彎扭耦合下曲線混凝土箱梁截面應力狀態的受力機理分析

何慶華，衛 星

(1.廣州市高速公路有限公司，廣州 510288;2.西南交通大學土木工程學院，成都 610031)

1 概述

曲線箱形梁兼具彎梁橋與箱形梁兩者的特點，彎梁橋的空間受力比較復雜，沒有直線形橋梁那樣直觀的受力特點。由于曲率的影響，曲線箱梁截面在發生豎向彎曲時，必然產生扭轉，而這種扭轉作用又將導致梁的撓曲變形，彎曲與扭矩互相耦聯，在彎曲和扭轉相互作用下，除了發生一般的彎曲和自由扭轉變形外，還會發生約束扭轉和箱形截面畸變［1-4］。曲線橋的變形比同樣跨徑直線橋大，外弧的撓度大于內弧的撓度，曲率半徑越小、橋越寬，這一趨勢越明顯;即使在對稱荷載作用下也會產生較大的扭轉，通常會使外梁超載，內梁卸載;與直線橋相比，曲線梁支點反力存在外弧側變大，內弧側變小的傾向，內側甚至產生負反力。

國內外研究表明，曲線梁橋的受力特性主要取決于曲率的大小，曲線梁橋的撓曲變形一般要比相同跨徑的直橋大。曲線梁橋的撓曲變形一般與跨長L、曲率半徑R、圓心角，以及彎扭剛度比EI/GI有關，并與荷載形式等也有關［5-11］。通常彎橋的橋面寬度與曲率半徑之比越大，其與相當的直線橋的斷面內力之差就越大，應力分布也越不均勻。由于扭矩的作用及截面翹曲的存在，扭轉和翹曲產生的應力使得曲線梁的受力十分復雜。加大整個橋梁的抗扭剛度、增加橫隔板的設置，可以改善彎橋荷載的橫向分布，減小截面畸變和應力分布的不均勻。

2 曲線梁橋受力特點

主梁的彎曲程度是影響彎橋受力特性的最重要因素，曲率半徑并不能全面地反映彎曲程度，能全面反映主梁彎曲程度的參數是圓心角。彎梁橋在荷載作用下的總彎矩和總剪力與同樣跨徑的直線梁橋相差不多，但曲梁的內扭矩比直梁要大得多。曲線梁橋中間支座支承方式將直接影響到全橋的內力分布。彎-扭耦合作用是曲線梁重要受力特點。

圓弧梁的坐標系及外力如圖1所示，坐標軸x指向圓心，y軸向下，z軸指向弧線切線前進方向。ξ是沿x方向位移，η是沿y方向位移，ζ是z方向位移，θ是繞x軸的轉角。qx、qy、qz是作用在梁上的分布力，mx、my、mz是作用在梁上的分布力矩。

圖1 圓弧梁的坐標系位移和外力

曲梁每個截面有6個內力分量:軸力N，x和y方向剪力Qx和Qy，扭矩Mz，面內彎矩Mx，面外彎矩My。取出一圓弧微段，可以建立其6個平衡方程。這6個方程中可以消去N，Qx和Qy，得到只含有彎矩、扭矩的3個平衡方程

第1個方程是面外彎矩平衡方程，此方程中內力項只含有My，所以圓弧梁單元的面外彎矩是獨立的。第2個和第3個方程是面內撓曲和扭轉兩個方向的平衡方程，兩個方程都含有內力項Mx和Mz，可見曲線梁的扭矩和面內彎矩是耦合在一起的。實際上這一效應是由于沿著弧線坐標前進，坐標系會發生繞豎直軸的轉動，致使終點的Mx在起點的z方向上有分量，終點截面的Mz在起點的x方向上也有分量，而y軸指向不變。這就是曲線梁彎矩和扭矩相耦合的來源。

通過曲梁變形分析，可以得出圓弧梁截面軸向應變、面內曲率、面外曲率以及繞z軸的扭轉率與梁的位移直接的關系，這樣得到4個幾何方程［11］。

根據應力-應變關系，對應力在截面上進行積分，可以得到軸力N，兩個方向的彎矩以及扭矩與截面應變的關系。再將上述幾何方程代入，就得到了截面內力與截面變形的方程式。這一關系式代入上述方程(1)，就得到只含梁位移的3個微分方程

上述方程推導中略去了翹曲扭矩。從方程(2)第1式可見，曲梁的橫向位移是獨立的。從第2和第3個方程看，撓度和扭轉位移是耦合在一起的，這是面內彎矩和扭矩相耦合的自然結果。

由于曲線梁橋存在彎扭耦合作用，其受力特性與直梁橋截然不同。梁的彎曲自然使得荷載偏離梁兩端支座連線，這自然引起梁的扭轉(扭矩)，扭矩使得曲線外側腹板的剪力增大。同時，由于平面曲線存在，會產生較大的橫向彎矩。橫向彎矩引起腹板外側正應力增大。曲線梁中預應力和橫向分量會使得曲線內側腹板受拉，外側受壓。因此，曲線梁橋受力分析應主要關注由扭矩和橫向彎矩引起的截面受力變化影響因素及其趨勢。

3 曲線梁內力分析

曲線箱梁中，扭轉效應即截面扭轉和畸變引起的縱、橫截面上的應力，比同樣條件的直線箱梁大很多，彎扭耦合作用明顯，扭矩往往成為控制設計的關鍵因素之一，而翹曲應力與基本彎曲應力和扭轉剪應力相比，所占比例比較小，一般都在10%以下，在初步設計時可以不予考慮，但施工設計時需予以計算。

選取一單箱形截面、60 m單跨簡支梁，剛性橋墩，曲線半徑60 m。利用TDV有限元分析軟件，選用板單元建立空間有限元模型，如圖2所示。計算得到自重下截面應力分布，通過對截面應力進行積分得到截面內力［12］。

圖2 橋例殼單元模型

曲線梁對截面豎向軸向不對稱，左右半側箱梁的頂、底板存在分布彎矩和豎向剪力，因此左右側半截面的受力不相同。計算結果表明，內外側半截面的彎矩分布圖形有較大差別，外側半截面的跨中彎矩小于內側半截面;內側半截面在支座處出現了較小的負彎矩區段，這是內側支座的負反力所致，如圖3所示。曲線梁全截面剪力分布與直線梁相同，但內外側半截面剪力分配差別就很大了，特別是在支座附近區段，內側半截面剪力與直線梁剪力方向相反，如圖4所示。

圖3 彎矩分布

圖4 剪力分布

4 曲線梁截面應力分布

4.1 正應力分布

圖5給出了自重作用下3種不同曲線半徑(60，180 m和300 m)曲線梁橋頂板正應力沿橫向分布趨勢。為便于比較，圖6給出了等跨徑的直橋頂板正應力分布。可以看出，直線橋和曲線橋頂板正應力分布差別較大，曲線梁橋頂板正應力除在曲線外側腹板處出現極大值外，曲線內側頂板正應力在截面邊緣逐漸增大。

圖5 曲線梁橋頂板正應力分布

曲線梁橋正應力分布在曲線外側小，曲線內側大這一現象是由于曲線內外側橋梁弧線長度差異引起的，如圖7所示。

圖6 直線橋頂板正應力分布

圖7 彎橋曲線半徑示意

假設:(1)同一截面各位置處豎向撓度與梁心撓度差別不大，均取截面形心處的撓度，即

(2)截面面內彎曲變形是繞過曲線圓心的水平中心軸轉動實現的。圖7中微梁段梁端相對轉角(繞徑向)是

在(x，y，z)坐標處的軸向位移量為:ζ(x，y，z)=κ(z)y

在(x，y，z)坐標處的應變為

該式與直線橋的差別在于:求應變時直線橋未變形纖維長度為Rdφ，曲線梁橋橫向x處未變形纖維長度為(R-x)dφ。把應變式子中的系數1/(R-x)取冪級數第一項近似，得

當x=0時，就退化為直線橋的應變計算式

可見曲線梁橋橫向x位置處的正應力要在按直線梁橋計算的應力基礎上乘以一系數［1+x/R］;其中x以向曲線內側為正。因此，曲線梁橋頂底板正應力均是曲線內側大，曲線外側小。從上式也可看出，隨曲線半徑的減小，這一變化趨勢加劇。

不考慮剪力滯效應，按照上式計算頂板應力橫向分布圖式如圖8所示。對比圖8與圖5，可知曲線內側正應力增大的主要原因就在于曲線內外側弧長不同引起的。在圖8應力分布基礎上疊加剪力滯效應后就得到圖5應力分布。

圖8 彎橋頂板正應力分布

綜上所述，考慮曲線梁橋頂底板正應力不均勻分布時應計入兩個因素:(1)由于內外側弧長不等引起的應力增大系數［1+b0/R］，其中b0為頂板或底板半寬;(2)剪力滯系數，曲線橋梁可以取與直線梁橋相同的剪力滯系數。

兩種因素出現最大值的位置不同，不宜直接疊加，建議按如下考慮:(1)先按［1+x/R］算出腹板處和橋寬最外側的應力增大系數αw，αf;(2)腹板處再考慮剪力滯后系數 λ，得腹板處應力增大系數 λαw;(3)取max(λαw，αf)為總的應力增大系數。本算例橋梁曲線半徑為60 m和180 m時，系數αf＞λαw，曲線半徑為300 m 時，λαw＞αf。

4.2 剪應力分布

截面豎向剪應力按兩種方法計算:(1)殼單元計算的應力結果在全截面上積分，得到全截面上的剪力和扭矩，再按照梁單元理論，用積分得到的截面剪力和扭矩計算此點應力;(2)用單個殼單元面積積分內力除以積分面積的平均值。

橋例外、內側腹板剪應力(梁高度中心)見圖9和圖10。

圖9 曲線外側腹板豎向剪應力

為便于比較，計算了同跨徑直線橋腹板同一位置剪應力，剪應力沿跨分布如圖11。直線橋用殼單元與梁單元算得的剪應力差別不大，只是在支座位置處由于豎向力局部效應，略有差別。而曲線梁腹板剪應力的殼單元結果與梁單元結果差別較大。

曲線橋腹板豎向剪應力分布如圖12所示，外側最大值3.56 MPa，內側最大值1.8 MPa。

圖10 曲線內側腹板豎向剪應力

圖11 直橋腹板剪應力

圖12 曲線橋腹板豎向剪應力分布(單位:MPa)

直線橋自重下腹板剪應力分布如圖13所示，最大值2.5 MPa，方向向上。比較曲線梁和直線梁腹板剪應力，可知曲線梁外側腹板剪應力由于扭矩作用而顯著增大，內側腹板剪應力減小。扭矩作用對腹板剪應力分布影響很大。

圖13 直橋腹板剪應力分布(單位:MPa)

自重作用下頂底板剪應力分布如圖14所示，剪應力朝向箭頭方向。截面剪力方向向上，扭矩為正(指向截面外)。

通過對曲線梁截面應力分布狀態分析，可以得出以下結論。

圖14 曲線梁頂底板外緣剪應力分布(單位:MPa)

(1)曲線梁內外側半截面的彎矩存在差異。外側半截面的跨中彎矩小于內側半截面，這是由于曲線內側跨度小、剛度大，因此分配到的內力大所致。內側半截面在支座處出現了較小的負彎矩區段，這是內側支座的負反力所致。

(2)曲線梁內外側半截面的剪力存在差異。特別是在支座附近區段，內側半截面剪力與直線梁剪力方向相反。

(3)考慮曲線梁橋頂底板正應力不均勻分布時應計入由于內外側弧長不等引起的應力增大系數及剪力滯系數。

(4)比較曲線梁和直線梁腹板剪應力，曲線梁外側腹板剪應力由于扭矩作用而顯著增大，內側腹板剪應力減小。

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