基于應(yīng)變的復(fù)合材料Non-Fickian吸濕方程

韓坤華， 余 音， 汪 海

(上海交通大學(xué)航空航天學(xué)院，民機(jī)結(jié)構(gòu)強(qiáng)度綜合實(shí)驗(yàn)室，上海200240)

0 引言

先進(jìn)復(fù)合材料應(yīng)用于飛機(jī)結(jié)構(gòu)要承受溫度、濕度與載荷聯(lián)合作用的嚴(yán)酷外部環(huán)境因素，而復(fù)合材料由于其聚合物基體的極性，容易在潮濕環(huán)境下吸濕，使其性能退化，進(jìn)而降低復(fù)合材料力學(xué)性能［1-2］。國內(nèi)外學(xué)者都十分重視對(duì)復(fù)合材料在濕熱環(huán)境下的力學(xué)行為研究，并將濕熱環(huán)境對(duì)于復(fù)合材料力學(xué)性能的影響作為衡量復(fù)合材料耐久性的首要因素，而在濕度、溫度與外載荷的聯(lián)合作用下，復(fù)合材料的吸濕行為愈顯復(fù)雜。更多的研究［3-7］表明，復(fù)合材料的復(fù)雜吸濕行為已經(jīng)偏離了Fick擴(kuò)散，表現(xiàn)出Non-Fickian行為。Fahmy等［8］發(fā)現(xiàn)應(yīng)力會(huì)影響復(fù)合材料的吸濕過程，其4點(diǎn)彎曲試驗(yàn)表明，試樣的受拉面比受壓面的吸濕量更多。隨后，Neumann等［9］指出控制濕-力耦合的力學(xué)變量是應(yīng)變而不是應(yīng)力。Lee等［10］研究了基于濕濃度和基于應(yīng)力的濕擴(kuò)散方程，結(jié)果表明吸濕會(huì)在試樣中心引起橫向拉應(yīng)力，在表面引起橫向壓應(yīng)力，擴(kuò)散率會(huì)由于拉應(yīng)力而增加，材料表面的吸濕快于中面。但是該研究所建立的耦合方程中，是靠經(jīng)驗(yàn)常數(shù)使2個(gè)變量相互作用的，常數(shù)的選擇依賴于吸濕試驗(yàn)。Samit Roy等［11-13］基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)與熱力學(xué)第二定律，采用Gibb自由能的特殊形式，將應(yīng)力、溫度與濕度作為獨(dú)立的場變量建立了正交各向異性材料在應(yīng)力、溫度與吸濕歷程間相互作用下的吸濕控制方程。該方程形式復(fù)雜，參數(shù)多，不能有效地用于工程計(jì)算。但是其理論方程對(duì)于研究材料在濕熱載復(fù)雜環(huán)境下的吸濕歷程很有價(jià)值，研究表明，短時(shí)間內(nèi)，F(xiàn)ick定律會(huì)過高估計(jì)材料的吸濕量，在有外力或者存在應(yīng)變時(shí)，F(xiàn)ick定律不再適于描述材料的吸濕行為。

本文根據(jù)復(fù)合材料層壓板吸濕試驗(yàn)中所表現(xiàn)出的Non-Fickian行為，建立基于應(yīng)變的濕擴(kuò)散方程，計(jì)入濕濃度與應(yīng)變的耦合作用，得到不同時(shí)刻層壓板內(nèi)部的瞬態(tài)濕濃度分布，并根據(jù)經(jīng)典層壓板理論計(jì)算層壓板內(nèi)由于受熱和吸濕引起的濕熱殘余應(yīng)力。所建立的方程不需引入經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，適合于計(jì)算不同材料、鋪層、厚度及不同環(huán)境條件下的復(fù)合材料層壓板試驗(yàn)件的吸濕量，計(jì)算結(jié)果比傳統(tǒng)Fickian擴(kuò)散更接近于試驗(yàn)結(jié)果。

1 復(fù)合材料層壓板的吸濕試驗(yàn)

試驗(yàn)選取不同厚度、不同材料的復(fù)合材料單向?qū)訅喊迮c多向?qū)訅喊逶囼?yàn)件，在不同的環(huán)境處理?xiàng)l件下分別做吸濕試驗(yàn)。環(huán)境箱采用ETH-225-70-CP-AR可程式恒溫恒濕試驗(yàn)機(jī)，其溫度控制范圍是－70～150°C，相對(duì)濕度(Relative Humidity，RH)范圍是10% ～98%，溫濕度控制精度為 ±0.2 °C，±2.5%RH。試驗(yàn)參照ASTM D 5229標(biāo)準(zhǔn)［14］進(jìn)行，試驗(yàn)參數(shù)見表1。

試驗(yàn)件吸濕百分比-時(shí)間曲線的試驗(yàn)結(jié)果如圖1所示，并將之與Fick方程［16］的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較。

表1 復(fù)合材料層壓板吸濕試驗(yàn)件

圖1 層壓板吸濕的試驗(yàn)曲線與Fickian擴(kuò)散結(jié)果比較

由圖1可以看出，F(xiàn)ick方程在吸濕初始階段會(huì)過高估計(jì)層壓板內(nèi)吸濕量，而在隨后的吸濕過程中又過低估計(jì)了層壓板的吸濕量［10，15］，在復(fù)合材料多向板中變現(xiàn)得更明顯。因?yàn)閺?fù)合材料單向板的濕熱膨脹系數(shù)是各向異性，多向?qū)訅喊逑噜弻拥睦w維鋪設(shè)角不同，勢(shì)必會(huì)在層壓板內(nèi)部引起更大的濕熱應(yīng)力。對(duì)此，本文建立基于應(yīng)變的濕擴(kuò)散方程，研究復(fù)合材料層壓板的Non-Fickian吸濕行為。

2 基于應(yīng)變的濕擴(kuò)散方程

2.1 復(fù)合材料的濕擴(kuò)散

由于試驗(yàn)件厚度方向的平面面積遠(yuǎn)大于其他2個(gè)平面，所以將復(fù)合材料層壓板的吸濕簡化為一維濕擴(kuò)散，如圖2所示。

圖2 復(fù)合材料一維濕擴(kuò)散

沿厚度的一維濕擴(kuò)散Fick方程:

式中:Dz是材料沿厚度方向的擴(kuò)散率;c是水分比濃度;t是時(shí)間;z是厚度方向坐標(biāo);h是層壓板總厚度。

假設(shè)環(huán)境中濕濃度為常數(shù)c∞，則解上述二階偏微分方程的初始條件與邊界條件為

層壓板中每一點(diǎn)上的濕濃度是厚度方向坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)，即c(zk，t)，由混合邊界條件(2)得到方程(1)的解為

2.2 復(fù)合材料層壓板中的濕熱殘余應(yīng)力

在環(huán)境箱內(nèi)進(jìn)行吸濕處理的復(fù)合材料層壓板試驗(yàn)件會(huì)因?yàn)闇囟扰c吸濕而產(chǎn)生濕熱內(nèi)應(yīng)力。材料達(dá)到熱穩(wěn)態(tài)的時(shí)間遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于達(dá)到濕飽和狀態(tài)［17］，所以在計(jì)算濕熱殘余應(yīng)變時(shí)認(rèn)為材料首先已經(jīng)達(dá)到了熱穩(wěn)態(tài)，直接加上溫度差以后再計(jì)算濕擴(kuò)散過程和吸濕過程中產(chǎn)生的濕熱應(yīng)變與應(yīng)力。

將復(fù)合材料單向?qū)訅喊搴喕癁槠矫鎽?yīng)力狀態(tài)，濕度場與溫度場存在時(shí)其本構(gòu)關(guān)系為

層壓板內(nèi)僅由濕熱項(xiàng)引起的面內(nèi)濕熱力與濕熱力矩分別為:

由此，可以計(jì)算層壓板中面應(yīng)變{εn(0)}與彎曲應(yīng)變{κn}:

2.3 基于應(yīng)變的濕擴(kuò)散方程

在分析層壓板內(nèi)應(yīng)變時(shí)發(fā)現(xiàn)，其在吸濕過程中產(chǎn)生的濕熱應(yīng)變以橫向ε22最大，其隨著時(shí)間增長，并與時(shí)間的平方根呈線性變化，同吸濕百分比M與時(shí)間t的變化趨勢(shì)一致，如圖3所示。

由圖3，假設(shè)層壓板中濕熱應(yīng)變與濕濃度一樣，也具有“擴(kuò)散”功能，并且會(huì)對(duì)層壓板的吸濕產(chǎn)生作用。

圖3 層壓板內(nèi)的濕熱應(yīng)變

仿照計(jì)算濕擴(kuò)散率的公式，也可以計(jì)算出相應(yīng)的應(yīng)變擴(kuò)散系數(shù)DE，

基于計(jì)算出的DE在Fick方程中引入應(yīng)變擴(kuò)散系數(shù)與應(yīng)變耦合項(xiàng)，建立基于應(yīng)變的濕擴(kuò)散-應(yīng)變耦合方程，

由于此時(shí)c與ε22相互耦合，較難推導(dǎo)出解析解，需要利用數(shù)值方法解出方程。采取有限差分方法對(duì)空間變量采取中心差分法，對(duì)于時(shí)間變量采取向前差分法。由于向前差分是二階精度，故必須滿足下式的條件才能保證計(jì)算收斂:

令空間變量的增量為Δz，時(shí)間變量的增量為Δt，則

綜上，基于應(yīng)變的濕擴(kuò)散-應(yīng)變耦合計(jì)算的流程見圖4。

圖4 濕擴(kuò)散-應(yīng)變耦合計(jì)算流程

根據(jù)所建立的濕擴(kuò)散-應(yīng)變方程重新計(jì)算復(fù)合材料層壓板試驗(yàn)件的吸濕，并與試驗(yàn)結(jié)果、Fick擴(kuò)散結(jié)果進(jìn)行比較，如圖5所示。

圖5 層壓板吸濕百分比-時(shí)間曲線

由圖5可以看出，基于應(yīng)變的耦合方程在吸濕初始階段有效地改善了Fick方程過分估計(jì)材料吸濕量的情況，在隨后的吸濕中，又改善了Fick方程過低估計(jì)材料吸濕能力的情況，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)多落于基于應(yīng)變的耦合濕擴(kuò)散曲線上，證明材料的吸濕曲線會(huì)受到層壓板內(nèi)應(yīng)變的影響。

以［0］16為例，選取 3 個(gè)典型時(shí)間點(diǎn) 0.1tmax，0.5tmax，tmax計(jì)算單向?qū)訅喊鍍?nèi)橫向濕熱殘余應(yīng)力，發(fā)現(xiàn)耦合的計(jì)算結(jié)果要略大于非耦合結(jié)果，如圖6所示。因?yàn)椋藭r(shí)應(yīng)變與擴(kuò)散率之間有了正影響關(guān)系，應(yīng)變?cè)黾訑U(kuò)散率的同時(shí)，同一時(shí)刻吸濕量的增加也增大了濕熱殘余應(yīng)力。

圖6 層壓板內(nèi)沿厚度方向分布的橫向濕熱殘余應(yīng)力

圖6 表明在吸濕初始階段，試樣濕擴(kuò)散方向上存在濕濃度梯度，從而導(dǎo)致該方向上的濕熱殘余應(yīng)力也呈梯度分布，單向?qū)訅喊逶嚇舆吘壧幍臋M向濕熱殘余應(yīng)力達(dá)到44.1 MPa，這與基體橫向壓縮強(qiáng)度相比不可忽略，其可能會(huì)引起橫向初始裂紋。隨著試樣吸濕平衡，材料內(nèi)的濕濃度分布趨于平衡，濕熱殘余應(yīng)力分布也趨于平衡。0°單向板由于相鄰鋪層相同，且處于自由邊界條件，所以層壓板內(nèi)最后殘余的應(yīng)力值接近于0。另外，從圖6中還能發(fā)現(xiàn)這樣的現(xiàn)象，不同時(shí)刻層壓板內(nèi)的應(yīng)力分布一直在變化，但是應(yīng)力分布曲線在變化的過程中有一個(gè)不變的交點(diǎn)，如圖6中的點(diǎn)P。并且當(dāng)層壓板內(nèi)應(yīng)力分布趨于平衡時(shí)，殘余應(yīng)力的值就是該交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的應(yīng)力值。由此，就可以通過吸濕初始時(shí)兩條應(yīng)力曲線的變化初步估計(jì)吸濕飽和時(shí)層壓板內(nèi)的殘余應(yīng)力值，大大減少計(jì)算代價(jià)。

綜上，本文所建立的基于應(yīng)變的濕擴(kuò)散方程計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果符合良好，并且具有以下優(yōu)點(diǎn):

(1)方程中沒有經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，不需要通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)來擬合，通過Fick擴(kuò)散計(jì)算后得到應(yīng)變擴(kuò)散系數(shù)DE，再通過耦合方程計(jì)算得到復(fù)合材料層壓板最終的吸濕曲線;

(2)方程中引入了應(yīng)變耦合項(xiàng)，當(dāng)復(fù)合材料受外載荷而有初始應(yīng)變場或者吸濕過程中產(chǎn)生內(nèi)應(yīng)變時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)濕擴(kuò)散與應(yīng)變的相互耦合，更準(zhǔn)確地描述濕熱載環(huán)境下復(fù)合材料的吸濕過程;

(3)二階偏微分方程可以通過有限差分法計(jì)算，計(jì)算程序簡便快捷，效率高。

3 結(jié)語

本文通過觀察試驗(yàn)中復(fù)合材料所表現(xiàn)出的Non-Fickian擴(kuò)散行為，建立了基于應(yīng)變的濕擴(kuò)散方程，并可以得到以下結(jié)論:①復(fù)合材料的濕擴(kuò)散與應(yīng)變間存在完全耦合關(guān)系，在研究復(fù)合材料吸濕時(shí)不能忽略。用本文建立的基于應(yīng)變的濕擴(kuò)散方程可以定量描述這種耦合關(guān)系，有效改進(jìn)Fick方程初始時(shí)過高估計(jì)吸濕量和較長時(shí)間后過低估計(jì)吸濕量的問題，得到與試驗(yàn)曲線一致的結(jié)果;②同一時(shí)刻復(fù)合材料內(nèi)濕含量的差距會(huì)導(dǎo)致其內(nèi)部濕熱應(yīng)力分布的差異，耦合計(jì)算得到的濕熱殘余應(yīng)力值較大，其可能會(huì)引起基體內(nèi)的初始損傷，是復(fù)合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中需要考慮的重要因素。

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