關(guān)于動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)模態(tài)能量表達(dá)的一個(gè)注記

童 煒，侯之超

(清華大學(xué)，汽車安全與節(jié)能國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084)

前言

汽車動(dòng)力總成是汽車主要的振動(dòng)和噪聲源。動(dòng)力總成懸置設(shè)計(jì)的好壞，直接影響著整車的NVH性能。有效的懸置設(shè)計(jì)，不但要求合理設(shè)定系統(tǒng)的各階固有頻率大小，而且也須盡可能解除振動(dòng)耦合［1-9］。對于依據(jù)剛體-彈性支承模型建立的6自由度動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)方程，可定義6×6階模態(tài)能量分布矩陣［1-5］。動(dòng)力學(xué)仿真軟件ADAMS因其直觀性與強(qiáng)大的功能，正日益廣泛地應(yīng)用于懸置的優(yōu)化與分析［6，8-9］。它引入了6×9階能量分布矩陣，并給出各分量的簡單計(jì)算式。迄今，尚未見文獻(xiàn)明確闡述兩種能量表示方式之間的關(guān)系。這不利于ADAMS軟件在動(dòng)力總成懸置設(shè)計(jì)中的推廣應(yīng)用。

本文中首先回顧了基于彈性支承空間剛體動(dòng)力學(xué)建立的動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)方程，介紹了能量解耦方法及其所定義的能量分布矩陣。在應(yīng)用ADAMS軟件進(jìn)行動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)自由振動(dòng)分析的基礎(chǔ)上，給出了其中所定義的能量分布矩陣元素的計(jì)算式。通過對比分析，闡述了兩種能量分布矩陣之間的差異與關(guān)系。最后通過某款汽車的動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)對有關(guān)結(jié)果予以驗(yàn)證。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程及模態(tài)能量

1.1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程

動(dòng)力總成隔振設(shè)計(jì)的基本理論是彈性支承空間剛體動(dòng)力學(xué)。其中，將包括發(fā)動(dòng)機(jī)、離合器和變速器在內(nèi)的動(dòng)力總成簡化為剛體，懸置軟墊簡化為線彈性彈簧。圖1為一個(gè)4點(diǎn)懸置支承的動(dòng)力總成系統(tǒng)示意圖。圖中，坐標(biāo)系x軸與曲軸中心線重合，正向指向發(fā)動(dòng)機(jī)前端，z軸與氣缸軸線平行、正向垂直向上，y軸由右手法則確定。通常，固定坐標(biāo)系GXYZ和隨體坐標(biāo)系o-xyz原點(diǎn)均在質(zhì)心處，靜平衡狀態(tài)下二者重合。

忽略懸置膠墊的阻尼，系統(tǒng)作自由振動(dòng)的微分方程為

式中:M、K分別為質(zhì)量矩陣與剛度矩陣;q為廣義位移向量;l為懸置個(gè)數(shù);ki為懸置i的3向剛度矩陣;D、O分別為懸置位置與安裝角定義的變換矩陣。

1.2 基于模態(tài)能量的振動(dòng)解耦

從能量角度來看，振動(dòng)耦合就是沿著某個(gè)廣義坐標(biāo)方向施加的力或力矩所做的功轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)在多個(gè)坐標(biāo)方向的動(dòng)能和勢能。對于保守系統(tǒng)，機(jī)械能守恒。因此任一階主振動(dòng)的總能量可用最大動(dòng)能或最大勢能表示。

多自由度振動(dòng)系統(tǒng)作第n階主振動(dòng)的最大動(dòng)能為

式中:ωn與Xn分別為系統(tǒng)的固有圓頻率與對應(yīng)主振型向量。將式(2)展開，并定義第i個(gè)廣義坐標(biāo)上的動(dòng)能及其在總能量中的百分比分別為

式中:(Xn)k(k=i，j)表示振型向量的第k個(gè)分量;Mij為質(zhì)量矩陣中第i行j列的元素。的大小表示能量集中程度，若其值為100%，則說明系統(tǒng)第n階主振動(dòng)的能量全部集中在第i個(gè)廣義坐標(biāo)方向，而其它廣義坐標(biāo)方向的振動(dòng)為零，這就實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)解耦。工程實(shí)際中，由于布置空間和成本等方面的限制，難以在6個(gè)廣義坐標(biāo)方向都實(shí)現(xiàn)振動(dòng)解耦(即完全解耦)。因此，現(xiàn)代汽車動(dòng)力總成懸置設(shè)計(jì)通常采用部分解耦，特別是在激振能量大的方向上要保證解耦。

1.3 模態(tài)能量分布矩陣

考察在任一主振動(dòng)中各坐標(biāo)方向上的能量分布。依據(jù)式(3)和質(zhì)量矩陣的定義可知，3個(gè)平動(dòng)坐標(biāo)方向的能量為

3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)方向上的模態(tài)動(dòng)能分別為

式(5)為系統(tǒng)第n階主振動(dòng)時(shí)沿x、y和z方向的平動(dòng)能量分量。式(6)～式(8)則分別表示系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)能量分量，每項(xiàng)均包含繞坐標(biāo)軸純轉(zhuǎn)動(dòng)和繞平面轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)部分。對式(1)所示6自由度動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)方程，分別對各階主振動(dòng)依據(jù)式(5)～式(8)計(jì)算，帶入式(4)最終得到一個(gè)6×6階模態(tài)能量分布矩陣，稱為基于自由度的模態(tài)能量分布矩陣。

2 ADAMS建模過程及模態(tài)能量

將CAD軟件建立的動(dòng)力總成三維幾何模型導(dǎo)入ADAMS/View后，輸入動(dòng)力總成的慣量參數(shù)和懸置軟墊的彈性與阻尼參數(shù)，參數(shù)化后即可完成系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模。在ADAMS中，將系統(tǒng)分成若干子系統(tǒng)，分別計(jì)算各個(gè)子系統(tǒng)的能量，求和得到系統(tǒng)的總能量。設(shè)系統(tǒng)被分成k個(gè)子系統(tǒng)，第n階主振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)總的模態(tài)能量可表達(dá)為

顯然每個(gè)能量分量均表示對慣性張量某分量的貢獻(xiàn)。其中:式(11)代表子系統(tǒng)質(zhì)量的影響，對應(yīng)沿廣義坐標(biāo)x、y和z方向的平動(dòng)能量;式(12)～式(14)代表子系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的影響;式(15)～式(17)則代表子系統(tǒng)慣性積的影響;兩組元素分別對應(yīng)繞廣義坐標(biāo)x、y和z軸的一部分轉(zhuǎn)動(dòng)能量。

依據(jù)式(9)和式(11)～式(17)，子系統(tǒng)第e個(gè)能量分量在該階主振動(dòng)總能量中的百分比為

分別對6階主振動(dòng)進(jìn)行計(jì)算即得到一個(gè)6×9階矩陣，可稱為基于慣性參數(shù)的能量分布矩陣。

3 兩種能量表達(dá)式的對比

應(yīng)用ADAMS軟件進(jìn)行動(dòng)力總成懸置系統(tǒng)自由振動(dòng)分析時(shí)，將發(fā)動(dòng)機(jī)、變速器和離合器等視為一個(gè)剛體，通常不計(jì)入支架、車身等結(jié)構(gòu)的影響。這樣整個(gè)系統(tǒng)只有一個(gè)子系統(tǒng)，即j=1。

對比式(5)～式(8)與式(11)～式(17)可知

在以上各式中已應(yīng)用慣性張量的對稱性，即Jxy=Jyx，Jyz=Jzy，Jxz=Jzx。依據(jù)這組關(guān)系式可確定式(4)與式(18)所示能量百分比之間的對應(yīng)關(guān)系。

顯然，式(5)～式(8)所定義的能量分量，因與自由度對應(yīng)，故物理意義更為明確。另外，ADAMS軟件在定義模態(tài)能量分量時(shí)，在保持平動(dòng)能量分量不變的同時(shí)，將與轉(zhuǎn)動(dòng)相關(guān)的3個(gè)能量分拆成6個(gè)彼此更為簡單而無交叉的分量，以分別描述轉(zhuǎn)動(dòng)慣量或慣性積對系統(tǒng)主振動(dòng)能量的貢獻(xiàn)。這樣更易于反映系統(tǒng)各慣性參數(shù)的影響。

由式(19)～式(22)可知，式(9)和式(10)定義的總的模態(tài)能量(j=1)與式(2)完全一致。這是由模態(tài)能量的物理意義決定的。

不難理解，式(6)～式(8)或式(20)～式(22)給出的能量值及其百分比可能小于零。在工程應(yīng)用中，為避免負(fù)值能量與模態(tài)動(dòng)能概念之間的不協(xié)調(diào)，可取絕對值計(jì)算能量分量、能量和與能量百分比［7］。但這種處理后，分布矩陣元素均為正值，總能量會(huì)偏大，各元素值也異于不取絕對值得到的結(jié)果。

4 算例及分析

某款汽車的動(dòng)力總成采用4點(diǎn)懸置，其基本參數(shù)見表1～表3。

基于式(1)在Matlab中直接編程，或應(yīng)用ADAMS(2005版)仿真，可得系統(tǒng)的固有頻率，見表4。

表1 懸置軟墊3向靜剛度值 N/mm

表2 總成質(zhì)量與慣量

表3 懸置軟墊安裝位置坐標(biāo) mm

表4 系統(tǒng)固有頻率 Hz

由表4可見，應(yīng)用Matlab編程得到的頻率與ADAMS仿真計(jì)算結(jié)果相同。

應(yīng)用各自得到的主振型矩陣，分別依據(jù)式(4)～式(8)或式(9)～式(18)，同時(shí)考慮是否取絕對值，可得到相應(yīng)的能量分布矩陣，X、Y、Z分別表示純平動(dòng)能量，RXX、RYY、RZZ分別為繞坐標(biāo)軸純轉(zhuǎn)動(dòng)能量，RXY、RXZ、RYZ則為慣性積引起的平面交換能量，見表5和表6。其中表6所示結(jié)果分別由Matlab與ADAMS計(jì)算得到。

由表5和表6可知，基于自由度的能量分布矩陣與基于慣性參數(shù)的能量分布矩陣中，均因慣性積的存在而出現(xiàn)了負(fù)值能量。取絕對值后計(jì)算的模態(tài)能量總和稍稍增大，各元素也相應(yīng)地發(fā)生改變，但是不影響對主振動(dòng)能量在各自由度或慣性參數(shù)上分布的定性判斷。另外無論是否取絕對值，式(19)～式(22)所示關(guān)系均能得到滿足。

表5 基于自由度的能量分布矩陣

表6 基于慣性參數(shù)的能量分布矩陣

5 結(jié)論

(1)基于系統(tǒng)自由度而定義的6×6階模態(tài)能量分布矩陣，體現(xiàn)了主振動(dòng)中振動(dòng)能量在系統(tǒng)各自由度上的分布情況，物理意義明確、便于理解。

(2)ADAMS中定義的6×9階能量分布矩陣，與系統(tǒng)自由度并不對應(yīng)，但是能夠更明確地反映慣性張量中不同元素的影響。

(3)兩種模態(tài)能量分布矩陣，取絕對值計(jì)算得到的能量分布與依據(jù)基本定義得到的結(jié)果不同，但仍能準(zhǔn)確地反映出主振動(dòng)能量在各自由度或慣性參數(shù)上的分配情況。

(4)對于任一階主振動(dòng)，無論是否取絕對值進(jìn)行計(jì)算，兩種表達(dá)方式給出的模態(tài)能量總和相等、平動(dòng)能量也彼此相等;描述轉(zhuǎn)動(dòng)的對應(yīng)能量分量之間均滿足模態(tài)動(dòng)能定義所決定的對應(yīng)關(guān)系。

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