可見光域疊層成像中照明光束的關鍵參量研究*

王雅麗1) 史祎詩1)2)? 李拓1) 高乾坤1) 肖俊1) 張三國1)

1)(中國科學院大學，北京 100049)

2)(中國科學院信息工程研究所，信息安全國家重點實驗室，北京 100093)

(2012年8月1日收到;2012年11月21日收到修改稿)

1 引言

基于疊層成像(ptychography)原理的掃描相干衍射成像方法是由Hoppe[1,2]為了研究晶體結構所提出的，并通過研究晶體和非晶體的掃描透射電子衍射顯微成像，驗證了此方法的有效性.Rodenburg和Faulkner等[3,4]結合相位恢復算法將此方法多次改進，目前這種成像方法已在可見光域、X射線、電子顯微鏡等不同波段得到了實驗證實[5-10]，并發展出若干種技術以提高成像質量以及分辨率[4,11,12]，該技術顯示了在大幅面成像和高分辨成像方面的巨大潛力.疊層成像術是通過改變照明光束和樣品的相對位置，獲得系列交疊區域的衍射圖樣，恢復得到樣品的復振幅分布.與傳統的衍射成像相比，此成像系統無須透鏡，不但避免了透鏡的像差對成像恢復質量的影響，而且也消除了數值孔徑對樣品尺寸的限制;由于“層”與“層”之間的約束，樣品的復振幅是所有“層”的共解，因此不但成像恢復的收斂速度快，而且也消除了正確解和復共軛之間的二義性.疊層成像術可以說是一種穩健而簡約的顯微成像技術.但目前最突出的問題在于其成像效率與質量之間的矛盾.為了進行可見光波段的實驗，本文系統地研究了照明光束的交疊率、光束尺寸、噪聲以及幾何形狀等因素對成像質量的綜合影響.通過模擬實驗研究獲得了疊層成像中影響成像恢復質量的照明光束的關鍵參數及相互制約關系.研究結果對可見光域、X射線以及電子波段等其他波段的實驗的應用均具有一定的指導作用.

2 理論分析

2.1 疊層成像的基本原理

為了獲取待測樣品的復振幅信息，移動一個全透的小孔(或樣品本身)使入射平面波照射到樣品的不同部位，即由小孔控制照明光束尺寸、幾何形狀及位置，并利用由此得到的一系列衍射強度圖樣重構出樣品的振幅與位相信息，如圖1(a)—(c)所示.疊層成像術的關鍵在于：每次照射樣品的一個“層”也就是樣品的某一部分時，都要和至少一個其他的“層”發生交疊.圖1(b)為4行4列的照明光束交疊位置的示意圖.這樣就可建立一種重構算法，在分別重構每“層”的復振幅時也要同時滿足其他“層”衍射分布的約束，使得最后的樣品的整體復振幅信息是所有“層”的共同解.圖1(c)表示疊層成像所恢復的振幅.

圖1 疊層成像的基本原理 (a)光路;(b)小孔交疊位置;(c)疊層成像所恢復的振幅

2.2 疊層成像的迭代算法[13]

由基本原理可知，疊層成像的迭代恢復算法是通過多“層”衍射圖樣的強度恢復得到物面的復振幅信息.與大多數相位恢復算法不同的是：重構每“層”的復振幅時，受其他“層”衍射分布的約束，可以快速地得到準確解，因此，該迭代恢復算法具有收斂速度快、可消除解的二義性等優點.利用迭代恢復算法獲得的物面的復振幅信息取決于像面的衍射分布.而像面的衍射分布決定于孔的復透射函數.設P(r)為孔的復透射函數，即照明函數，物體的復振幅分布函數為O(r)，因此，透過物體的光場的波函數為Ψ(r)=P(r)O(r).Ri是照明光束第i個位置相對于前一次移動的矢量，n為迭代次數.第一次迭代時，物體的復函數O(r)是隨機分布的.通過已知的照明函數和隨機分布的物函數可得透射波函數為

由快速傅里葉變換得到透射波在遠場的振幅和相位分布：

經過逆快速傅里葉變換可以得到一個新的輸出波函數：

在入射波平面，用一個新的物函數代替上一步得到的物函數：

其中，α，β為調節因子，α為了調節分母不等于0，β是一個反饋參數，一般取值范圍為[0.9，1].在以下的模擬中α=0.01，β=1.

疊層成像算法每次用一個已知的照明光束乘以一個新的物函數，相鄰位置的照明光束之間都是有交疊的，進行多次迭代，求得所有“層”的共解，消除了解的二義性.對每個位置的衍射分布進行相位恢復時都進行了約束，因此相對于傳統的相位恢復算法，收斂速度提高較大.

可用相關系數(correlation coefficient，Co)和均方差(mean square error，MSE)評價成像的恢復質量[14].Co是表示恢復圖像與原始圖像相關關系密切程度的指標，用Co值來評價恢復圖像的質量，從而判定光束的幾項參數對于圖像質量的影響.

其中，cov(g,go)表示恢復圖像信息g和原始圖像信息go之間的互協方差，σ為標準偏差Co取值范圍為[0，1]，其越接近1表明圖像的恢復質量越高.需注意的是，運用Co判定復振幅分布時，須分別對比兩者的實部與虛部，或者振幅與位相.

用輸入圖像和輸出圖像之間的MSE來評價圖像輸入端到輸出端的質量，進而反映各參數對圖像恢復質量的影響.MSE的數學定義式為

其中，M×N為圖像的大小，P(i,j)表示原始圖像，P(i,j)表示恢復圖像.MSE越接近0表明恢復圖像越接近原始圖像，成像的恢復質量越高，與評價參數Co相同，運用MSE評價復振幅時，分別對比振幅和相位.

Co和MSE從不同角度揭示了所恢復出樣品區域的單位面積上的相對誤差量.根據(6)式可知，直接可從分母中含有面積的凈像素數容易看出，MSE描述的相對誤差是其對單位面積的折算.而Co值值域為[0，1]，即其具有歸一化的屬性，但是也并不影響其反映相對誤差的客觀性.

2.3 照明光束的關鍵參數

成像恢復質量和照明光束的幾何形狀及尺寸等參數有關，照明光束的幾何形狀以及尺寸在模擬和實驗中均容易由小孔控制.

由疊層成像的迭代算法可知成像的恢復質量還與層與層的交疊面積有關系，而計算絕對的交疊面積對于不同形狀的孔有不同的計算公式，為了簡單而又能說明問題，我們定義了一個參數表示相對的交疊區域的大小.這個參數是一個線性的補償距離.設圓孔的半徑是r，兩個圓孔的圓心與圓心之間的距離為a∈[0,2r].定義絕對的交疊區域參數是δabs=2r-a.因此相對的交疊率定義為[13]

3 模擬實驗及分析

模擬實驗中采用樣品的振幅和相位分別為圖2(a)，(b)所示的 “Lena”和 “Tower”，采樣點數均為256 pixels× 256 pixels.圖 2(c)，(d)和 (e)分別為模擬過程中采用的圓孔、方孔和六邊形孔的形狀示意圖.激光波長取532 nm，孔的移動掃描均為4行4列，如圖1(b)所給出的照明光束陣列的位置示意圖.通過移動小孔控制照明光束，獲得16幅衍射強度分布圖樣，利用疊層迭代相位恢復算法獲得樣品的振幅和相位信息.

圖2 樣品和孔的示意圖 (a)樣品的振幅;(b)樣品的相位;(c)圓孔;(d)方孔;(e)六邊形孔

3.1 交疊率不同對成像質量的影響

首先模擬均采用圓孔控制波前時交疊率不同對成像恢復質量的影響.取孔的直徑為64 pixels(1 pixel=8μm)，第一個孔的起始位置為左上角，向右依次移動.為了比較交疊率不同帶來的恢復質量的差異，我們模擬了8種不同相對交疊率的情況.每次圓心移動 (64-n×8)pixels，n=0，1，2，3，4，5，6，7.根據(7)式，相對應的相對交疊率分別0%，12.5%，25.0%，37.5%，50.0%，62.5%，75.0，87.5%.利用疊層迭代相位恢復算法迭代200次以后獲得對應的振幅信息和相位信息，分別如圖3和圖4所示.由振幅和相位的恢復圖像可以直觀地看出：恢復質量均隨著交疊率的增加而增加.當相對交疊率達到50%時，可以獲得較好的復振幅分布.但是當交疊率繼續增大，通過振幅和相位分布就難以分辨出成像質量是否變得更好.

為了量化相對交疊率的不同對成像恢復質量的影響，計算了振幅和相位的相關系數Co值以及均方差MSE，如圖5和圖6所示.

圖3 迭代200次，圓孔交疊率不同時的振幅 (a)0%;(b)12.5%;(c)25.0%;(d)37.5%;(e)50.0%;(f)62.5%;(g)75.0%;(h)87.5%

圖4 迭代200次，圓孔交疊率不同時的相位 (a)0%;(b)12.5%;(c)25.0%;(d)37.5%;(e)50.0%;(f)62.5%;(g)75.0%;(h)87.5%

圖5 采用圓孔控制波前時，200次迭代后不同交疊率的振幅和相位的相關系數

圖6 采用圓孔控制波前時，200次迭代后不同交疊率的振幅和相位的均方差

表1 迭代60次時振幅的相關系數與均方差

表2 迭代60次時，相位的相關系數與均方差

由振幅和相位的相關系數關系可知：δ=0%，即照明光束在不同的位置沒有相互交疊，相當于普通的衍射成像，Co值較低，MSE較大，恢復圖像幾乎無法辨認;δ=87.5%時，穩定后相位的Co值最大，振幅的MSE最小，振幅和相位得收斂速度均最快，迭代5次后，Co和MSE就趨于平穩.由表1和表2可知，當相對交疊率達到50%及以上后，迭代60次時，成像的振幅和相位的Co值均大于0.95，MSE均小于1×10-3，表明獲得了較好的成像恢復質量.但是交疊率50%時的收斂速度明顯低于相對交疊率大于50%的情況.上述結果表明，交疊率的增大，不但可以提高成像質量，而且可以提高收斂速度，交疊率是影響成像質量的關鍵參數.

通過研究大量的相同面積不同復振幅分布的成像樣本，以上的結論均得到了良好的驗證，并且基于相關系數和均方差這兩個量化指標的相關結論都顯示了很好的一致性.

隨著交疊率的增大，成像的有效恢復面積減小.定義照明函數照射的有效區域即可恢復的成像面積大小為E，樣品大小為S，因此，可恢復成像面積占總圖像面積的比值為恢復效率e，公式表示如下：

圖7 迭代60次，有噪聲和無噪聲時，振幅和相位的相關系數與均方差

根據(8)式可知，提高照明光束的相對交疊率δ，E減小，雖然提高了成像的質量和收斂速度，但是卻損失了成像的有效面積.因此，在實驗中需要優化以上兩個參數.

接下來模擬了疊層成像恢復算法對抗噪聲的能力.將系數為0.1的隨機噪聲分布到衍射圖樣上，模擬了交疊率從0—87.5%的振幅和位相分布，直觀的效果與圖3和圖4并無差異.圖7給出了迭代60次時無噪聲和有噪聲兩種情況的成像振幅和相位的相關系數與均方差.結果表明，相關系數值和均方差基本無變化.這說明，這種成像算法對抗噪聲的效果很好.

3.2 光束尺寸不同對成像質量的影響

模擬相對交疊率相同時，照明光束尺寸不同對成像恢復質量的影響.我們選取了四種不同直徑的圓孔，孔的直徑大小分別為：160，120，80，40 pixels.每次圓心移動的大小為圓孔直徑的20%，則根據(5)式相對交疊率為80%.圖8和圖9是恢復得到的振幅和相位圖.由3.1可知，光束的交疊率達到50%以上，都可以獲得質量較高的圖像.從圖7和圖8中難以直觀地分辨恢復圖像的質量差別.

圖8 迭代200次，孔徑不同，交疊率相同時的振幅圖 (a)160 pixels;(b)120 pixels;(c)80 pixels;(d)40 pixels

圖9 迭代200次，孔徑不同，交疊率相同時的相位圖 (a)160 pixels;(b)120 pixels;(c)80 pixels;(d)40 pixels

圖10 交疊率相同、不同孔徑、200次迭代后的振幅和相位的相關系數 (a)振幅;(b)相位

振幅和相位的相關系數以及均方差可以量化光束尺寸的不同對成像恢復質量的影響，如圖10和圖11所示.由相關系數值可知，四種不同直徑的情況，振幅的Co值均在0.995以上.直徑為40 pixels的MSE值最大，迭代20次穩定后為1.5112×10-3.而且四種情況下，成像的收斂速度都較快.通過以上關系可知，當交疊率相同時，照明光束尺寸對成像的恢復質量和收斂速度直接影響均不大.

因此，實驗中可以盡量增大光束尺寸，提高圖像的恢復效率.

3.3 幾何形狀不同對成像質量的影響

最后模擬了圓孔、正方形孔和正六邊形孔三種不同的幾何形狀的照明光束對成像質量的影響.圓孔直徑、正方形邊長以及正六邊形的對角線均為160 pixels，交疊率均為80%.圖12和圖13是恢復得到的振幅和相位圖.三種不同形狀的光束都獲得了高質量的恢復圖像.

圖14和圖15是為了量化照明光束形狀對成像質量的影響，計算得到的相關系數和均方差的關系圖.方孔的收斂速度明顯低于圓孔和六邊形孔的速度(如圖14所示)，振幅和相位的MSE關系也反映了同樣的收斂速度關系，相比方孔和六邊形孔，圓孔相位的MSE收斂速度更快，平穩值更低(如圖15所示).六邊形孔和圓孔在迭代20次后，Co值趨近于1，隨后平穩.方孔迭代120次以后，Co=0.99704，與另外兩種形狀孔的Co接近.由此可知，光束的形狀主要影響圖像恢復的收斂速度.綜合考慮三種不同形狀的照明光束對成像質量和收斂速度的影響，圓形光束和六邊形光束的效果要好于方形光束.

圖11 交疊率相同、不同孔徑、200次迭代后的振幅和相位的均方差 (a)振幅;(b)相位

圖12 迭代200次、三種形狀的照明光束交疊率均為80%時的振幅 (a)圓孔;(b)方孔;(c)六邊形

圖13 迭代200次、三種形狀的照明光束交疊率均為80%時的相位圖 (a)圓孔;(b)方孔;(c)六邊形

圖14 迭代200次、交疊率均為80%，三種形狀照明光束的振幅和相位的相關系數 (a)振幅;(b)相位

圖15 迭代200次、交疊率均為80%，三種形狀照明光束的振幅和相位的均方差 (a)振幅;(b)相位

圖16 正方形孔、圓孔和六邊形孔的夫瑯禾費衍射圖樣

為了解釋這一現象，計算了與三種不同形狀孔的夫瑯禾費衍射圖樣[15,16]，如圖16所示.由三種的衍射圖像比較可知，圓孔和六邊形孔由低頻到高頻在360°方向都包含信息，而方孔的信息分布在x方向和y方向附近.方孔相對于圓孔和六邊形孔，遠場衍射的信息度降低，影響了快速找到正確解的速度.

雖然這幾種不同形狀的孔控制波前通過多次迭代，都能達到較高的圖像恢復質量，但是如果將這種成像技術應用于實時成像，很明顯，采用圓形孔或者近似于圓形孔的多邊形孔控制波前，效果較好.在可見光實驗中，找一個理想的圓對稱孔不容易做到，可以做成多邊形的孔，這就是為什么很多可見光實驗中，可以采用光闌控制光束.

4 結論

本文利用疊層成像的迭代恢復算法，系統的模擬并分析了照明光束的系列關鍵參數：相對交疊率、光束尺寸以及幾何形狀對成像恢復質量的影響.模擬結果表明：交疊率是影響成像質量的關鍵因素，當相對交疊區域增大到50%及以上時，可以獲得高質量的復振幅，但是隨著交疊率的上升，恢復效率降低;光束尺寸對成像質量以及收斂速度影響均不大;通過模擬三種不同幾何形狀的照明光束，發現利用方孔控制光束收斂速度較慢，不適于實時成像，而圓形和六邊形的照明光束在迭代5次后均可以獲得高質量復振幅分布.因此，在實驗中盡量采用圓孔或者近似圓對稱的多邊形孔控制光束，在盡量增大孔徑的基礎上，優化交疊率和恢復效率這兩個參數，獲得高質量的樣品的復振幅信息.另外，還模擬了不同交疊率下抗噪聲的能力，模擬結果顯示是否加入噪聲對成像質量幾乎無影響，疊層成像算法抗噪聲能力非常強.上述結果無論是對可見光還是X射線以及電子顯微鏡等其他波段的顯微成像均具有一定的指導意義，并表現了疊層成像應用于實時顯微成像領域的潛力.

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