基于曲率特性的牙齒三維模型匹配方法研究

許松松，梅 雪，耿建平

（1.南京工業(yè)大學(xué) 自動化與電氣工程學(xué)院，江蘇 南京210000；2.南京工業(yè)大學(xué) 高新技術(shù)研究院，江蘇 南京210000）

0 引 言

三維模型的匹配融合技術(shù)已成為逆向工程、圖像處理、醫(yī)學(xué)影像領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)［1，2］。牙齒錐形束 CT （cone beam CT，CBCT）三維模型與藍(lán)光掃描儀三維模型的匹配融合技術(shù)，為醫(yī)生在設(shè)計種植手術(shù)方案時，同時提供軟、硬組織的形態(tài)結(jié)構(gòu)，從而獲得最優(yōu)的種植設(shè)計方案［3，4］。

國內(nèi)外專家針對牙齒錐形束CT三維模型與三維掃描儀牙齒模型的匹配融合技術(shù)提出了諸多方法。文獻(xiàn) ［5］中運(yùn)用了傳統(tǒng)的外加標(biāo)志點(diǎn)匹配法，需在牙齒表面添加金屬標(biāo)志物作為匹配基準(zhǔn)點(diǎn)，該方法精確性較好，但操作復(fù)雜，具體實(shí)施環(huán)境及儀器設(shè)備要求嚴(yán)格。文獻(xiàn) ［6］中運(yùn)用手動選取多對對應(yīng)點(diǎn)的配準(zhǔn)方法，該方法無需外加標(biāo)志點(diǎn)，其主要缺陷在于手動選取對應(yīng)點(diǎn)受操作者的經(jīng)驗知識影響較大，精確性不高。

針對無外加標(biāo)志點(diǎn)情況下，三維模型初匹配對應(yīng)點(diǎn)手動選取受人為因素制約的情況，本文提出基于曲率特性提取對應(yīng)點(diǎn)的方法。可準(zhǔn)確提取對應(yīng)點(diǎn)，提高了配準(zhǔn)精度，減小配準(zhǔn)過程中人為因素造成的影響。

1 無標(biāo)志點(diǎn)牙齒三維模型初匹配

牙齒錐形束CT三維數(shù)據(jù)和藍(lán)光掃描儀三維模型數(shù)據(jù)為STL格式，且錐形束CT三維數(shù)據(jù)包含整個牙齒信息，藍(lán)光掃描儀三維數(shù)據(jù)包含牙齒和牙齦信息。依據(jù)以上數(shù)據(jù)特點(diǎn)，本文采用以下系列方法實(shí)現(xiàn)初匹配。算法核心部分為基于曲率特性的對應(yīng)點(diǎn)的選擇及匹配。初匹配方法流程圖如圖1所示。

圖1 流程

2 數(shù)據(jù)獲取及預(yù)處理

2.1 獲取數(shù)據(jù)

采用西諾德inEosBlue藍(lán)光三維掃描儀 （分辨率為0.02mm）掃描患者牙齒石膏模型，然后使用掃描儀自帶軟件導(dǎo)出所獲得牙齒掃描模型 （STL格式）。使用西諾德GALILEOS系統(tǒng) （分辨率為0.1mm）掃描同一患者頜骨，獲得CT斷層掃描數(shù)據(jù)，CT數(shù)據(jù)格式為DICOM。然后使用Mimics對CT數(shù)據(jù)進(jìn)行三維重建，重建出頜骨的三維模型，并導(dǎo)出為STL格式。

2.2 預(yù)處理

由于頜骨模型與牙齒模型的共同部分僅為牙齒，所以配準(zhǔn)數(shù)據(jù)即為牙齒部分三維數(shù)據(jù)。為有效觀看實(shí)驗結(jié)果，通過逆向工程軟件Geomagic選取牙齒部分的數(shù)據(jù)做實(shí)驗數(shù)據(jù)。

數(shù)據(jù)獲取及預(yù)處理流程如圖2所示。預(yù)處理結(jié)果如圖3所示為牙齒掃描儀三維模型預(yù)處理后所得模型，圖4所示為牙齒錐形束CT三維模型預(yù)處理后所得模型。

圖2 數(shù)據(jù)獲取及預(yù)處理流程

3 STL模型拓?fù)渲亟?/h2>

STL （stereo lithography）文件格式是由3DSYSTEM公司制定的一個接口協(xié)議，是快速成型制造中經(jīng)常使用的文件格式。STL文件由許多三角面片組成，每個三角面片包含三個頂點(diǎn)的三維坐標(biāo)和三角面片的法矢量信息。

為滿足后續(xù)特征點(diǎn)提取需要，必須首先進(jìn)行拓?fù)渲亟ǎ礃?gòu)建點(diǎn)、邊、三角面之間的鄰接關(guān)系。拓?fù)渲亟ńY(jié)果需要達(dá)到以下要求：①已知三角面信息能夠獲取該三角面的3個頂點(diǎn)和三條邊信息；②已知邊信息能夠獲取該邊的兩個頂點(diǎn)和所屬三角面片信息；③已知點(diǎn)信息能夠獲取改點(diǎn)所屬于的三角面片和所屬的邊信息。拓?fù)渲亟ㄟ^程中查找并去除重復(fù)頂點(diǎn)至關(guān)重要。本文采用查找法實(shí)現(xiàn)，分別建立點(diǎn)表、邊表、面表，用于存儲點(diǎn)、邊和三角面的信息。依次讀取三角面片信息，去除重復(fù)的頂點(diǎn)，將點(diǎn)、邊、面分別存入點(diǎn)表、邊表和面表中，并進(jìn)一步建立點(diǎn)、邊和面之間的鄰接關(guān)系［7，8］。該方法實(shí)現(xiàn)簡單，不易出錯，準(zhǔn)確性高。

4 基于曲率特征點(diǎn)的牙齒模型匹配

4.1 基準(zhǔn)點(diǎn)選取

針對STL模型的特點(diǎn)，利用OpenGL選擇機(jī)制，實(shí)現(xiàn)STL模型上頂點(diǎn)的選取。OpenGL （open graphics library）是一種圖形硬件的軟件接口，對于程序員來說，OpenGL是一些指令或函數(shù)的集合，從本質(zhì)上說，它是一個3D圖形和模型庫。OpenGL提供了一種選擇機(jī)制，通過一定的操作能獲得三維場景中的對象。

選取基準(zhǔn)點(diǎn)時必須選取曲率變化較大的點(diǎn)，如凹凸點(diǎn)或邊緣點(diǎn)。本文選擇牙齒掃描儀三維模型為基準(zhǔn)模型，從牙齒中間凹槽處選取3個基準(zhǔn)點(diǎn)，結(jié)果如圖5中m1，m2，m3為選取的基準(zhǔn)點(diǎn)。

圖5 牙齒掃描儀三維數(shù)據(jù)模型中基準(zhǔn)點(diǎn)

4.2 對應(yīng)點(diǎn)選取

4.2.1 曲率計算方法

針對三角網(wǎng)格曲面沒有連續(xù)曲率的特點(diǎn)，國內(nèi)外專家學(xué)者提出的許多方法，其中Meyer等的Voronoi方法對估算三角網(wǎng)格曲面的各種曲率效果最好。針對牙齒的特殊結(jié)構(gòu)，本文選用改進(jìn)的Voronoi方法計算頂點(diǎn)曲率［9］。頂點(diǎn)曲率計算公式見式 （1）

V0點(diǎn)的曲率

如圖6所示，其中θj為邊V0Vj與V0Vj＋1的夾角，A為點(diǎn)V0所屬于的所有三角形網(wǎng)格的面積之和。

圖6 公式說明

具體步驟如下：

步驟1 獲取拓?fù)渲亟ê竺姹頂?shù)據(jù)，依次獲得每個三角網(wǎng)格的頂點(diǎn)坐標(biāo)，例如圖6所示，對于三角形V0V1V2為例，獲取頂點(diǎn)坐標(biāo) V0 （x0，y0，z0）、V1 （x1，y1，z1）、V2（x2，y2，z2），分別計算出三條邊邊長，設(shè)V0、V1邊長為a0，V0、V2邊長為b0，V1、V2邊長為c0，從而可以求出三角網(wǎng)格的面積S0。

步驟2 計算出每個頂點(diǎn)所屬于的三角網(wǎng)格的內(nèi)角角度。以三角形V0V1V2為例。首先依據(jù)三點(diǎn)坐標(biāo)求出向量V0V1、V0V2、V1V0、V1V2、V2V0、V2V1。然后可求出3個內(nèi)角的角度，計算公式見式 （2）－式 （4）

步驟3 如式 （1）所示通過曲率計算方法即可計算出每個頂點(diǎn)的曲率值。

4.2.2 對應(yīng)點(diǎn)提取

分別計算出掃描儀牙齒模型中基準(zhǔn)點(diǎn)m1，m2，m3的曲率值和CT牙齒三維模型中各頂點(diǎn)的曲率值，進(jìn)行比較，當(dāng)CT牙齒三維模型中某頂點(diǎn)的曲率與基準(zhǔn)點(diǎn)曲率值誤差范圍小于某一閾值時，將該點(diǎn)記為對應(yīng)特征點(diǎn)。本文設(shè)置誤差為｜0.00015｜。結(jié)果如圖7所示，圖中的點(diǎn)即為按照曲率特性所提取出的一系列符合要求的對應(yīng)特征點(diǎn)，將選出的特征點(diǎn)放入點(diǎn)列表中，可見對應(yīng)點(diǎn)不止3個，需作進(jìn)一步篩選。

圖7 牙齒CT數(shù)據(jù)三維模型中對應(yīng)特征點(diǎn)

4.2.3 對應(yīng)點(diǎn)篩選

由于計算誤差的設(shè)置及具有相同或相似曲率特征點(diǎn)的存在，容易出現(xiàn)一點(diǎn)對多點(diǎn)的情況，單純依靠曲率約束條件不能保證特征點(diǎn)集的對應(yīng)關(guān)系，容易降低匹配的精度，因而需要進(jìn)一步構(gòu)建強(qiáng)有力的約束條件來篩選對應(yīng)點(diǎn)集。

依據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離和三點(diǎn)構(gòu)成三角形面積不受剛體變換的影響，本文提出使用三點(diǎn)之間距離和三點(diǎn)組成的三角形面積進(jìn)行約束，從對應(yīng)點(diǎn)列表中選出最佳匹配的三點(diǎn)作為對應(yīng)點(diǎn)。

具體計算方法如下：設(shè)點(diǎn)K1（x0，y0，z0），K2（x1，y1，z1），K3 （x2，y2，z2），a、b、c 分 別為 K1、K2，K2、K3，K3、K1之間距離，S為K1、K2、K3構(gòu)成的三角形面積。距離計算公式和面積計算公式見式 （5）－式（7）

距離約束條件見式 （9）

d（m）為m1，m2，m3相互之間的距離，d（n）為n1，n2，n3相互之間的距離，α為設(shè)置的誤差。

面積約束條件見式 （10）

S（m）為m1、m2、m3構(gòu)成的三角形面積，S（n）為點(diǎn)表中任三點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積，β為設(shè)置的誤差。實(shí)驗結(jié)果如圖8所示，可提取出m1，m2，m3的對應(yīng)點(diǎn)n1，n2，n3。

圖8 牙齒CT數(shù)據(jù)三維模型中對應(yīng)匹配點(diǎn)

4.3 模型匹配

模型匹配主要目的是將處于不同坐標(biāo)系下的兩個模型變換到同一坐標(biāo)系下，采用坐標(biāo)變換的方法對模型進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)，把一個模型固定不變，將另一個模型相對于坐標(biāo)系進(jìn)行平移和旋轉(zhuǎn)，從而使兩個模型的相對位置關(guān)系發(fā)生變化。常用算法有標(biāo)簽法、四元素法、三點(diǎn)平移變換法等。

本文利用三點(diǎn)平移變換法生成旋轉(zhuǎn)矩陣R及平移矢量t，實(shí)現(xiàn)三維掃描儀牙齒模型與CT牙齒三維模型的初匹配［10－12］。由基準(zhǔn)點(diǎn)m1、m2、m3構(gòu)建局部坐標(biāo)系，設(shè)局部坐標(biāo)系為Tm ＝ （t1（m），t2（m），t3（m））。

以點(diǎn)m1為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)m1到m3的方向向量為x軸方向，則其單位向量為

然后再以m1到m2的方向向量與t1的叉乘向量為y軸方向，其單位向量為

最后利用單位向量t1和t2的叉乘確定z軸的單位向量為

類似的由對應(yīng)點(diǎn)n1、n2、n3構(gòu)建的局部坐標(biāo)系Tn＝（t1（n），t2（n），t3（n）），通過公式推導(dǎo)，可得使坐標(biāo)系 Tm中的點(diǎn)平移旋轉(zhuǎn)變換到坐標(biāo)系Tn中的旋轉(zhuǎn)變換矩陣R和平移矢量t。見式 （11）－式 （12）

然后將掃描儀牙齒模型中的所有頂點(diǎn)做平移旋轉(zhuǎn)變換R＊Mi＋t（Mi為掃描儀牙齒模型中的點(diǎn)，i＝1、2…n）。

代入相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)驗結(jié)果可得旋轉(zhuǎn)矩陣R及平移矢量t具體值，見表1。

表1 旋轉(zhuǎn)矩陣R及平移矢量t

匹配結(jié)果如圖9為原始待匹配的兩牙齒模型，圖10為匹配后模型。從實(shí)驗結(jié)果可看出，將本文算法運(yùn)用于牙齒三維模型的初匹配，其匹配結(jié)果是準(zhǔn)確、可靠的。

5 結(jié)束語

牙齒錐形束CT三維模型與藍(lán)光掃描儀三維模型初匹配傳統(tǒng)方法大多基于外加標(biāo)志點(diǎn)，操作復(fù)雜，具體實(shí)施環(huán)境及設(shè)備要求嚴(yán)格，實(shí)現(xiàn)困難，并給病人帶來痛苦。而無標(biāo)志點(diǎn)情況下手動選擇對應(yīng)點(diǎn)的方法，其匹配結(jié)果受操作者的經(jīng)驗知識影響較大。本文提出的一種基于曲率特性提取對應(yīng)點(diǎn)的方法，實(shí)現(xiàn)了牙齒模型對應(yīng)點(diǎn)的半自動提取，減小了匹配過程中的人為因素帶來的干擾，提高了初匹配的精度。本文算法的輸出結(jié)果作為精匹配 （如ICP算法）的初始條件，再進(jìn)行精匹配，進(jìn)一步提高匹配精度。在VC6.0平臺下，使用VC＋＋和OpenGL進(jìn)行了軟件編程實(shí)驗，結(jié)果表明，該方法具有較高匹配精度，匹配結(jié)果準(zhǔn)確、可靠。本研究所存在不足之處為對應(yīng)點(diǎn)篩選，約束條件具體視模型復(fù)雜程度而定，若模型相當(dāng)復(fù)雜，需進(jìn)一步添加約束條件才能成功完成對應(yīng)點(diǎn)的完美選擇。有待進(jìn)一步研究。

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