瑞利能量法在求解激光切割機橫梁固有頻率中的應用

葉亮，梁海騰，阮一暉

(江蘇省特種設備安全監督檢驗研究院蘇州分院，江蘇蘇州215128)

橫梁是數控激光切割機［1-2］的重要部件，通常采用鋼板彎折或焊接而成，其主要部分包括橫梁主體、激光切割頭、傳動系統和其他附屬機構。橫梁作為激光切割機的執行部件，要求質量輕、強度高、頻響快。研究橫梁的固有頻率，對于改善其動態特性、提高加工精度、延長使用壽命以及進一步的優化設計都具有重要的工程意義。

1 瑞利法介紹［3－4］

利用瑞利能量法可以求解單自由度系統的固有頻率，對無阻尼的振動系統而言，能量守恒定律可以表示為:

其中:下標1和2代表兩個不同時刻，特別地，用下標1代表質量塊通過其靜平衡位置的時刻，并取此刻為零勢能位置，即U1=0;用下標2代表質量塊到達最大位移的時刻，此時動能T2=0。因此式 (1)變為:

如果系統作的是簡諧運動，那么T1和U2分別代表了動能T和勢能U的最大值。因此式 (2)變為:

此即瑞利能量法，應用這種方法可以求解系統的固有頻率。

2 實例計算

以某公司生產的某型號數控激光切割機為例，應用瑞利能量法計算橫梁的固有頻率。數控激光切割機橫梁截面簡圖如圖1所示。

圖1 橫梁橫截面簡圖

假設橫梁在振動中的動撓度曲線和在簡支梁中點處集中載荷mg作用下靜撓度曲線一致，由材料力學可知，簡支梁中點的撓度為

在任一截面y處的撓度表示為z0的函數

在振動時，z、z0均是變量，則有

橫梁的動能

式中:m0l為橫梁的質量。因此橫梁的等效質量為

如圖2(a)所示的系統可以簡化為圖2(b)所示的單自由度系統。其質量為

圖2 橫梁在z方向振動簡化示意圖

彈簧常數為

則系統的固有頻率為

已知橫截面對x軸慣性矩:Ix=0．587 6×10-4m4，對z軸慣性矩:Iz=0．984 5×10-4m4。此外，橫梁質量m0=200 kg，激光切割頭及支架質量m=50 kg，橫梁長度l=2 m，鋼材彈性模量E=210 GPa。

代入相關數據，計算得:

同理，可計算橫梁在x方向的固有頻率，振動簡化示意圖如圖3。

圖3 橫梁在x方向振動簡化示意圖

求得橫梁在x方向的一階振動頻率為:fx1=142．3 Hz。

3 小結

(1)固有頻率是結構動態特性的一項重要指標，當驅動力的頻率等于振動系統的固有頻率時，系統發生共振現象，此時系統最大限度地從外界吸收能量。獲得結構的固有頻率，可以避免共振現象的發生，實際算得某型號激光切割機的工作頻率為23 Hz，而橫梁在x方向和z方向的固有頻率均在100 Hz以上，不會發生共振現象。

(2)固有頻率為結構動力學優化設計提供目標函數或約束條件，以動態特性指標作為設計原則，對橫梁結構進行優化設計。既可在常規靜力設計的基礎上運用優化技術，對橫梁結構元件進行結構動力修改，也可從滿足橫梁結構動態性能指標出發，綜合考慮其他因素來確定橫梁結構的形狀，乃至結構的拓撲(局部設計、開孔、增刪元件等)。

(3)利用瑞利能量法可以簡便、準確地求解系統的固有頻率，對于規則簡單結構，其求解準確度得到了試驗驗證。

(4)利用瑞利能量法可以求解結構系統的固有頻率，但若要進一步了解結構的振動模態和高階振動頻率，則需借助于有限元軟件以及模態測試等方法。此外，對于結構復雜和建模難度較大的系統，利用瑞利能量法求解其固有頻率存在較大難度。

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