基于主成分分析法的C50高性能混凝土配合比優選研究

王起才，鮑學英，曹興龍，張戎令

(蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730070)

基于主成分分析法的C50高性能混凝土配合比優選研究

王起才，鮑學英，曹興龍，張戎令

(蘭州交通大學 土木工程學院，甘肅 蘭州 730070)

主成分分析法能夠在保證原始數據信息損失最小的情況下，以少數的綜合變量取代原有的多維變量，使數據結構大為簡化。試驗選取了能間接反映混凝土性能的15項主要指標，采用主成分分析法對這些間接指標進行相關的數值處理，得出了評價混凝土性能的數學模型。以蘭新二線第9標段95組C50高性能混凝土樣本為基礎，運用該模型對C50高性能混凝土樣本的性能進行了評價，并按照該樣本的綜合性能進行了排序，將評價結果與實際樣本進行對比，結果表明，該模型的評價結果與C50高性能混凝土的實際性能符合得很好。

主成分分析法 混凝土配合比 評價模型

高性能混凝土不僅要求混凝土的拌合物具有大流動性的施工性能，而且要求混凝土具有良好的力學性能和耐久性［1］。蘭新鐵路第二雙線第9標段施工工期為3年，線路穿越新疆戈壁地區，區段內氣候環境具有干燥、大風和大溫差特點［2］，這種特殊的氣候環境，極易使高性能混凝土產生質量問題。研究認為能間接反映高性能混凝土性能的因素很多，這些因素對混凝土性能的影響或重或輕，如果能夠確定混凝土強度及其影響因素之間的數學關系，就可以在不了解材料內部詳細機理的情況下，根據數學關系探索混凝土的最優配合比，以尋求材料的最佳性能［3］。近年來，隨著多元統計方法的普及與應用，主成分分析法在最大限度保留原有信息的基礎上，對高維變量系統進行最佳的綜合與簡化，并且能夠客觀地確定各個指標的權數，避免了主觀隨意性［4］。通過對蘭新二線第9標段梁體結構C50混凝土的配合比試驗，利用主成分分析法，建立高性能混凝土綜合評價模型，并對混凝土性能進行排序，對試驗樣本進行優選，為 C50混凝土最佳配合比的設計提供了一定的理論依據。

1 主成分分析法的基本原理

主成分分析法(Principal Component Analysis，PCA)是將分散在一組變量上的信息，通過恰當的數學變換，使新變量—主成分成為原變量的線性組合，并選取少數幾個在變差總信息量中比例較大的主成分來分析事物的一種探索性統計分析方法［5］。其目的主要有兩個:一是用有限個不可觀察的潛在變量進行解釋原變量的相關性，二是對變量或樣本進行分類處理，用較少的指標表達大部分信息量［6］。正是利用主成分分析法的上述優點，可把高性能混凝土比較分散的性能集中到幾個指標上來，從而實現對高性能混凝土配合比的優選。

1.1 主成分分析的數學模型

假定有n個樣本，每個樣本共有p個變量，構成一個n×p階的數據矩陣

將原變量指標進行降維處理后的新變量為 F1，F2，…，Fm(m≤p)，如式(2)所示，式中，xj=［x1jx2j…x］T。

新變量F1，F2，…，Fm構成的坐標系是在原坐標系經平移和正交旋轉后得到的。稱F1，F2，…，Fm張成的空間為m維主超平面。在主超平面上，第1主成分F1是x1，x2，…，xp的所有線形組合中方差最大者，F2是與F1不相關的x1，x2，…，xp的所有線形組合中方差最大者;Fm是與 F1，F2，…，Fm－1都不相關 x1，x2，…，xp的所有線形組合中方差最大者。因此，新變量指標F1，F2，…，Fm分別稱為原變量指標 x1，x2，…，xp的第1，第2，…，第m主成分。從以上分析可以看出，主成分分析的實質就是確定原來變量 x1，x2，…，xp在諸主成分 F1，F2，…，Fm上的載荷 lij(i=1，2，…，m;j=1，2，…，p)。

1.2 主成分分析方法計算步驟

由主成分分析的基本原理和數學模型可以看出，其估計的任務是通過確定主成分的個數，解釋主成分的實際意義和它的得分，從而可以從幾個或若干個備選方案里選擇出較優化的方案。由于反映混凝土性能的量綱不一致，在進行主成分分析之前可對其各指標進行標準化處理，統一為無量綱的數值。

第一步:對原始數據進行標準化變換

設有n個樣本，每個樣本觀測p項指標，得到原始數據資料，為了排除數量級和量綱不同帶來的影響，用式(3)先對原始數據進行標準化處理。

第二步:計算樣本相關系數矩陣為

其中，rij(i，j=1，2，…，p)為原變量 yi與 yj的相關系數，rij=rji，其計算公式為

第三步:計算相關矩陣的特征值及其所對應的特征向量

由R的特征方程:|R－λE|=0，可得p個非負特征值 λi(i=1，2，．．．，p)，并將這些特征值按由大到小的順序排列:λ1≥λ2≥…≥λp≥0。

第四步:計算主成分貢獻率及累計貢獻率

主成分的貢獻率ηi和主成分Fi的累計貢獻率 ξF，i分別如式(7)和式(8)

累計貢獻率一般以其達到某一特定值時為準(如85%)，保留前m個主成分來確定混凝土性能。

第五步:計算主成分載荷lij

第六步:計算樣本的綜合得分。

由上述計算可得到樣本混凝土的綜合性能，即得到式(2)。可從各組比較分散的指標中找出最優化的組合。

2 利用混凝土試驗樣本建模型求解

首先對蘭新二線第9標段C50混凝土試驗樣本數據進行簡單的刪減，保留其中能夠全面反映混凝土信息指標的95組不同配合比的C50混凝土樣本，部分試驗數據如表1所示。

表1 C50混凝土部分試驗樣本

2.1 主成分分析

1)主成分分析法的適用性驗證

由于試驗樣本各性能的量綱不同，要對其進行標準化，在得到標準化數據后利用SPSS軟件對表1中的數據進行主成分分析。首先，確定一組數據是否適合做主成分分析，需要做 KMO取樣適合度檢驗和Bartlett球形檢驗。KMO取樣適合度檢驗統計量是用于比較觀測變量間相關系數平方和和偏相關系數平方和指標。偏相關系數絕對值越小，說明兩變量存在公共因子的可能性越大，說明可能適合做主成分分析。Bartlett球形檢驗是一種檢驗變量之間相關性程度的檢驗方法，它以原有變量的相關系數矩陣為出發點，檢驗實際相關矩陣與假設單位陣之間的差異性。如果差異性顯著，則認為變量間的相關性顯著，適合于做主成分分析。具體檢驗結果如表2所示。

表2 KMO檢驗

由表2中的Kaiser-Meyer-Olkin度量可知K值＞0.6，因此證明對該組C50混凝土試驗樣本進行主成分分析是滿足要求的。Bartlett球形檢驗的 Sig＜0.05，說明可以做主成分分析。

2)主成分的特征值和貢獻率

對C50混凝土的15項指標計算其特征值和累計貢獻率，如表3所示。

表3 特征值和累計貢獻率

根據表3可知前4個成分的方差累計貢獻率達80%，在15個混凝土指標中前4個指標的貢獻率最大，因此，15個混凝土指標歸結為4個主成分，其碎石圖如圖1。

由碎石圖可知將15個指標化為4個主成分是成立的。同時，可以得到主成分的因子載荷圖，如圖2所示。由圖2可以發現隸屬于主成分F1的有指標3 d強度，7 d強度，28 d強度，水泥，膠凝材料;隸屬于主成分F2的有粉煤灰，礦粉，細骨料，水，水膠比，56 d電通量，初始含氣量;隸屬于主成分F3的有粗骨料，減水劑;隸屬于主成分F4的有表觀密度。與專業知識基本吻合，綜合來看F1代表強度，F2代表水膠比，F3代表粗骨料，F4代表密實度。

圖1 指標碎石圖

圖2 主成分的因子載荷圖

3)計算C50混凝土的綜合性能指標

各成分的貢獻率由表4可得，并以其為依據作為權重因子的權重，可得到C50混凝土各指標的綜合性能指標。

表4 成分得分系數矩陣

各成分的貢獻率作為權重因子的權重，可得到C50混凝土各指標的綜合性能指標

根據所篩選出的反映C50高性能混凝土綜合性能的4個主成分，可以計算出主成分 F1，F2，F3，F4的權重，如表5所示，根據所測試的15項指標得出C50混凝土性能綜合評價表達式為

表5 各主成分綜合權重

2.2 C50混凝土綜合評價結果

利用MATLAB工具，計算得到了每一個樣本的綜合評價結果，前10名排序結果如表6所示。由表可知樣本7的綜合質量是最優的，因此，可以考慮采用該樣本的配比為最佳配合比。

表6 前10名混凝土樣本評價結果

3 結論

主成分分析法可把變量間的相關性消除，且根據降維的思想降低計算的工作量，把很多不同的變量集中到一個或幾個指標上來，這樣就大大減少分析數據的工作量。綜合評價所得的權數是伴隨數學變換自動生成的，對指標的綜合評價具有一定的客觀性，可在一定程度上反映出各組分性能的高低［7-9］。論文在對蘭新二線第9標段C50高性能混凝土95組試驗樣本利用主成分分析法進行評價后得到以下結論:①運用主成分分析法可把混凝土的性能指標之間的不同量綱統一轉化為無量綱的指標，通過對無量綱指標的分析可有效地比較不同組別的各性能的高低，為綜合指標性能的分析提供一種快捷的方法。②綜合應用各種現代優化算法，并合理選取學習樣本，能夠對混凝土的配合比進行定量的優化設計，從而大大減少試驗量，在降低材料研制成本、縮短試驗周期等方面，具有不可低估的應用價值。

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U422．5;U448．21+3

A

10．3969/j．issn．1003-1995．2013．04．47

1003-1995(2013)04-0152-04

2012-12-20;

2013-01-20

長江學者和創新團隊發展計劃項目(IRT1139)

王起才(1962— )，男，河北晉州人，教授，博士。

(責任審編 王 紅)