基于同倫迭代算法的弱耦合梁損傷識別

雷曉光，呂中榮，劉濟科

(中山大學 力學系，廣州 510006)

工程結構長期處于各種復雜工作環境中并不斷使用及損耗，總會出現各種損傷，而微小損傷一旦未被及時發現，損傷的積累會給整個結構帶來災難性后果。因此早期損傷識別［1］對保障結構安全非常重要。

大多據結構響應對物理參數變化提出的檢測方法，均在頻域［2-5］內進行。而實際工程中，大量結構由于自身對稱性常會出現重頻［6］或近似重頻的退化系統。如海洋石油平臺、飛機、多跨連續梁結構等。在此種情況下，頻域損傷識別方法難以保證獲得收斂的識別結果。因此研究重頻損傷識別問題意義重大。

本文在時域內對具有重頻特性的耦合結構進行損傷識別，以系統抗彎剛度參數作為損傷識別指標，引入同倫迭代法［7］對結構損傷進行定位及程度確定。利用有限元計算響應與模擬測量響應最小化獲得非線性目標函數，對目標函數對各損傷參數求偏導獲得時域內的識別方程。采用最小二乘法構造同倫方程［7］進行迭代求解，其實質是在時域內非線性大范圍收斂識別方法。其收斂不依賴于初始值選擇，且可對具有重頻的多跨結構進行準確識別。利用車輛經過多跨橋梁時產生的加速度響應檢測結構損傷。以兩跨弱耦合連續梁為例，通過數值算例中對單一局部損傷及多個局部損傷工況分別進行識別，進一步討論噪聲對識別結果影響，仿真算例表明本文方法在有噪聲環境下能較準確識別具有相重頻率的多跨連續梁局部損傷。

1 正問題

1.1 連續梁系統有限元模型

圖1為兩跨耦合連續梁，通過有限元法離散，系統強迫振動方程可寫為:

式中:［M］，［K］，［C］分別為系統質量矩陣、剛度矩陣、阻尼矩陣，本文采用瑞雷阻尼模型:［C］=a1［M］+a2［K］，其中常數a1，a2由兩個不等的振動模態頻率與給定阻尼比率確定，{P(t)}為系統節點力向量。圖中1，11為有限元節點編號。

圖1 雙跨耦合梁系統Fig.1 The coupled beam system

1.2 連續梁系統自由振動頻率與強迫振動響應

無阻尼系統自由振動方程可表示為:

其特征值表達式為:

式中:λi=ω2

i，ωi為第i個模態圓頻率;{u}i為第i階模態振型。外激勵力作用下的強迫振動響應可由式(1)求出。本文采用工程中常用的Newmark直接積分法求解。

2 同倫識別法求解

2.1 同倫法基本原理［7］

結構損傷識別問題可歸結為問題的逆向優化求解，通過損傷模型獲得響應反演系統局部損傷狀況。直接利用時域響應數據反推系統結構真實損傷狀況。損傷識別問題求解歸結為尋找損傷向量x=(x1，x2，…，xn)T，使目標函數J(x)=(w-w*)T(w-w*)/2取得極小值，w*=(w1，w2，…，wn)T為已測得的結構測點響應幅值，即損傷結構真實響應(可以是位移、速度、加速度等)。此處采用結構響應加速度，因其包含的結構損傷信息量較多。w為結構系統計算響應數據。損傷識別問題轉化為求解非線性方程組:

同倫法思想是對f(x)=0引入參數t構造一簇映射K，當t為某個特定數值:t=1，K變為式(7)中的f(x)，t=0可得方程f0(x)=0的解x0，即構造一簇映射使K滿足K(x，0)=f0(x)，K(x，1)=f(x)，其中f0(x)=0的解x0為已知，即初始迭代值。而方程K(x，1)=f(x)即為原非線性方程組。由此，結構損傷識別問題轉化為求同倫方程K(x，t)=0解的問題。其解為x=x(t)。通過引入同倫參數t［0，1］，建立同倫方程為:

式中:x0為任意取定初值;f(x)為非線性方程組左邊向量函數;t=0，t=1時式(5)變為:

參數t在區間［0，1］變化時，K(x，t)構成一組同倫映射，對應同倫方程(5)的解x=x(t)從而構成空間曲線。曲線一端(t=0)表示f(x)-f(x0)=0的解;另一端(t=1)表示f(x)=0的解。因此只要控制參數t從0到1變化跟蹤曲線x=x(t)即能找到原問題的解。K(x，1)=0的每個孤立解至少一條由t=0時曲線跟蹤獲得，即函數曲線的起點為K(x，0)=0的解。構造的同倫函數有該性質時全部孤立解可通過跟蹤同倫函數路徑獲得。跟蹤曲線基本數學方法見文獻［7］，其基本思想為使同倫方程恒成立:

由于初值x0可任意選取，且在選取過程中未做任何假定，故同倫延拓法亦為大范圍收斂的非線性方法，式(5)的求解可采用牛頓迭代法。即將t在［0，1］區間上分為n份記作tr=r/N，(r=0，1，2......N)，當r=0時，K(x，t)=K(x，0)=0 的解x(0)=x0已知，取r=0，1，2......N一個解為初始值，用牛頓法迭代公式為:

其中:r=0，1，2，3……，N-1。f'(xr)為計算中待求的雅克比矩陣，相當于靈敏度矩陣［8］，表達式為:

K(x，t)=0可以有多種表達形式，如K(x，t)=tf(x)+(1-t)f(x-x0)等形式。同倫方程所取表達式不同，結果及求解速度也不同，本文采用K(x，t)=f(x)+(1-t)f(x0)形式，在計算迭代過程中，同倫參數等分數的劃分對計算結果收斂快慢程度影響較大:同倫參數取值較大時，模型對應的雅克比矩陣趨近于奇異矩陣，使計算結果不能收斂。為避免該病態的出現，迭代時給雅克比矩陣增加一正則矩陣aI，I為單位矩陣，a為正則化參數［9］，以保證結果收斂。

3 數值算例

3.1 損傷識別

對圖1系統用有限元離散為10個均勻歐拉-伯努利梁單元。參數設為:楊氏模量E=3.4 GPa，密度p=2 800 kg/m3，橫向耦合彈簧剛度 2.7 ×109N/m，扭轉耦合彈簧剛度2.7×107N·m/rad，每跨長10 m，梁橫截面積 0.15×0.15 m2，作用于梁系統的外激勵P(t)=15 000［1+0.1sin(10πt)］N，計算響應時假定移動力在梁左端以5 m/s速度勻速移動到右端，時間步長0.005 s，進行不同工況下損傷識別。

3.1.1 單一損傷識別

將單元9的剛度折減5%模擬局部小損傷，利用5號節點加速度響應數據進行損傷檢測，取前4 s響應數據進行識別。不考慮測量噪聲影響，經9次迭代后識別結果見圖2。由圖2看出，本文方法能成功識別出系統局部損傷。即此方法可用于識別早期微小損傷。

3.1.2 多處損傷識別

設系統第2，3，7號單元剛度分別有2%，3%，5%的減少。移動力加速度響應位置同單一損傷識別。設數據測量仍未包含噪聲影響。經10次迭代后識別結果見圖3。由圖3看出，3個局部損傷位置及損傷程度均能準確識別出來。表明本文所用同倫法能成功識別出結構的多個不同局部損傷，印證本文方法的有效性。

3.1.3 測量噪聲影響

圖2 耦合梁單一損傷識別Fig.2 Identification of a single damage

圖3 耦合梁多損傷識別Fig.3 Identification of multiple damages

圖4 耦合梁的多損傷識別(15% 噪聲水平)Fig.4 Identification of multiple damages(15%noise level)

4 結論

本文利用所提基于同倫迭代算法時域損傷識別新方法，對兩跨弱耦合歐拉-伯努利梁局部損傷位置及損傷程度進行有效識別。結論如下:

(1)基于同倫迭代算法，識別時解的收斂不依賴于初始值選擇。能有效解決重頻的多跨結構損傷識別。

(2)此方法對程度較小損傷檢測可達到較好精度要求，收斂速度快、損傷識別效率高。

(3)由數值算例知，此方法對測量噪聲不敏感，說明具有一定工程實用潛力及應用價值。

［1］Shi Z Y，Law S S，Zhang L M.Damage localization by directly using incomplete mode shapes［J］.Journal of Engineering Mechanics-ASCE，2000，126(6):656-660.

［2］Cawley P，Adams R D.The location of defects in structures from measurements of natural frequencies［J］.Journal of Strain Analysis，1979，14(2):49-57.

［3］Pandey A K，Biswas M，Samman M M.Damage detection from change in curvature mode shapes［J］.Journal of Sound and Vibration，1991，145(2):321-332.

［4］Pandey A K，Biswas M.Damage detection in structures using change in flexibility［J］.Journal of Sound and Vibration，1994，169(1):3-17.

［5］Liu J K，Yang Q W.A new structural damage detection method［J］.Journal of Sound and Vibration，2006，297(3-5):694-703.

［6］Chen Z J.The analytic of repetition frequency［J］.Fu Zhou University Journal(Natural Science)，1994，8(4):1-6.

［7］張開鵬，吳代華，李卓球.基于有限元法的結構損傷同倫延拓識別法［J］.武漢理工大學學報(自然科學版)，2004，14(2):31-34.

ZHANG Kai-peng，WU Dai-hua，LI Zhuo-qiu. Homotopy algorithms of structures damage identification based on FEM［J］.Journal of Wuhan University of Technologe(Natural Science)，2004，14(2):31-34.

［8］Lu Z R，Law S S.Features of dynamic response sensitivity and its application in damage detection［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，303(1-2):305-329.

［9］Tikhonov A M.On the solution of ill-posed problems and the method of regularization［J］.Soviet Mathematics，1963，4:1035-1038.