功率譜密度為SPP（f），f為頻率。某一個頻帶的下限頻率是fl，上限頻率是fu，該頻帶總的功率為

假設該功率是由某頻率等于該頻帶中心頻率的簡諧振動產生的，該簡諧振動的振幅為A，則中心頻率處的動態輪軌力有效值為

采用諧波疊加法求解軌道－路基－地基系統隨機振動響應功率譜和時程，思路清晰；另外通過在波數域內直接計算位移頻譜、劃分合適的諧波區間等，可大大提高求解隨機振動響應功率譜和時程的計算效率。

3 試驗驗證

3．1 計算參數

為驗證本文所提模型的合理性，于2010年1月在滬寧鐵路嘉定段進行了地基振動現場測試，模型計算結果與實測結果進行了對比分析。

測試地段為雙線電氣化鐵路，路堤高約1．5m。選擇靠近下行線線路一側平坦地面進行測試，在距下行線線路中心線14，24，34，44m處同時布置4個測點，每個測點同時測試x，y，z三個方向的地基表面振動加速度。將VM53A檢測到的信號輸出到INV306U5206數據采集分析儀，并利用DASP分析軟件進行分析處理。

針對測試地點實際工況，選擇合適參數，利用文中模型進行計算分析。列車類型CRH2，運行速度200km／h，CRH2動車組車輛基本參數見表1，單節CRH2動車車輛結構參數見表2。

表1 CRH2動車組基本參數Tab．1 Basic parameters of CRH2train

表2 單節CRH2動車車輛結構參數Tab．2 Parameters of single－unit CRH2vehicle

表3 有砟軌道結構參數Tab．3 Parameters of ballasted track

由于無測試地段的軌道不平順實際參數，軌道隨機不平順選取德國低干擾高速線路軌道譜，該不平順也是中國高速鐵路總體技術條件下進行列車平穩性分析時建議采用的譜密度函數，其軌道高低不平順譜密度表達式為

式中β為軌道不平順的空間角頻率（rad／m）；βc，βr，Av依次取值為0．824 6rad／m，0．020 6rad／m，4．032×10－7m·rad。

測試點地基土體為灰色粉性土，參考上海地區工程勘察報告取測試地段地基土層參數見表4。

表4 測試地段地基土層計算參數Tab．4 Parameters of ground on the test site

3．2 地基表面振動加速度頻譜的理論計算與實測結果比較

選取3．1中計算參數，利用本文模型對試驗實際工況進行計算分析，理論計算與實測的地基表面測點振動加速度振級見圖2。由圖可看出：理論計算的1／3倍頻程頻譜與實測結果吻合較好，特別是在低頻段和距離軌道較近測點如14m測點，這證明了本文理論模型的合理性。另外由圖也可看出：在高頻段理論預測與實測結果兩者偏差較大；距軌道中心線較遠測點，模型預測精度有所下降。產生這種結果可能與土體模型的簡化假定有關。當前土體模型為半無限大層狀土體模型，各層土考慮為均質且各向同性的粘彈性體，而實際地基中土體為非均質、各向異性體，其空間分布經常會出現局部變化。當考慮低頻振動時，土體中振動波主要波長較長，小范圍的土體變化不影響這些主要波長，然而當頻率較高時，小范圍的土體變化可能影響土體中較短波長的振動波。

3．3 地基表面振動加速度時程的理論預測與實測結果比較

理論計算和實測的距下行線路軌道中心線14，24，34和44m四個測點處振動加速度時程曲線見圖3。

圖2 距下行線路軌道中心線不同距離測點垂向振動加速度級Fig．2 Vertical acceleration level at different distance test points from the track centre－line of the down line

圖3 距下行線軌道中心線不同距離測點垂向振動加速度時程曲線（左、右圖分別為實測與理論計算結果）Fig．3 Vertical acceleration time history at different distance test points from the track centre－line of the down line（the left and right figure are the measured and theoretical calculation results respectively）

由圖3可看出：除24m測點處理論預測的最大垂向振動加速度比實測結果偏大外，其他測點處理論預測的最大垂向振動加速度時程與實測結果吻合較好。這進一步證明了利用本文模型預測地基振動的合理性。從實測和理論計算結果可清晰地看出地基表面垂向振動加速度隨距軌道中心線距離的增加而不斷衰減。

4 結 論

本文建立了考慮軌道隨機不平順的車輛－有砟軌道－路基－層狀地基垂向耦合振動解析模型。模型中，將虛擬激勵法和解析的波數－頻率域法有效結合起來，由軌道不平順的功率譜密度，直接得到準確的動態輪軌力功率譜。利用諧波疊加原理，將移動列車軸荷載和軌道隨機不平順引起的動態輪軌力考慮為諧波疊加形式，根據線性系統疊加原理，求得地基動力響應的振動加速度功率譜密度估計值和時程。與既有模型相比，本文模型思路清晰易懂、程序編制相對簡單，計算效率高，適用于對軌道隨機不平順影響下高速鐵路地基振動進行時域及頻譜分析。通過與現場試驗結果對比分析，證明了本文所提解析模型的合理性。

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