重排譜圖在跳頻信號參數估計中的應用

鄧 靈，張天騏，金 靜，朱洪波

（重慶郵電大學 信號與信息處理重慶市重點實驗室，重慶400065）

0 引 言

跳頻通信以其優良的抗干擾性能和多址組網性能在軍事、民用通信得到了廣泛的應用，于是如何對接收到的跳頻信號進行檢測和分析，獲得頻率，周期等技術參數以便通信雙方使用，已經成為一種迫切需要［1，2］。

跳頻信號不同于一般的平穩信號，其頻率不斷地跳變。對于這類非平穩信號，常用時頻分析來處理。經過長期大量的研究，這些主要的時頻分析方法顯露了很多缺陷。短時傅里葉變換 （short－time fourier transform，STFT）雖然運算量小，但是時間和頻率的分辨率不高［3］；維格分布（wigner－ville distribution，WVD）具有許多優良的數學性質，但對于跳頻信號存在很大的交叉項干擾［4，5］；平滑偽維格分布 （smoothed pseudo WVD，SPWVD）通過分別在時域和頻域進行平滑，有效地抑制了交叉項干擾，但降低了時頻分辨率［6，7］；重排類時頻分布在時頻聚集性和抑制交叉項干擾上都有良好的性能，考慮到參數估計需要精確的估計值，本文采用了重排譜圖的時頻分析方法，對跳頻信號進行參數估計。

重排譜圖的方法能有效地減少交叉項干擾，提高了時頻分布的聚集性，同時保留了維格分布的高時頻分辨率，使跳頻參數的估計值更加準確。首先利用重排譜圖，對跳頻信號進行處理，提取出重排譜圖在每個時刻的最大值，構成峰值矢量，對峰值矢量進行傅里葉變換，由頻譜峰值位置即可得出跳頻周期，在已知跳頻周期的基礎上，利用公式求出跳變時刻及跳頻頻率。

1 跳頻信號的時域特性

跳頻信號的主要參數有跳頻頻率、跳頻周期、跳變時刻及跳頻圖案，其定義參見文獻 ［8］。常用的數學表達式如下

式中：0≤t≤T，T為跳頻信號的觀測時間；A為幅度；p為跳頻信號的載波頻率個數；recTh是寬度為Th的矩形窗；Th為跳頻信號的跳頻周期；｛ f1，f2，…，fk，…，fp｝ 為一個給定的頻率集，fk為跳頻信號的第k個跳變頻率；φ為載波的初始相位；n（t）為零均值的加性高斯白噪聲。

理想的跳頻信號 （無噪聲）如圖1所示，其中，初始相位為φ＝0，跳頻周期為Th＝0.05s，觀測時間T為5個跳頻周期，采樣頻率fs＝1000Hz，采用的跳頻頻率為｛350，400，150，50，250｝Hz。

圖1 時域中的觀測信號

2 時頻分析方法

2.1 短時傅里葉變換 （STFT）及譜圖

短時傅里葉變換是一種典型的線性時頻表示［8］。給定一個窗長很短的窗函數γ（t），讓窗在時間域上滑動，則信號z（t）的短時傅里葉變換定義為

定義式表明，信號在時間t的短時傅里葉變換就是首先讓信號乘以一個以時間t為中心的窗函數η＊（u－t），然后對乘積作傅里葉變換，相當于提取了信號在時間t附近的一個切片進行分析，因此其物理意義可看成是信號z（t）在時刻t附近的一個 “局部頻譜”。窗函數的選擇對局部頻譜的分辨率有明顯影響，窗寬要適應信號的局部平穩長度，如何找到最優的窗函數使短時傅里葉變換在實際應用中受限。

由于能量本身就是一種二次型表示，當我們用時頻分布來描述時間－頻率能量分布時，二次型時頻表示更加直觀，譜圖便是二次型時頻表示的一個典型例子。譜圖的定義為STFT的模值的平方

對于一般時變性比較明顯的信號，用譜圖來分析只能取很短的時間窗寬，因此存在時寬和帶寬分辨率的矛盾；但是對于多分量信號z（t）＝∑izi（t），譜圖的計算式為

式中：φzi（t，f）＝arg（STFTzi（t，f）），由上式可知，如果信號自身的譜圖不重疊，那么譜圖沒有交叉項。

2.2 維格分布 （WVD）

信號z（t）的維格分布定義為

對于多分量信號，不同信號分量之間交叉作用是比較嚴重，即使兩個信號分量的支撐區基本不重疊，維格分布仍會出現交叉項。由于維格分布嚴重的交叉項干擾，限制了它的實際應用。

2.3 重排譜圖

對于以上二次型時頻分布的不足，Kodera K，De Villedary C等人首先提出了對譜圖進行重排，來提高信號分量的時頻聚集性。隨后，Auger.F，Flandrin.P提出了比較完善的重排公式［9］。

根據前面的定義，譜圖可以看成是信號和分析窗之間的維格分布的二維卷積，即

式中，Wh是窗函數的維格分布。式 （7）表明，乘積項Wz（s，ξ）W （t－s，f－ξ）之和即任意點 （t，f）在時頻平面的值，可看作是對（t，f）的鄰近點的維格分布值進行加權平均。因此，信號的譜圖是信號在以點（t，f）為中心的鄰近區域內的能量平均值。這一求平均的運算雖減小了信號的交叉項，同時也使信號的分量發生了擴散［10，11］，重排方法通過重排算子，重新安排信號的能量在時頻域內的分布，將各平均點分配到能量重心，以改善信號分量的能量聚集性。其中，重排算子定義為

2.4 譜圖、WVD及重排譜圖方法的比較

在理想的跳頻信號中加入信噪比為10dB的高斯白噪聲，分別用WVD、譜圖和重排譜圖進行仿真，得到如圖2－圖4結果所示。

由圖2－圖4可以看出，WVD在有噪聲的情況下，跳頻圖案模糊，各分量間 （不同頻點之間，頻點與噪聲以及不同頻率的噪聲之間）存在嚴重的交叉項干擾；譜圖通過加權求平均，交叉項干擾顯著減少，跳頻圖案比較清晰，但是由于窗函數的選取受限 （此處選用了窗長為61的漢寧窗），導致其時頻分辨率很低；重排譜圖方法在譜圖的基礎上，通過重新分配信號的能量分布提高了時頻聚集性，能夠清晰準確地反映出跳頻信號的時頻特性，便于參數估計。

圖4 重排譜圖

3 跳頻信號的參數估計

對于接收到的跳頻信號以跳頻信號模型的采樣頻率fs進行采樣，得到長度為N的序列z（n），n＝0，1，…，N－1，具體的參數估計算法步驟如下：

跳頻周期

（3）用FFT變換對最大值矢量y（n）進行處理，跳頻信號的跳頻速率fmax可由變換后的幅頻圖直接讀出，即幅度最大值所在的頻率點。繼而得到跳周期估計值＝其相應的離散估計值為。

跳變時刻

（1）在實際應用中，第一個周期和最后一個周期可能會因為接收不完整而存在較大的誤差，作精確估計時只對中間的幾個周期進行計算。求出y（n）在觀測時間n∈［＾NH＋1，N－＾NH］內峰值所在的位置，得到p（k），k＝1，2，…，p，p是觀測出的峰值個數。

（2）計算觀測到的峰值的平均時刻：＾pα＝則估計出跳頻信號的離散跳變時刻為：－。

跳頻頻率

（1）在估計出跳周期＾NH和跳變時刻＾na的基礎上，求出在觀測時間N內出現的完整頻點數目i＝（符號“［］”表示取不大于符號內參數的最大整數）。

（2）跳頻信號的重排譜圖的峰值所對應的頻率即跳頻頻率，即可得到跳頻信號的跳變圖案

4 仿真結果及性能分析

（1）時頻分析的定量評價

文獻 ［10］用信息熵來定量地評價時頻分析的性能。信息熵用來描述事件發生的不確定程度，數學表達式為：式中，pi為事件的概率分布，K為一個常數。由式可知，當事件等概率分布時，此時信息熵最大，信息熵反映了概率分布的均勻性。在時頻分布中，信息熵值越大即概率分布越均勻，說明其時頻聚集性越差；同理，在聚集性相同的條件下，信息熵值越大說明交叉項干擾越大。因此，對于信號的時頻分析，其信息熵越小，表示時頻性能越好。表1給出了幾種時頻分布的信息熵。

表1 時頻分布的信息熵

由表1可以看出，重排譜圖與WVD和譜圖相比，性能有顯著的提高。

（2）參數估計性能

根據算法步驟，對2.4中的跳頻信號 （信噪比為10dB，T＝0.05s）的譜圖和重排譜圖分別提取出其在每一時刻的最大值，即對圖3和圖4進行計算，得到圖5和圖6。

從圖5和圖6可知，經過時頻分析后的最大值矢量具有周期性，由于對譜圖進行了重排，導致了重排譜圖的最大值曲線不平滑。對圖5和圖6進行傅里葉變換，得到圖7和圖8。

由圖7和圖8可知，最大值矢量的FT幅頻圖中最大的峰值所在的頻率就是跳頻信號的跳速。在信噪比為10dB的條件下，由圖7得到的跳頻信號的跳速為18.5547，即跳頻周期T＝1／18.5547＝0.054s；由圖8得到的跳頻信號的跳速為19.5313，即跳頻周期為T＝1／19.5313＝0.051s，由此可見，用重排譜圖的方法對跳頻周期的估計更加精確。由第三節參數估計的算法可知，跳變時刻的估計精度受到跳周期估計精度的直接影響，而對其估計的準確度又與跳頻頻率估計有關，因此，提高對跳周期的估計精度十分重要，文中僅對跳頻周期 （跳頻跳速的倒數）作性能分析。

圖9為改變信號的信噪比，反復實驗算法300次后對信號的跳頻跳速估計的性能曲線圖。由圖可以看出，譜圖對跳頻跳速的估計相對誤差在0.05～0.2之間，波動幅度較大；而重排譜圖對跳頻跳速的估計相對誤差卻精確到在0～0.1，精確度明顯提高。

5 結束語

本文研究了重排譜圖在跳頻信號參數估計中的應用方法。通過對時頻譜圖的重排，提高了跳頻信號在時頻域內的聚集性，有效抑制了部分交叉項干擾，改善了時頻圖的可讀性。針對跳頻跳速 （跳頻周期的倒數）的估計進行了性能仿真，仿真結果表明，與普通的譜圖方法相比，重排譜圖在低信噪比的條件下，提高了跳頻周期及跳頻頻率估計的準確度。

圖9 跳頻跳速估計性能曲線

［1］ZHANG Wei，TANG Bin，ZHANG Jian.Ultra wideband highspeed frequency hopping signal reconnaissance technique ［J］.Telecommunication Engineering，2008，48 （4）：19－22 （in Chinese）.［張偉，唐斌，張健.超寬帶快速跳頻信號偵察技術［J］.電訊技術，2008，48 （4）：19－22.］

［2］GUO Jiantao.Ambiguity function of random frequency－hopping signals and its time－frequency analysis ［J］.Computer Engineering and Applications，2008，44 （18）：121－123 （in Chinese）.［郭建濤.隨機跳頻信號的模糊函數與時頻分析 ［J］.計算機工程與應用，2008，44 （18）：121－123.］

［3］LU Yunsheng，DONG Yingying.Parameter estimation of frequency－hopping signals based on STFT ［J］.Ship Electronic Engineering，2011，31 （10）：73－74 （in Chinese）.［盧云 生，董英英.基于STFT的跳頻信號參數估計 ［J］.艦船電子工程，2011，31 （10）：73－74.］

［4］LIU Yuzhen，ZHAO Ran.Frequency－hopping signal parameter estimation based on improved WVD ［J］.Computer Engineering and Design，2011，32 （11）：3616－3919 （in Chinese）.［劉玉珍，趙冉.基于改進WVD的跳頻信號參數估計方法 ［J］.計算機工程與設計，2011，32 （11）：3616－3919.］

［5］CHEN Chao，HAO Yanzhong，GAO Xianjun.Parameter estimation of frequency－hopping signals based on amelioration algorithm of WVD ［J］.Journal of Jilin University （Information Science Edition），2010，28 （2）：124－130 （in Chinese）.［陳超，郝雁中，高憲軍.基于 WVD改進算法的跳頻信號參數估計 ［J］.吉林大學學報 （信息科學版），2010，28 （2）：124－130.］

［6］LU Hu，SHI Haoshan，XIE Yan.The estimation of FH signal parameter by multi－windows iterative SPWVD algorithm ［J］.Journal of Air Force Engineering University （Natural Science Edition），2008，9 （2）：52－55 （in Chinese）.［盧虎，史浩山，謝巖.估計跳頻信號參數的多窗口迭代平滑偽WVD新算法［J］.空 軍 工 程 大 學 學 報 （自 然 科 學 版），2008，9 （2）：52－55.］

［7］GUO Yi，ZHANG Eryang，SHEN Rongjun.The time－frequency analysis and blind parameter estimation of frequency hopping signals ［J］.Signal Processing，2007，23 （2）：210－213（in Chinese）.［郭藝，張爾揚，沈榮駿.跳頻信號時－頻域分析與參數盲估計方法 ［J］.信號處理，2007，23 （2）：210－213.］

［8］YAN Chaohui，TANG Jianlong.Hop duration estimation for frequency－hopping signals ［J］.Information and Electronic Engineering，2011，9 （1）：74－77 （in Chinese）.［嚴超會，湯建龍.跳頻信號的跳周期估計 ［J］.信息與電子工程，2011，9（1）：74－77.］

［9］CHEN Lihu，ZHANG Eryang，SHEN Rongjun.Time－frequency analysis of frequency－hopping signals ［J］.Journal of Astronautics，2009，30 （2）：740－747 （in Chinese）.［陳利虎，張爾揚，沈榮駿.跳頻信號的時頻分析 ［J］.宇航學報，2009，30（2）：740－747.］

［10］ZHANG Xi，DU Xingmin，ZHU Liya.Blind parameters extraction of frequency－hopping signals based on reassignment SPWVD ［J］.Computer Engineering and Applications，2007，43 （15）：144－147 （in Chinese）.［張曦，杜興民，朱禮亞.基于重排SPWVD的跳頻信號參數提取方法 ［J］.計算機工程與應用，2007，43 （15）：144－147.］

［11］LEI Yingke，ZHONG Zifa，WU Yanhua.Hop duration estimation algorithm for high－speed frequency－hopping signals based on RSPWVD ［J］.Systems Engineering and Electronics，2008，30 （5）：803－805 （in Chinese）.［雷迎科，鐘子法，吳彥華.基于RSPWVD高速跳頻信號跳周期估計算法 ［J］.系統工程與電子技術，2008，30 （5）：803－805.］