應用型本科高校離散數學教學改革探索

張順淼

（福建工程學院 信息科學與工程學院，福建 福州 350108）

應用型本科高校離散數學教學改革探索

張順淼

（福建工程學院 信息科學與工程學院，福建 福州 350108）

離散數學是計算機學科一門的重要專業基礎課程，其特點是概念多、理論性強、高度抽象.根據應用型本科計算機專業人才培養目標，結合教學實踐，對應用型本科高校離散數學的存在問題做了進行分析.從優化教學內容、改進教學方法和增加實踐教學對離散數學教學進行改革探討，從而進一步提高該課程教學質量.

離散數學；應用型本科高校；教學改革；教學方法

離散數學是計算機科學科一門重要專業基礎課程，在計算機學科和其他學科中有著廣泛的應用.不僅是計算機學科中“數據結構”、“操作系統”、“數據庫原理與應用”、“人工智能”等課程的先行課程，對培養學生邏輯推理和抽象思維能力也有著很重要的作用.它包括數理邏輯、集合論、代數結構、圖論、計數、數論等內容，課程的特點是概念多、定理多、抽象不容易理解，同時學生往往看不到離散數學在計算機中的應用.因此，在大學教育從精英教育到大眾化教育背景下，如何提高離散數學課程的教學水平和質量已成為一個關鍵的問題.筆者結合多年從事離散數學教學實踐，對如何提高應用型本科高校離散數學教學質量進行了初步探討.

1 離散數學的特點與教學存在的問題

1.1 離散數學的特點

離散數學與其他課程相比有其自身的特點，具體有：①內容非常豐富.包括了集合論、數理邏輯、代數結構、圖論、概率論、組合數學等內容，而且各自比較獨立，能夠獨立成課.②概念定理多.每一部分都有豐富的概念，比如在圖論第一節課就有幾十個概念.③內容抽象.每一部分都有很多定理要進行證明和邏輯推理.

1.2 教學存在的問題

離散數學教學一般設置在大學一、二年級，一、二年級的學生更感興趣的是獲得計算機的應用技能而不是理論知識的獲取.傳統的離散數學教材在內容組織上偏重理論性，沒有注重與計算機應用的有機結合，因此學生把離散數學這門課程當作是一門純粹的數學課，沒有發現該課程對計算機的作用，學習興趣不大.離散數學各部分內容豐富又相對各自成體系，在教學過程中總是出現各個部分連接不緊密、結合比較差、同時由于課時有限出現講得多、太快、太散和太死等幾個特點［1-2］.離散數學高度抽象需要實踐課來加深認識，而目前很多高校并沒有開設于離散數學課程配套的實踐課，使學生很難理解這門課的內容與實際如何結合起來，導致了理論教學與實踐教學相脫節的現象非常普遍.

離散數學是一門既難教又難學的課程.為此，筆者對現有的教學內容、教學方法和作業考核體系進行改革，尋找適合新形勢下的教學方法，在教學實踐中進行應用“興趣驅動教學法”、“實踐項目驅動教學法”、網上限時差異化作業的布置等方法，以期能為相關人員參考.

2 教學內容改革

2.1 教學內容改革的依據

根據《高等學校計算機科學與技術專業公共核心知識體系與課程》和《IEEE/ACM Computing Curricula 2005》的要求.對應用型本科高校人才的培養目標是使學生能夠熟練應用離散數學的知識來進行系統的建模和分析，更重要的是學習應用這些概念、原理、方法和思想對實際問題和系統進行建模和分析.因此，面向培養應用型高校的離散數學課應該包含以下內容：離散結構的描述、方法、應用以及簡單的數學推理和證明.結合應用性本科高校教學的實際情況，對離散數學教學內容不能按照重點高校那樣強調理論知識，而應當加以取舍，采用面向培養應用型本科高校計算機人才的離散數學知識框架，突出強調理論夠用實踐能力強的特點.離散數學的基礎知識主要包括集合論、數理邏輯、抽象代數、圖論、數論等內容.它的核心知識單元包括集合論、基本邏輯、圖論等內容；推薦知識單元為特殊圖論、證明技術等；可選知識單元為基本計算、代數系統、初等數論等.

2.2 教學內容的取舍

離散數學的教學內容彈性非常大，各部分內容都可以分別作為一門獨立的完整的課程進行教學.因此在教學內容上的選擇上，如果面面俱到，沒有重點，教師和學生都會感覺很疲憊.因此，對教學內容要適當的取舍，選擇基礎內容及重點內容，把這些內容講透.例如，數理邏輯中，重點講解命題概念以及復合命題5個基本的連接詞，一階邏輯命題符號化主要是強化學生的邏輯演算能力，提高應用邏輯推理能力，為后面數據庫理論與應用、程序設計與人工智能等打下基礎；集合論部分的內容由于學生在高等數學課上有了相關的知識，大部分內容基礎內容學生可以自學，重點放在二元關系這部分內容，因為二元關系在數據庫等課程有密切關系；圖論部分在掌握基本概念的基礎上，對于其中的定理的證明可以不講，重點放在如何利用這些定理來解決實際問題，比如歐拉圖和哈密爾頓圖的實際應用上.

目前教程中絕大部分內容是定理證明與推演，如果是為了發展離散數學自身理論來講是有必要搞清楚這些理論的來龍去脈.但是作為工具應用到計算機領域中，課程內容不應該過分強調定理的證明與理論的完整性，而應將目的引導到基本概念和基本理論、方法的應用.對于構造的證明通過實踐編程予以實現定理的理解.對于代數系統部分是所有部分最抽象的可以不進行講解.

3 教學方法和教學手段的改革

3.1 應用示例教學，提高學生學習興趣

興趣是最好的老師，學生如果對所學內容感興趣，就會集中精力去積極地思考問題.但在實際教學過程中，由于該課程相對枯燥、難學，學生對該課程興趣不大.為了培養學生學習興趣，在教學中應該特別注意每一部分前幾次課的教學，尤其是第一次課，不要直接就進入離散數學的理論知識，可以先通過導入一些趣味例子，例如：在介紹謂詞邏輯的數理邏輯部分可以舉土耳其商人和帽子的故事、理發師的問題、著名的蘇哥拉底三段論故事.講解圖論部分時，在介紹抽象概念之前，先舉哥尼斯堡七橋問題作為引入，在說明這個問題由來之后，提出哥尼斯堡七橋問題：能否一次走遍七座橋，而且每座橋只許通過一次，最后要回到出發點？在實際教學實踐中，這樣課堂導入使學生產生濃厚的興趣，帶著想要解決問題的求知欲望，很容易接受知識.如果教師再將哥尼斯堡七橋問題轉化為對應的圖和圖論問題，既介紹了圖論史的知識，又引入了的一個重要的背景［3］.抽象的概念總是相對難以理解和接受，而生動的實例總是更能引人入勝的，從而能夠很大程度上激發學生的學習興趣.

在離散數學教學過程中，要積極引導學生應用所學知識去分析和解決實際問題，從而讓學生充分意識到離散數學這門課程的魅力和實用價值.例如：圖論部分，將學過的平面圖可以結合實際中集成電路板的布線問題，帶權圖的最小生成樹可以結合網絡最短路徑搜索和最小交通費用的實際應用.集合論部分，將學習到的偏序關系應用到工廠的任務調度上.

3.2 采用類比教學法，減輕學生學習負擔

類比是掌握知識的一個比較快捷的方法［4］.離散數學內容多而散，每一部分都可以獨立成一門課，但是內容有很多相似之處，在教學內容上進行類比，找出它們之間的聯系，從而減少學生學習的難度.例如，數理邏輯和集合論可類比記憶，命題的運算符號與集合運算符號是類似的，命題邏輯中的其它運算都可用這三種運算類比，集合論中運算也均可轉化為這三種運算.命題運算律與集合運算律除了含義不同外，形式上完全一致.又如，圖論中的回路和通路的定義，歐拉圖和哈密爾頓圖定義也可以通過類比的方法.通過類比之后，學生對這些概念和公式的理解就會更加深刻，使學生對所學的知識就能融會貫通.

類比方法同樣可以應用在教學方法上，例如在數理邏輯中兩個最基本的內容是命題邏輯和謂詞邏輯，這兩個章節的內容幾乎是平行的，完全可以采用類比的方法對這兩個部分內容進行講解，這樣學生更容易理解.比如兩者合式公式定義形式非常相似，都是通過遞歸形式給出的.通過類比，學生很容易找出兩個概念的異同點.教師只要對量詞加以強調，學生在理解前面一個概念的基礎上就能夠很好的理解后一個概念.再比如，命題邏輯與謂詞邏輯都有等價公式和蘊含式；命題邏輯與謂詞邏輯都介紹推理理論，都進行構造推理的證明而且所依據的也是類似，授課時都可以采用類比的方法.離散數學中教學方法還有很多是可以類比的，這就要求老師多分析比較，以生動的易于接受的方法進行教學.

3.3 及時歸納總結

離散數學的概念多、知識點散，學生很難自己抓住重點、難點，老師如果不進行歸納，學生學起來就會感到很吃力.通過歸納，每一節課要有一條知識點主線，這條主線要把本節課的知識點串起來.每一部分內容也都要一條大的主線把大知識點串起了，通過及時歸納總結，學生能夠理清內在聯系，將這些內容有機聯系起來，使知識條理化和系統化，提高學習效率［5］.以二元關系為例，把各個知識點串起來,如圖1所示.

圖1 二元關系知識點結構

3.4 多媒體課件與板書相結合

應用型本科強調理論夠用，突出應用.離散數學的課時比較緊張，而按照教學要求，教學質量不但不能降低，還要進一步提高.如果采用傳統的教學方法板書介紹完整門課程的內容難度非常大，而采用多媒體教學一方面可以增加課堂信息量，另一方面能夠讓學生體驗到形象與抽象的關系，變抽象為直觀.圖論中的基本概念非常多而且都是抽象的文字描述，如果一個一個概念去講解，不僅老師講起來乏味學生也不好理解，通過ppt運用一個小動物腦袋的圖就可以把圖的基本概念講透，學生對這些概念掌握透徹而且不容易忘記.又如在講授“極大路徑法”的證明，通過制作flash動畫輔助，學生很容易理解.對于一些難以理解的推導過程，就必須結合板書，這樣學生的思路能夠跟得上推導的過程，相反，如果采用多媒體課件學生的思路很難跟得上.在離散數學的教學過程中要把這兩教學方法緊密的結合在一起，教學效果才會更加理想.

3.5 增加實踐環節的教學

因為國內許多教材是從數學理論的角度進行描述而沒有從計算機學科應用的角度進行思考，而且目前絕大部分高校離散數學教學中也沒有實踐教學環節，應用型本科高校更是如此，這樣學生看不到離散數學在計算機學科的具體應用［6］.因此在離散數學教學過程中適當增加相應實踐教學內容可以讓學生了解離散數學在計算機學科中的應用.比如在數理邏輯中通過設計一個程序，可給出一個命題公式的真值表，并驗證兩個公式的相等關系；通過設計一個程序來實現一個命題公式的主析取范式和主合取范式.又如，圖論中最短路徑的求解和最優二叉樹的求解都可以通過實驗讓學生更好的掌握.這樣不僅能夠把原來程序語言的內容加以應用，同時對這些知識的理解更加深刻，還為數據結構課程打下良好的基礎.

福建工程學院信息科學與工程學院的計算機類3個本科專業2010年開始對部分學生進行課外實驗訓練，實踐內容的設置分為驗證實驗、綜合實驗和創新實驗3個層次.從參加實驗的學生效果來看，通過上機實踐訓練，明顯提高了學生的學習積極性，對理論知識的理解更加準確，同時提高了學生的編程實踐能力.學生參加ACM競賽和省軟件設計大賽并取得較好的成績.學院考慮在此基礎上進一步改進實驗設計，結合程序設計課程，以利用理論知識解決實際問題為目標來設計實驗項目.

3.6 充分利用網絡輔助教學

網絡技術為突破傳統的教育手段、教育方法提供了契機，建設好課程資源平臺是教學手段非常必要補充，其作用不容忽視.從2011級開始福建工程學院信息科學與工程學院將課程教學資源包括教學大綱、考試大綱、知識結構、難點、重點、視頻教學及其經典例題的解題等能夠幫助學生更加有效進行自主學習的內容都發布到課程資源平臺上，學生通過課程資源平臺進行自學.同時還將涉及離散數學在計算機中的應用、離散數學的趣味故事介紹放在課程資源平臺上，以增加趣味性，調動學生學習的熱情［1］.開通課程平臺的留言和討論版，學生和老師可在平臺上留言和討論，增強的師生之間的交流.在課程資源平臺上布置每一次上課要完成相關知識點作業，作業必須在一定的時間內完成，作業的課題量十分豐富，學生按照自己學號登錄之后并隨機產生相關知識點的作業，學生在規定時間內必須提交作業，實踐中學生抄作業的現象大幅度減少.提交完作業之后課程平臺給出相應題目的解題思路和答案，把學生的作業成績作為平時成績的一部分.這樣老師不僅減輕了改作業的壓力，同時學生能夠及時知道哪些知識點還沒有掌握好.也能夠很有針對性的進行講評，提高教學效果.

4 結語

本文從應用型本科目前離散數學教學現狀和存在的問題出發，從教學內容和教學方法對離散數學課程教學改革進行探討.通過課程改革明顯激發了學生學習的熱情，增強了學生自主學習和動手實踐的能力.學生不但掌握了課程基本內容，還學會的應用這些基本方法和原理進行實踐，教學效果明顯提高.教學改革和探索是無止境的，今后，在優化教學內容、改進教學方法和教學手段，進一步增強實踐等環節，還需要進一步探討和研究.

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［1］文海英，廖瑞華，魏大寬.離散數學課程教學改革探索與實踐［J］.計算機教育，2010(6)：100-103.

［2］郭爽.離散數學教學淺析［J］.邢臺學院學報,2010,25(2)：125-126.

［3］羅佩芳,黃贊.范例教學在離散數學教學中的應用［J］.通化師范學院學報,2010,31(4)：92-94.

［4］楊文杰，徐美進，何瑞.類比方法在離散數學教學中的運用［J］.遼寧工學院學報，2006，8(1)：135-138.

［5］程轉流.離散數學課程的教學與實踐［J］.安慶師范學院學報：自然科學版，2010，16(1)：105-107.

［6］潘志剛，葉綠，向堅.基于實踐能力培養的離散數學教學改革探索［J］.浙江科技學院學報,2009,21(4)：373-376.

Exploration of discrete mathematics teaching reform for application-oriented university

ZHANG Shun-miao
（Department of Computer and Information Science,Fujian University of Technology,Fuzhou 350108,Fujian,China）

Discrete mathematics is an important specialized fundamental course of t he computer specialty.According to training objectives for Computer Science Major in Application-Oriented University and combining with the characteristics of discrete mathematics courses and personal teaching practice,this paper analyses existing problems in Discrete Mathematics teaching.It also discusses teaching reform of discrete mathematics From Optimization of teaching content,teaching methods and increasing the practice and further improves the quality of the teaching.

discrete mathematics；teaching reform；teaching method

G642.3

1007-5348（2013）08-0082-05

2013-05-26

福建工程學院基金資助項目(GY-Z0566).

張順淼（1974-），男，福建永泰人，福建工程學院信息科學與工程學院講師，碩士，主要從事智能計算、計算機網絡技術方面的研究.

（E D.:X， J）