基于EMD和小波閾值濾波降噪的MATLAB仿真

張小清 張文祥 劉建霞 張智勇

（黑龍江科技大學 黑龍江 150027）

0 引言

當今信息時代，快速、高效的數據處理技術在科學研究、工程應用乃至社會生活的方方面面都起著重要的作用。伴隨著計算機技術的興起，頻譜分析被廣泛應用于工程實踐中。最初的傅立葉變換要求信號滿足狄利克雷條件，即對信號進行平穩性假設，而現實中大量存在的是非平穩信號，針對傅立葉變換的不足，提出了短時傅立葉變換，即通過一個時間窗口內的信號進行傅立葉變換，分析非平穩信號[1]。雖然短時傅立葉變換具有時頻分析能力，但它具有固定的時頻分辨率，且難以找到合適的窗函數[2]。

小波分析是基于Fourier變化的全域波分析方法來處理時變非平穩信號，在噪聲濾除方面得到廣泛的應用，小波閾值去噪具有傳統方法不可比擬的優越性[3]。但是小波分解的頻域重疊性和閾值選取的不確定性，以及由于選擇的小波基函數是固定的，使得小波閾值法對非平穩非線性的雜波去噪有時也不能得到理想效果[4]。可見，小波變換并沒有完全擺脫傅立葉變換的束縛，從廣義上說都是對傅立葉變換的基礎修正，在物理本質上具有一定局限性。這使得一種新的方法的出現——經驗模態分解(Empirical Mode Decomposition，簡稱EMD)。

1 EMD算法

1998年，Norden E.Huang等人經過深入分析和認真總結，提出了經驗模態分解方法，引入了Hilbert譜的概念和Hilbert譜分析的方法，它是分析非線性非平穩數據一種獨特分析方法[5]。

1.1 EMD算法內容

HHT主要內容包含兩大部分，第一部分為經驗模態分解(Empirical Mode Decomposition，簡稱EMD)，第二部分為Hilbert變換(Hilbert-Huang Transform，簡稱HT)，其核心是EMD[6]。基于HHT法是一種傅立葉變換及小波變換等更具適應性的時頻局部化分析方法。簡單說給來，HHT處理非平穩信號的基本過程是：首先利用EMD方法將給定的信號分解為若干固有模態函數(intrinsic mode function簡稱IMF)，然后對每一個IMF進行HT，得到相應的Hilbert譜，即將每個IMF表示聯合的時頻域中；最后匯總所有IMF的Hilbert譜就會得到原始信號的Hilbert譜[7]。

1.2 EMD算法原理

EMD方法認為任何信號都是由原始信號的各階固有模式函數（IMF）合成的，因此可以將原始信號中所包含的各階IMF用某種方法分解出來。EMD方法通過對信號從最小的局部特征時間尺度進行篩選，從而獲得局部最短周期的IMF分量[8]，隨后，經過層層篩選，我們可獲得局部周期長度逐漸增多的多個IMF。從信號處理的角度講，EMD分解是一個不斷從高頻濾波到低頻濾波的過程，即體現了多分辨分析的濾波過程。這里，每一個IMF分量都具有明顯的物理意義，每一個IMF都包含了一定范圍的特征尺度，因此我們可以利用這個特征對信號進行濾波，構造一種新的濾波器[9]。與傳統濾波器不同的是，它不是基于頻域的，而是基于局部特征時間尺度參數，它不需要人為去指定中心頻率、帶寬等參數；也不需像小波變換那樣指定小波的類型、分解層數[10]。它的帶寬、中心頻率的設定，和分解層數都完全是來自信號本身，因此我們稱其為時空濾波器，當含噪信號s（x）經EMD分解后，信號可表示為[11]：

此時，低通濾波器可以表示為

高通濾波器則可表示為

同樣的，帶通濾波器可表示為

時空濾波器基于分解分量IMF，因此這種濾波器充分的保留了信號本身的非線性和非平穩性的特征，上式的k為濾波器的截止參數，其取值依據不同的信號的具體情況來確定[12]。利用經驗模態分解方法(EMD)結合時間尺度濾波,可有效地除去信號的噪聲干擾,充分保留信號的局部特征,達到理想的去噪效果,可以提高信號分解的準確性和瞬時參數提取的時效性。

3 基于EMD與小波閾值濾波相結合的方法進行降噪

首先，EMD分解不需要事先選定基函數，而是從本身的尺度特征出發自適應的產生合適的模態函數IMF，這些IMF分量從高頻到低頻逐次分布，能夠很好的反映出信號在任何時間局部的頻率特性；其次，工程上的噪聲一般分布在高頻區[13]，故可以舍棄IMF的高頻分量，對低頻IMF分量進行重構就可以實現簡單的降噪。不過這樣可能會損失高頻IMF分量中的真實信號[14]，所以可以嘗試對高頻IMF分量進行小波閾值降噪處理，分離出高頻IMF分量中的有用信息，然后再同低頻IMF分量一起進行重構，這樣就可以實現有效的降噪。

在這里之所以用小波閾值濾波法對所選擇的IMF分量去噪，是因為信號經EMD分解出的IMF分量是時變的平穩的單分量信號，而小波閾值法很適合于這類信號的濾波，這樣可以很好的保持信號的高頻分量。

2.1 基于EMD和小波閾值濾波的具體實現

基于EMD的小波閾值濾波的具體實現方法如框圖圖1所示：首先，對信號進行EMD分解，得到各個頻率的IMF分量[15]；然后，對分解出的IMF分量進行濾波，一般情況下分別對前1~3個高頻IMF(根據不同的需要和不同的噪聲形式可以選擇不同個數的IMF分量)分量進行小波閾值濾波，最后，將經過小波閾值濾波了的前幾個IMF分量與沒有經過濾波的IMF分量相加即可重構期望信號，重構信號能夠很好的保持高頻分量和低頻分量的性能。

圖1 基于EMD的小波閾值去噪框圖

2.2 仿真結果與分析

下面我們用例子說明EMD分解的多尺度濾波性能。實例中所用的信號為非平穩、非線性信號，如圖2（a）所示。在原始信號中加入高斯白噪聲，得到如圖2（b）所示的加噪信號。經過EMD分解，并對濾波后的IMF進行重構后的信號如圖2（c）所示，雖然與原信號圖2（a）相比，存在著局部失真，但失真很小，不會影響對信號本質的分析。將經過小波濾波后的IMF分量再與剩余的IMF分量和殘余項相加重構得到濾波后的信號如圖3所示。

圖2 基于EMD的小波閾值降噪仿真過程

圖3 降噪后的信號

通過上面的例子可知：利用經驗模態分解方法(EMD)結合時間尺度進行小波閾值濾波,可有效地除去信號的噪聲干擾,充分保留信號的局部特征,達到理想的去噪效果,提高了信號分解的準確性和瞬時參數提取的時效性。

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