基于Gr?bner基的圓薄板非線性大撓度分析

張迅煒，周建方，徐吉良

ZHANG Xun-wei, ZHOU Jian-fang, XU Ji-liang

(河海大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，常州 213022)

0 引言

由于重量輕，易加工，又可承受較大的載荷，薄板結(jié)構(gòu)在工程中使用廣泛。為了準(zhǔn)確地評(píng)估其工作性能，常常需要考察薄板在載荷作用下的力學(xué)行為，圓薄板非線性大撓度彎曲就是其中的一個(gè)重要問(wèn)題。

圓薄板大撓度彎曲問(wèn)題有多種數(shù)學(xué)模型，其中卡門（Von Karman）方程組由于形式相對(duì)簡(jiǎn)單，又合理地考慮了非線性效應(yīng)，因而得到廣泛采納。該方程組包括一對(duì)耦合的非線性偏微分方程，各國(guó)學(xué)者對(duì)其求解方法進(jìn)行了大量研究[1～5]。Vincent[1]以載荷為攝動(dòng)參數(shù)，首先求解了均布載荷作用下的圓板大撓度彎曲問(wèn)題，結(jié)果的誤差較大。錢偉長(zhǎng)[2,3]以中心位移為攝動(dòng)參數(shù)求解了同樣的問(wèn)題，計(jì)算結(jié)果非常接近實(shí)驗(yàn)值，并且求解過(guò)程比Vincent的方法收斂更快。葉開沅等改進(jìn)了攝動(dòng)法的計(jì)算程序，提出了修正迭代法[4]，使得各階攝動(dòng)方程不再耦合，計(jì)算過(guò)程得到較大簡(jiǎn)化。上述方法均需要多次迭代求解微分方程組，以逐步提高近似解的精度，這要求工程設(shè)計(jì)人員有較高的數(shù)學(xué)分析和運(yùn)算能力，不便于工程應(yīng)用。

變分法不直接求解卡門方程組，而是將大撓度彎曲問(wèn)題轉(zhuǎn)化為等價(jià)的彈性勢(shì)能極值問(wèn)題，通過(guò)選取適當(dāng)?shù)膿锨婧瘮?shù)，得到一個(gè)代數(shù)方程組，進(jìn)而求出近似解，求解過(guò)程的數(shù)學(xué)分析較為簡(jiǎn)便。但是，當(dāng)撓曲面函數(shù)待定系數(shù)增多時(shí)，將形成多元高次非線性代數(shù)方程組。常用的數(shù)值方法[6]，如Newton-raphson迭代法，需要給出好的初始值才能保證非線性方程組的收斂。而解析法中的Gr?bner基法[7]，通過(guò)將一組非線性多項(xiàng)式方程化簡(jiǎn)為一個(gè)等價(jià)的三角化方程組，可求得封閉形式的解析解，不會(huì)產(chǎn)生增根或少根，能夠最大限度地滿足方程組的求解精度，克服了數(shù)值方法的不足。

本文根據(jù)能量原理，用里茨法推出等厚度軸對(duì)稱圓薄板非線性彎曲問(wèn)題的變分列式，結(jié)合符號(hào)計(jì)算軟件Mathematica，應(yīng)用Gr?bner基法求解了非線性方程組，得到了圓薄板受均布載荷時(shí)的最大撓度。結(jié)果表明，采用Gr?bner基法求解大撓度問(wèn)題，計(jì)算效率較高，且能求得高精度的近似解。

1 里茨法變分列式

在軸對(duì)稱分布載荷作用下，圓薄板大撓度彎曲時(shí)，板的形變勢(shì)能Vε包括彎曲形變勢(shì)能Vε1和中面應(yīng)變勢(shì)能：

其中， ρ為極坐標(biāo)；w為板的中面撓度方程；uρ為中面內(nèi)點(diǎn)的徑向位移；μ為泊松比；彎曲剛度，式中：δ為板厚，E為彈性模量。

周邊固支時(shí)，板的位移邊界條件及軸對(duì)稱條件分別為：

應(yīng)用里茨法求解時(shí)，要求假設(shè)的位移函數(shù)同時(shí)滿足式（2）、（3），因此將中面內(nèi)各點(diǎn)的徑向與軸向位移分別取為：

其中，Am、Cm為互不依賴的待定系數(shù)；n為非負(fù)整數(shù)。

根據(jù)最小勢(shì)能原理，圓薄板軸對(duì)稱彎曲問(wèn)題的解應(yīng)滿足下列二組方程：

其中，q為載荷集度；

假設(shè)式(6)、(7)中的參數(shù)值n，并代入式(8)、(9)，得到一個(gè)關(guān)于Am與Cm的非線性方程組，它包括2n+1個(gè)方程。將該方程組的解代入式(6)、(7)即得到板中面各點(diǎn)的徑向與軸向位移的近似解，據(jù)此可進(jìn)一步求出應(yīng)力、內(nèi)力等其他未知量。隨著參數(shù)n取值的增大，待定系數(shù)的數(shù)量相應(yīng)增加，各級(jí)近似解將不斷趨近于精確解。

2 Gr?bner基法簡(jiǎn)介與求解步驟

Gr?bner基法[9]是一種建立非線性多項(xiàng)式系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)基的理論和方法。與求解線性方程組的高斯消去法思路相類似，Gr?bner基法將非線性系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的三角形方程組，從而可用回代的方法求解。該方法在原非線性多項(xiàng)式系統(tǒng)所構(gòu)成的多項(xiàng)式環(huán)內(nèi)，通過(guò)對(duì)多項(xiàng)式變?cè)倪m當(dāng)排序，求多項(xiàng)式系統(tǒng)中多項(xiàng)式對(duì)的S-多項(xiàng)式，并進(jìn)行彼此的消元，最終生成一個(gè)與原系統(tǒng)完全等價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)基。Buchberger算法是構(gòu)造多項(xiàng)式系統(tǒng)Gr?bner基的一種有效算法，在計(jì)算代數(shù)系統(tǒng)（如Mathematica等）中該算法及其改進(jìn)版本均已實(shí)現(xiàn)，可直接以函數(shù)方式調(diào)用。

本文用改進(jìn)的Buchberger算法對(duì)式(8)、(9)組成的非線性方程組進(jìn)行求解，步驟為：

1) 假設(shè)n，得到關(guān)于Am與Cm的非線性方程組G；

2) 將G中所有多項(xiàng)式賦于H；

3) 確定H中的變?cè)淖值浞ㄅ判颍?/p>

4) 用Gr?bner基函數(shù)將H化為最簡(jiǎn)Gr?bner標(biāo)準(zhǔn)基，進(jìn)而得到與原多項(xiàng)式方程組等價(jià)的三角化方程組：

5) 求解其中一元多次方程得到C0，回代方程逐個(gè)求出其它變?cè)?/p>

3 算例與程序

設(shè)等厚度軸對(duì)稱圓板，半徑為a=2m，厚度為 δ= 0.03m ，受均布載荷作用，周邊固支，材料的彈性模量 E= 200GPa，泊松比μ= 0.3，如圖1所示。求圓板的最大撓度。

圖1 周邊固支軸對(duì)稱圓薄板

由式(7)可知，ρ=0時(shí)圓板的中心撓度也就是最大撓度

設(shè)n=0，式（6）、（7）分別表示為：

將式(11)、(12)代入式（1）（2）（3），得到形變勢(shì)能Vε表達(dá)式，再代入式（8）、（9）得到非線性方程組：

應(yīng)用Gr?bner基法，按前述步驟求解并轉(zhuǎn)換得到的等價(jià)三角化方程組為：

由式(14)的第一個(gè)方程式可求得C0的三個(gè)根。其中唯一的實(shí)根，據(jù)式（10），就是n取0時(shí)板的最大撓度：

再設(shè)n=1，則：

類似地，求得最大撓度：

n取不同值時(shí)，求解Gr?bner基和最大撓度的Mathematica程序如下：

為了檢驗(yàn)Gr?bner基法以及Mathematica程序的求解精度，對(duì)算例中的q取不同值，求得最大撓度wmax，結(jié)果匯總于表1。

表1 不同載荷集度q下的最大撓度比較

計(jì)算結(jié)果表明：1）應(yīng)用里茲法和Gr?bner基法求解等厚度圓薄板最大撓度，計(jì)算過(guò)程收斂速度快，n= 0時(shí)，與最大撓度攝動(dòng)解的誤差不超過(guò)2%。2）隨著參數(shù)n的增大，中面各點(diǎn)的位移表達(dá)式待定系數(shù)相應(yīng)增加，n=1時(shí)，最大誤差減小為0.97%，最大撓度更加趨近于攝動(dòng)解，且結(jié)果已能達(dá)到工程應(yīng)用的精度要求。

4 結(jié)束語(yǔ)

根據(jù)能量原理，本文結(jié)合里茨法和Gr?bner基法，應(yīng)用符號(hào)計(jì)算軟件Mathematica求解了等厚度圓薄板的大撓度問(wèn)題。該方法原理清晰，求解步驟易于編程實(shí)現(xiàn)，無(wú)需應(yīng)用復(fù)雜的數(shù)學(xué)分析方法和技巧，就可得到結(jié)果的解析符號(hào)表達(dá)式，或者代入?yún)?shù)求出高精度的數(shù)值結(jié)果，便于工程應(yīng)用。本文的方法和程序可推廣到其它載荷與約束條件下圓薄板的軸對(duì)稱大撓度彎曲問(wèn)題。

[1]Vincent J.J.The bending of a thin circular plate[J].Phil.Mag.,1931,12：185-196.

[2]Chien Weizang.Large deflection of a circular plate under uniform pressure[J].Chinese J.Phys., 1947, 7(2)：102-113.

[3]錢偉長(zhǎng),葉開沅.圓薄板大撓度問(wèn)題[J].物理學(xué)報(bào),1954,10(3),209-238.

[4]葉開沅,劉人懷,李思來(lái),平慶元.在對(duì)稱線布載荷下的圓底扁球殼的非線性穩(wěn)定問(wèn)題[J],蘭州大學(xué)學(xué)報(bào),1965,18(2)：10-33.

[5]孫文俊.求大撓度板高級(jí)變分近似解的一種算法[J].河海大學(xué)學(xué)報(bào),1990,18(2)：20-24.

[6]馮果忱.非線性方程組解法[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社,1989.

[7]劉木蘭.Gr?bner基理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2000.

[8]徐芝綸.彈性力學(xué)[M].第4版.北京：高等教育出版社,2006.