地鐵車站結構隨機振動響應分析

馬乾瑛，劉志欽，王社良，熊二剛

(1.長安大學建筑工程學院，西安 710061;2.河南城建學院土木與材料工程系，河南平頂山 467036;3.西安建筑科技大學土木工程學院，西安 710055)

地鐵車站結構隨機振動響應分析

馬乾瑛1，劉志欽2，王社良3，熊二剛1

(1.長安大學建筑工程學院，西安 710061;2.河南城建學院土木與材料工程系，河南平頂山 467036;3.西安建筑科技大學土木工程學院，西安 710055)

基于地震反應的隨機非確定性，運用基于概率統計方法的隨機振動理論進行結構抗震分析，考察結構的動力可靠度，是一種合理的設計方法。運用虛擬激勵法對青島地鐵五四廣場站進行隨機振動分析，避免了傳統方法計算的冗繁，得到了具有統計意義的結構動力響應。考慮x向功率譜輸入時，彎矩分布較為均勻;地鐵結構體型變化較大的部位剪力明顯增大;柱底剪力較小，邊跨柱剪力小于中跨柱底剪力。考慮y向功率譜函數輸入時，沿梁軸向剪力值逐漸增大，柱底剪力明顯大于x向輸入時的柱底剪力，邊跨柱柱底剪力大于中跨柱底剪力。所得結論為地鐵站這一復雜結構形式進行基于可靠度理論的設計提供了依據，可以作為同類設計的參考指導。

地鐵車站;虛擬激勵法;隨機振動

1 概述

地下交通是未來解決城市交通擁堵問題的主要途徑。目前，全國已有34個城市規劃了軌道交通建設項目。據介紹［1］，到2015年，全國地鐵運營總里程將達3 000 km;2020年，將有40個城市建設地鐵，總里程達7 000 km，是目前總里程的4.3倍。地鐵在解決交通問題的同時又具有人防工程的作用，因此，保證地鐵結構的安全性與穩定性對人民生命財產的保障以及城市生活的正常運行有著極為重要的意義。通常認為，周圍土體對地下結構具有良好的約束作用，因此地下結構具有較好的抗震性能［2］。實際上，已有的震害表明，由于地震荷載具有巨大的破壞力與突發性，在地震作用下，現有的地下結構并不安全，甚至可能會發生嚴重破壞，其中地鐵車站破壞最為嚴重，由于中柱的坍塌可導致頂板結構破壞和沉降發生。地鐵結構一旦遭受破壞，會給地震應急和震后修復帶來極大的困難。所以，在設計地下結構時應充分考慮地下結構的抗震安全與穩定性。

2 地鐵車站抗震計算

地震作用時，與地面以上結構相比［3］，地下結構由于受到周圍土體的約束作用顯著，結構的自振特性一般不明顯，相應地，結構振動對周圍土體的影響較小;結構地震動力響應與結構埋深和地震加速度的關系不明顯;而結構與邊界土體的共同作用對結構的動力響應有重要影響，承受的荷載多且變化較大，對地震波入射方向敏感以及與周圍地基土的相互作用等特點，決定了其抗震設計方法不能采用地面結構的方法。

目前，地下結構的抗震設計方法主要有波動法和相互作用法兩種［4］，波動法將地下結構和周圍土體作為一個整體進行考慮，忽略結構對波動場的影響，以波動方程為基礎，求解得到結構與土體中各自的應力場和波動場;相互作用法通過彈簧和阻尼對結構周圍土體進行模擬，以結構為主體，建立結構運動方程，求解得到結構的地震響應和結構與土體之間的相互作用力。

然而，地下結構抗震設計的兩種方法基本上都是“定值分析”，即將結構與外部荷載均作為不變的參數進行建模分析［5］。實際上，地震動具有顯著的不確定性和不重復性，當采用確定性的分析方法時，所得到的結果由于具有特定性而不能真實地反映結構的動力響應特征。隨著抗震理論的發展，近些年發展起來的結構隨機振動理論，采用概率與統計方法研究結構系統的動力響應、穩定性及可靠性，從能量角度分析激勵的隨機性問題［6］。以功率譜函數作為荷載輸入，得到具有統計信息的概率特征值，比定值分析方法得到的結果更具有普遍性和準確性。

在進行結構抗震設計時，應將地震作用視作隨機場或至少視作隨機過程來處理。隨著結構設計理論的發展，應用可靠性理論、推行結構概率設計方法以取代傳統的安全系數設計法是當今國內外結構設計發展的必然趨勢。因此，應用隨機振動理論，開展地下結構抗震可靠性研究，建立地下結構動力可靠度分析的理論體系具有非常重要的現實意義，其研究成果具有非常廣闊的應用前景。

3 隨機振動理論概述

在隨機振動分析中［7］，通常假設地震動是一種平穩的各態歷經過程，根據對實際地震記錄的功率譜密度分析，得到具有頻率特性或無頻率特性的功率譜密度函數，以功率譜函數作為荷載輸入，采用頻域求解方法，得到以概率統計方法定量描述結構振動規律的結果。

對于n個自由度的空間結構，其動力學方程為［8］

考慮式(1)中外荷載加速度的統計意義，即將{¨xg(t)}項替換為其功率譜密度函數S¨xg(ω)，用頻域法求解方程，則對結構的分析轉換為隨機振動分析。然而，由于地震動屬于隨機動力荷載，具有較寬的頻帶;同時，地下結構形式復雜，自由度較多，采用通常的頻域法難于得到高精度解。

大連理工大學林家浩教授近年來提出的虛擬激勵法是一種具有高效率的隨機振動求解方法［9］。采用虛擬激勵法求解時，通過設置虛擬荷載將隨機振動的計算轉化為穩態簡諧響應分析，將非平穩隨機振動的計算轉化為普通逐步積分計算，實現了用基本的動力學方法來求解一般的平穩隨機振動問題。

根據隨機振動理論［10］，線性系統在單點平穩隨機激勵x(t)下，激勵的自功率譜和響應的自功率譜滿足

其中，H為頻率響應函數，同時，簡諧荷載eiωt下的簡諧響應為

式(2)～式(5)是虛擬激勵法的基本原理。虛擬激勵法在求解過程中包含了所有參振振型和所有隨機激勵之間的耦合項［11］，本質上是精確解法，與傳統的CQC算法在數學表達上等價，然而與計算q階振型的CQC法相比，其計算量僅為CQC法的1/q2;即使與忽略了振型耦合項的SRSS法相比，其計算量也僅為SRSS法的1/q。

將歐拉公式帶入式(3)中，可以得到

將式(6)代入到式(4)中，根據文獻中的方法，分別進行簡諧激勵下結構的動力時程分析，疊加得到結構的虛擬位移響應

其中，B(ω)為幅值函數;φ為相位角。

根據虛擬激勵法，結構的位移響應功率譜為

由此可知，虛擬激勵法使用起來比較簡便，在計算中具有較高效率，在普通微機上就可精確而迅速地計算非常復雜的問題。所得到的結構響應功率譜同樣具有概率分布意義，可以用來進行結構可靠度的驗算。

4 工程概況

青島地鐵一期工程(3號線)五四廣場站位于香港中路與山東路交匯處香港中路上，車站長約277.6 m。本車站施工方法為蓋挖逆作法，拱頂埋深3.50～6.00 m。選取體型較為復雜的①～○16軸間結構進行隨機振動分析，平面布置如圖1所示，結構整體3層，其中①～⑧軸間為4柱5跨結構，⑨～○16軸為5柱6跨結構，結構模型如圖2所示。

圖1 結構柱網平面(單位:mm)

圖2 地鐵車站結構模型

計算模型總長109.55 m，寬44.1 m。梁、柱及樁采用梁單元模型，墻體及板采用厚板模型，混凝土強度等級為 C45，鋼管鋼材為Q235，混凝土強度等級為C40。梁、柱、樁截面參數見表1。

表1 截面尺寸 m

頂板恒載為覆土荷載、頂板結構自重，頂板上覆土厚5.9 m，地面超載為20 kN/m2;中板上作用有均布恒載10 kN/m2的設備荷載以及4 kN/m2均布活載;側板側向及底板作用有水壓力。根據《中國地震動參數區劃圖》(GB18306—2001)，本場地的地震動峰值加速度為0.05g(抗震設防烈度6度)，地震動反應譜特征周期為0.40 s。

日本學者田村重四郎和岡本舜三在進行沉埋隧道地震反應分析時，假定隧道對周圍土體的自振特性沒有影響;隧道慣性力對動力性能的影響忽略不計;表面地層的剪切振動基本振型對隧道在地震中產生的應變起主導作用。因此，采取同樣的假定，將地鐵車站及站體以外土體劃分為一系列單元，每一單元均用與其剪切振動自振周期相同的質量-彈簧代替［12］。站體側面及底面的邊界條件簡化模擬為僅受壓的土彈簧，剛度根據地基系數計算得出;兩端與隧道接觸處，按剛性連接處理，進行隨機振動分析。

選用金井清地震加速度功率譜模型，隨機地震動輸入功率譜函數為

式中，ωg，ξg分別為覆蓋土層的卓越頻率和阻尼比。

基于虛擬激勵法構造虛擬激勵作用于結構，在進行隨機振動分析時，頻域取 ω∈［0，200］rad/s，頻點間隔 Δω =0.1 rad/s。

圖3為考慮x向功率譜輸入時，地鐵車站中層邊縱梁沿長度方向剪力及彎矩圖，可以看出，①～⑧軸間中縱梁剪力較大，在⑤～⑧軸地鐵結構體型變化較大的部位，中縱梁的剪力出現明顯增大現象;彎矩沿中縱梁長度方向分布較為均勻，在⑧～○16軸間有增大趨勢。與剪力分布情況相同，在支座處，剪力及彎矩均較大。圖4為考慮y向功率譜函數輸入時，地鐵車站中層邊縱梁沿長度方向的剪力及彎矩圖，可以看出，⑧～○16軸間中縱梁剪力較大，沿梁長方向，剪力值逐漸增大;①～⑧軸間的彎矩較大。同樣，在支座處，剪力及彎矩均較大。對比不同方向功率譜函數輸入的結構內力響應，進行結構隨機振動分析時，功率譜函數的輸入方向對結構的動力響應影響顯著。

圖3 x向輸入時中縱梁內力均值

圖4 y向輸入時中縱梁內力均值

圖5為x向、y向輸入功率譜函數時柱底剪力比較圖，可以看出，x向輸入時，柱底剪力較小，邊跨柱剪力小于中跨柱底剪力，邊跨柱底剪力沿車站長度方向變化不大，中跨柱底剪力在車站兩端部位較大，⑨～○16軸間中跨柱底剪力有增大趨勢。y向輸入時，柱底剪力明顯大于x向輸入時的柱底剪力，邊跨柱柱底剪力大于中跨柱底剪力，①～⑧邊跨與中跨柱底剪力差別較大，⑨～跨間C、D、E軸柱底剪力較大且相差不大。

圖5 柱底剪力比較

5 結論

隨著地鐵建設的快速建設與發展，地鐵車站結構的抗震設計問題己經成為地鐵建設中的一個重要環節，對地鐵車站結構進行隨機地震反應分析可以求得結構各構件的地震響應功率譜、均值和均方根值，進而確定地鐵車站結構地震動力可靠度，為地鐵車站結構的可靠性設計提供理論參考依據。通過對青島地鐵五四廣場站進行隨機振動分析，可以得到:地鐵車站結構由于受周圍土體約束顯著，動力特性不同于地面結構，因此采用隨機振動分析能夠從概率統計方面得到地體車站結構的地震響應統計值;考慮不同方向的地震功率譜輸入時，地鐵車站結構動力響應情況顯著不同，橫向地震對結構的內力影響較大;基于林家浩教授提出的虛擬激勵法，對結構進行隨機振動分析時，將平穩隨機外力轉化為簡諧外力，可以高效地解決隨機振動分析時計算精度和計算效率之間的矛盾;本文對地鐵車站結構的分析方法可以為同類的設計提供參考，地鐵車站結構設計時應充分考慮場地土的差異、土體液化等邊界約束情況以及符合場地條件具有統計規律的地震動功率譜模型的合理選取。

［1］ 人民網.2015年地鐵運營線達3 000 km十二五期間投資或超萬億.［EB/OL］.http://finance.people.com.cn/GB/70846/16472936.html.2011.12.02.

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Analysis on Random Vibration Response of Metro Station Structure

MA Qian-ying1，LIU Zhi-qin2，WANG She-liang3，XIONG Er-gang1
(1.School of Civil Engineering，Chang'an Universit，Xi'an 710061，China;2.Department of Civil and Materials Engineering，Henan University of Urban Construction，Pingdingshan 467036，China;3.School of Civil Engineering，Xi'an University of Architecture and Technology，Xi'an 710055，China)

Considering the random uncertainty of seismic response，doing the structural seismic analysis by means of random vibration theory based on probabilistic method，and then investigating the dynamical reliability of structure，this method really is a reasonable method.This paper，after a random vibration analysis on Wusiguangchang Station of Qingdao Metro using pseudo excitation method，has avoided the tedious work of traditional calculation method，and has obtained dynamic response of the structure with statistical significance.When inputting the power spectrum along the X axis，the bending moment distribution is uniform relatively;the shearing force increases obviously at the change part of body form of the metro structure;the shearing force of the column bottom is relatively small，especially the shearing force of the column bottom of side span is less than that of middle span.When inputting the power spectrum along the Y axis，the shearing force increases gradually along the beam axis direction;the column bottom shearing force is bigger than that of inputting along the X axis;and the column bottom shearing force of the side span is bigger than that of middle span.The conclusion provides the basis for the reliability-based design of the complex structure like the metro station，functioning as reference for similar project design.

metro station;pseudo excitation method;random vibration

U231+.4

A

1004-2954(2013)09-0065-04

2013-03-12;

2013-03-17

國家自然科學基金項目(51208041，51178388，10972168，51108035);國家重點實驗室開放項目(11JS061)。

馬乾瑛(1982—)，男，講師，博士，E-mail:mqianying@126.com。