面向系統的平面公差語義及其數學模型

黃 強 張根保 王 健

1.重慶理工大學，重慶，400054 2.重慶大學，重慶，400044 3.四川普什寧江機床有限公司，都江堰，611830

0 引言

機械產品的公差設計質量是影響其功能、質量及成本的決定性因素［1］。隨著計算機輔助公差設計（CAT）的出現和發展，利用計算機建模進行公差分析、公差綜合以及公差優化的研究和應用工作已在國際范圍內展開并取得了顯著的成效。在這些研究與應用中，各種公差建模思想和表示形式在不同的應用目標下各有所長［2－7］。在現代企業中，CAD／CAE／CAPP／CAM 已逐步趨于集成。為了與企業現有產品開發系統相適應，國內針對三維造型體的公差建模研究也逐漸增多，這類建模主要基于數學定義或小位移旋量［8－10］。產品的公差設計是面向功能的設計。目前，面向功能的公差設計研究往往以可裝配性為目標。在機床精度設計中，機床輸出精度是一項必須保障的最終功能目標。機床系統的最終輸出精度在很大程度上取決于機床零部件的公差設計，在零部件的公差語義中增加對系統精度的作用屬性，就可以通過數字化方法分析相關公差項目對系統精度的約束效應，為機床公差設計提供直接依據?；谶@一目標，本文以機床總裝中最常見的安裝接觸表面——平面要素為例，分析并完善其在裝配系統中的公差語義，并建立對應的數學模型。

1 對TTRS的公差語義需求

1.1 需求分析

零件由各種類型的表面圍成，這些表面的不同功用決定了它們加工要求的不同。Bourbet于1987年提出了“與工藝和拓撲相關表面”（topologically and technologically related surface，TTRS）的概念，之后逐步發展成為目前較為成熟且應用廣泛的一種公差表示方法。TTRS的定義如下：一個TTRS是同一實體上因功能原因而彼此聯系的表面。因此，應用TTRS理論可較好地表示零件層面的公差信息，也為在裝配層面中確定與該零件相關的公差拓撲關系提供了條件。在對系統精度的定量分析及公差設計中，還存在對基于TTRS的公差語義及其數學模型新的需求。下面舉例說明。

圖1為某機床結構示意圖，為敘述簡明，圖中略去部分部件如工作臺、導軌等。下標1、2、3、4分別表示床身、立柱、主軸箱及主軸，相鄰部件的接觸此處視為廣義配合。在整機層公差設計中，將每一個部件視為一個誤差單元，即公差控制對象。其公差數字化分析及設計的簡要方案如圖2所示。

圖1 某機床結構簡圖

圖2 機床系統精度分析及公差設計方案簡圖

（1）建立機床在整機層面上的數字化誤差模型。機床誤差建?；诙囿w系統運動學理論和齊次坐標變換原理［11］，在裝配層面上，模型能準確反映機床各個部件之間的幾何位置、姿勢、運動關系以及誤差傳遞規律。該模型是計算機輔助系統精度分析及公差設計的核心，將用于機床誤差單元的敏感性分析、公差控制效果的數字化檢驗以及單項公差對系統輸出精度的作用規律分析。

（2）機床誤差單元的敏感性分析。應用前述模型，通過對誤差單元的六自由度誤差進行單位誤差設定，可以預測分析各個誤差單元對機床輸出誤差的影響權重，尤其是在加工誤差敏感方向上的影響權重，從而為機床整機的公差分配及裝配調整提供重要依據。詳細的建模、分析方法以及對具體樣機的分析示例可參閱文獻［12］。

（3）公差制定。在該層面上，只對各個部件中的部分TTRS進行公差限定，即針對影響機床整機輸出精度的裝配結合面。限于目前計算機智能及推理能力的發展水平，公差類型主要采用人工制定，如床身－立柱安裝面與工作臺－導軌安裝面之間的平行度、主軸軸線與主軸箱主軸輸出端面的垂直度等。確定這些公差大小的依據來源于以下三個方面：①誤差敏感性分析結果，越敏感的誤差制定越嚴格的公差；②企業現有工藝和加工設備的精度保障能力；③企業的公差設計經驗沉淀。

（4）公差控制效果檢驗及公差調整。在完成公差的初步制定后，其控制效果是否滿足設計要求是未知的，必須對各項相關公差的積累控制效果進行數字化預測檢驗。如果預測檢驗的結果不合格或者不理想，就需要結合敏感性分析的結果選擇公差調整對象并進行針對性的調整，而確定調整量大小，則需要先分析該項公差對系統輸出精度的量化作用規律。這是一項人機交互式的循環工作，直到設計結果滿意為止。要完成這兩項工作，都需要相關TTRS的公差具有面向系統的語義及與之對應的數學模型。

1.2 TTRS的公差語義范疇

上述需求分析表明，TTRS的公差語義應涵蓋兩個層面：

（1）零件層。零件層公差語義表達零件的自身屬性，即描述公差的原始定義，主要用于零件的加工工藝編制及檢驗等工作，此處不再贅述。

（2）裝配層。裝配層公差語義表達該零件作為系統的一個環節而具有的屬性，即在系統中對其廣義配合件的作用輸出，因此也可稱之為對外作用語義。例如，設圖1中床身與立柱的結合表面為P，其公差為TP，則該公差的零件層語義是該平面的最大允許變動范圍和方向。在功能層面或者說裝配層面上，該公差所控制的誤差對最終執行主軸的作用效果，是在系統精度分析及公差設計中必須掌握的關鍵要素。平面P在公差范圍內的變動，通過部件2、3傳遞到主軸4，并最終導致主軸4偏離理論位置和姿勢（簡稱位姿）而影響機床功能。公差TP的直接作用效應是使部件2在六自由度上偏離其理想位姿，即沿X向、Y向和Z向的平移以及繞X軸、Y軸和Z軸的轉動，本文用ΔX、ΔY、ΔZ、Δα、Δβ和Δγ表示，這一組輸出變量可定義為公差TP的對外作用語義。

在TTRS理論中，零件的TTRS被劃分為7個基本類，平面只是其中一類，本文選取機床總裝中最常見的安裝接觸表面——平面這一要素為對象，建立和探討其兩層語義對應的數學模型。

2 平面公差的數學模型建立

2.1 建模原則

（1）“一般”到“特殊”的原則。空間直角坐標系中，平面可分為坐標面平行面、坐標面垂直面和一般位置平面三種，前兩者為特殊位置平面。盡管特殊位置平面在零件中出現頻率更高，但由于一般位置平面更具代表性，故建模從“一般”狀態入手，“特殊”狀態由“一般”狀態退化而成。

（2）實用性原則。目前，零件的三維幾何造型技術及應用已相當普及，而幾何形體在原始造型時就攜帶公差信息的技術尚未進入實用階段。為便于工程應用，公差建?；谝淹瓿稍煨土慵谋阌诓蹲降膸缀翁卣?。

（3）統一性原則。平面要素盡管具有兩個層面的公差語義，但其數學模型應涵蓋兩個層面。

（4）針對性原則。兩層公差語義有不同的適用場合，模型表達形式應符合使用場合的需要。

2.2 平面的公差域及其數學表達

2.2.1 平面的公差域范疇及公差原則分析

對一個指定的平面，在不同情況下有不同的公差約束形式，如尺寸公差，相對其他要素（平面和直線）的平行度、垂直度、傾斜度、對稱度以及本身的平面度。公差域由4個要素決定，平面的公差域具有相同的形狀，所以不同的平面公差約束形式（項目）體現為位置、大小和方向的不同。

公差原則分成兩類：獨立原則和相關原則。盡管相關原則包含包容要求、最大實體要求、最小實體要求和可逆要求，但它們的公差域均是由尺寸公差和形位公差的包容或疊加而成的，可統一視為一個不同構成的公差域。獨立原則由于是尺寸公差和形位公差單獨約束并檢驗的，可劃入公差模型的兩次使用問題。

2.2.2 公差域的數學表達

公差域選擇基于點坐標的數學表達方式。這樣選的原因如下：一是三點法是最基本的一種平面表示方式；二是三維造型體中的點坐標最易捕捉。另外，在公差檢驗，尤其是CMM（coordinate－measuring machine）測量中，點坐標是最直接的檢測量。

圖3 平面公差的幾何模型示意圖

如圖3所示，一空間理想平面P，其總的公差要求為TP（上下界分別為PT1和PT2），并符合如下設定：①平面具有規則形狀，文中以矩形為例。平面被指定后，4個角點的坐標至少三點可捕捉（已知），其坐標為Mi（xi，yi，zi），i＝1，2，3，用于表達該平面公差域的四要素。②公差TP為平面法向n上的總公差要求，包括尺寸公差、形位公差以及公差原則。其兩個極限邊界的形狀與平面P相同且到平面P的法向距離均為TP／2（其他情況可轉換為該模式）。

平面P的方向由法向矢量表示：

應用點法式得平面P的理想位置方程為

按照平面公差的原始定義：實際平面P′應包容在由理想平面P及其公差TP決定的極限平面PT1與PT2內。平面公差的檢測一般基于“與理想要素相比較”的原則，在該原則下，該語義又可描述為實際平面P′上的所有點M′i（x′i，y′i，z′i）在法向n上的偏離量絕對值不超過TP／2。即

由式（1）、式（3）推導出P平面公差的兩個極限（上下界）平面方程：

式（1）～式（5）構成了一般位置平面公差域的完整數學描述，同時也表達了該平面在零件層的公差語義，不僅可作為軟件量規直接應用于平面公差的一致性檢驗，也為公差的對外輸出特性求解提供了基礎。

變動體法是一種利用底層CAD進行系統公差分析與設計的方法［7］，是實現CAD／CAT／CAM集成的一種基礎解決方案。如果采用上述公差域描述形式，將更有利于變動體的高效構建。所謂高效構建變動體，是指零件表面中只有被公差約束的幾何要素發生局部變動，即構造局部變形體。例如，圖3零件中的平面P為公差約束表面，該零件的變動是局部的且受公差TP約束，其變動量直接體現為4個角點M1，M2，M3，M4的坐標變化，變動范圍的求解分為以下兩種情況：

（1）棱邊與平面P垂直。直接使用式（2）、式（3）；

（2）棱邊與平面P傾斜。需要進行棱邊與極限平面PT1與PT2的求交運算。

2.3 平面裝配層公差語義的數學表達

平面在裝配層的公差語義，應準確描述平面公差對廣義配合體的作用效應。直觀地講，圖3中部件1的實際表面P在其上下界PT1與PT2內變動，必然導致其廣義配合體2偏離理想位姿，這一位姿變化可用其局部坐標系的6個自由度變化輸出描述。

2.3.1 參量求解

在6個輸出參量中，三個線位移輸出的最大值ΔX、ΔY和ΔZ已由式（3）得到，這里還需要補充三個轉動自由度輸出Δα、Δβ 和Δγ 的數學表達式。

如圖3所示，在平面P的中心建立局部坐標系OiXiYiZi，Xi和Yi軸分別平行于矩形的兩條邊，Zi軸平行于平面法向量n。設矩形邊長分別為2a和2b（也可由角點坐標差表示），在該局部坐標系內，平面法線n在公差TP范圍內的最大轉動偏移量為

式中，dθx、dθy和dθz分別為平面法矢量n與Xi、Yi和Zi軸的相對轉動量。

從式（6）可以看出，該組參量的值取決于平面的大小及其公差，而在零件原始坐標系OXYZ中的輸出值Δα、Δβ和Δγ則與平面的位姿有關，其關系如下：

其中，Tr為局部坐標系OiXiYiZi與零件原始坐標系OXYZ之間的旋量矩陣：

式中，aij分別為局部坐標系OiXiYiZi中三個坐標軸與零件原始坐標系OXYZ中三個坐標軸夾角的余弦。

Zi軸的矢量已在式（1）中求出，Xi軸和Yi軸矢量表達式如下：

根據式（1）、式（9）和式（10）可求出式（8）中的各參量：

將式（6）和式（8）代入式（7）可得：

2.3.2 數學表達形式

按照“針對性原則”，公差數學模型的表達形式應符合使用場合的需要。在前述機床系統精度分析及公差設計方案中，機床誤差建?；诙囿w系統運動學和齊次坐標變換原理，相鄰體i和j之間的實際位姿變換矩陣為［11］

其中，Tij為相鄰體之間的理想位姿變換矩陣，而ΔTij是兩者之間的誤差變換矩陣。公差用于約束指定的誤差，所以在系統的三維公差分析與設計中，公差應具有與誤差ΔTij一致的表達形式：

其中，三個線位移輸出的極限范圍已由式（2）給定；而三個轉角的極限輸出范圍分別為。

式（12）針對性地表示了一般位置平面P在公差TP約束下對相鄰體的輸出特性，以下略去模型從一般位置平面退化到特殊位置平面的推導過程及結果。

3 應用示例

面向系統的公差語義及其數學模型的建立，為實施圖2所示的系統數字化精度分析及公差設計方案提供了必要的支持。由于整機的公差設計效果預測（積累效應分析）包括一系列的公差項目，涉及過多的設定與分析描述，所以本文選取一個單項公差的作用規律分析作為應用示例。

圖4為國內第一臺基于零傳動技術的高精度高效滾齒機三維裝配示意圖，圖中工件主軸部件2安裝在床身9上。圖5為兩者接觸面以及工件主軸部件的坐標示意圖，此處將床身上的該平面簡稱為P。工件主軸軸線應平行于軸向進給導軌（部件8和部件9之間的導軌）是機床設計的一項重要要求，床身上的平面P與軸向進給導軌安裝面之間的平行度要求，是保障該項設計要求的主要因素之一。

圖4 YK3610樣機的三維裝配示意圖

圖5 工件主軸部件安裝表面坐標示意圖

分析目標：預測分析平面P在平行度公差TP約束下工件芯棒軸線的變動范圍及規律，用圖5中X1和Y1兩個方向的跳動值表征。

在工件芯棒軸線上設定分析點Q（0，0，L），L的取值范圍為工件安裝范圍。根據機床系統誤差建模結果［11］，Q點到床身坐標系的傳遞關系為

基于這一傳遞關系，設此時工件主軸部件到工件芯棒之間無誤差，即ΔT21為單位矩陣，再將ΔT92設為式（13）所示公差，就可以預測平面P的平行度公差TP在指定目標下的約束效果及調整量。

（1）TP的約束效果預測。設圖5中X1和Y1兩個方向跳動值的設計要求為300∶0.015mm。如果公差TP的初始設計值為0.02mm，P平面誤差可以引起的最大跳動值如下：X1方向——0.001mm；Y1方向 ——0.0208mm。預測結果表明：如果TP＝0.02mm，即使不考慮主軸芯棒自身誤差及軸向進給導軌誤差的情況下，Y1方向的最大跳動值已超標，所以，TP需要調整。另外，X1方向的跳動值對TP十分不敏感，這對后續分析及今后的設計和加工十分有利。

（2）TP與作用結果之間的關系。圖6是TP大小與Y1方向最大跳動值之間的映射關系；如果P平面誤差在TP范圍內服從正態分布，則造成的Y1方向最大跳動值的統計分布如圖7所示。依據圖6、圖7，可反求滿足要求的TP值。由于影響X1和Y1兩個方向跳動值的因素包括TP、軸向進給導軌誤差以及主軸芯棒自身誤差等，所以TP的調整應建立在合理的精度分配基礎之上。

圖6 TP與Y1方向最大跳動值之間的映射關系

4 結論

（1）在機床整機層面的數字化精度分析及其公差設計中，需要零件的相關TTRS具有面向系統的公差語義，該語義可定義為該公差對其廣義配合件在6個自由度上的作用輸出。

圖7 TP范圍內Y1方向最大跳動值的統計分布

（2）基于造型特征點的平面公差域描述更有利于在零件和裝配兩個層面中的應用；公差的對外作用語義表示為齊次坐標變換矩陣的形式，可以將公差數學模型與系統誤差模型統一起來，實現公差設計效果的數字化預測以及公差大小的針對性調整。

（3）建立公差與控制目標之間的映射關系，可以為公差大小的合理調整提供量化依據。

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