內FCtor-群

李佳超, 張志讓, 付 丹

(成都信息工程學院數學學院,四川成都610225)

0 引言

如果群 G的每一共軛類是有限的,那么稱 G是FC-群[1]。FC-群類有下列子類:FA-群(有限群關于阿貝爾群的擴張群),CF-群(中心的指數有限的群),FO-群(任意給定的階(包括∞)的元素的個數是有限的群),FCtor-群(周期的 FC-群)。

假設P是一種群論性質。如果群G的所有真子群都是P-群,但是G本身不是P-群,那么稱 G為內P-群。取P-群為FC-群或者它的子類,就可以得到若干種類型的內P-群,它們已經被群論工作者研究過[1-9]。

文中首先證明所有的FCtor-群是內FC-群(定理1),以便在研究內FCtor-群的過程中可以利用內FC-群的結果。與通常研究內P-群的過程類似,在這類群的研究中很自然地將內FCtor-群分為完備和非完備的這兩種情況。利用非完備的內FC-群的結構定理[7],得到非完備的內FCtor-群的完全結構描述(定理2)。最后討論完備的內FCtor-群,得到下列兩個結果:如果存在有限生成的內FCtor-群 G,那么 G是2元生成的群并且商群G/Z(G)是單群(定理3);假設G為完備的內FCtor-群,那么G是非有限生成的充分必要條件是G為局部有限的p-群(定理4)。

1 內 FCtor-群

本節中將證明內FCtor-群是內FC-群,為此需要引用FCtor-群的一個結果。

引理1[6]群G是FCtor-群當且僅當G的每一個有限子集包含在它的一個有限正規子群中。

定理1 內FCtor-群都是內FC-群。

證明 假設 G是內FCtor-群,那么G的真子群都是FCtor-群,它當然也是FC-群。因為G本身不能是周期的FC-群,因此只要能夠證明 G是周期的那么它一定不是FC-群。用反證法,假設G不是周期的,那么一定存在某一元素 g∈G,使得,因此｜＜g2＞｜=∞。然而＜g2＞是＜g＞的真子群,故 G有一個階為無限的真子群,矛盾于G的每一個真子群是周期的FC-群。所以,G是周期的。定理得證。

2 非完備的內 FCtor-群

記群G的有限剩余群為G*,它為 G的所有指數有限的子群的交。利用非完備的內FC-群的結構描述[7]以及定理1,可以給出下列非完備的內FCtor-群的結構定理。

定理2 假設 G是群,那么G為非完備的內FCtor-群的充分必要條件是G滿足以下條件:

(1)G′=G*;G=＜G*,x＞,其中 xpn∈G*,xp∈Z(G),p是素數,n是正整數;

(2)G*可以表示成有限多個擬循環群Z(q∞)的直積,其中q是某一素數;

(3)在 G*中沒有G-容許的真子群。

由定理2可以得到下列推論,即非完備的內FCtor-群恰好是非完備的內FC-群,因為它們具有相同的結構描述。

推論1[8-9]設G是非完備群,那么下列條件是等價的:

(1)G是內FC-群;

(2)G是內FA-群;

(3)G是內CF-群;

(4)G是內FO-群;

(5)G是內FCtor-群。

推論2 有限生成的內FCtor-群都是完備群。

證明 用反證法。假設有限生成的內FCtor-群 G是非完備的,那么由定理2可知 G的導群G′是有限多個擬循環群Z(q∞)的直積,因此G′不是有限生成的。但是,因為G是有限生成的并且是有限的,那么 G′一定是有限生成的[6]。矛盾。所以G只能是完備群。

3 完備的內 FCtor-群

這節將考慮完備的內FCtor-群。Belyaev在文獻[2]中得到下列關于完備的內FC-群的結果:假設群G是完備的內FC-群,那么 G一定滿足下列條件之一:(1)G是2元生成的群并且商群G/Z(G)是單群,其中Z(G)是G的中心;(2)G/Z(G)是無限的非阿貝爾的施密特群(其中施密特群是沒有無限的真子群的群);(3)G是局部有限群。利用Belyaev的這個結論能夠得到下列內FCtor-群的性質。

引理2 如果存在有限生成的內FCtor-群G,那么G是2元生成的群并且商群G/Z(G)是單群,或者 G/Z(G)是無限的非阿貝爾的施密特群。

證明 首先因為G是有限生成的內FCtor-群,故由定理1和推論2知G是完備的內FC-群。假設 G是局部有限的,那么它就是有限群,不可能是內FCtor-群,矛盾。因此G不是局部有限的。所以,由上述的Belyaev關于完備的內FC-群的結論,引理成立。

命題1 不存在非2元生成的有限生成的內FCtor-群。

證明 假設 G是有限生成的內FCtor-群,那么由引理2,G是2元生成的群并且商群G/Z(G)是單群,或者G/Z(G)是無限的非阿貝爾的施密特群。如果G是非2元生成的群,那么G/Z(G)是無限的非阿貝爾的施密特群。再由文獻[2]可知G/Z(G)是二元生成的,因此可以設G=＜a,b,Z(G)＞。記 H=＜a,b＞,則H是G的真子群,從而 H 為FCtor-群,當然也為FC-群。對任意的元素 g∈G,有 g=hz,其中 h∈H,z∈Z(G),此時容易得到 CG(g)=CG(h)。然而 CG(h)≥Z(G),因此 CG(h)=CG(h)∩(HZ(G))=(CG(h)∩H)Z(G)=CH(h)Z(G)。由于 H是FC-群,故有從而由此可得再由元素g的任意性知G是FC-群,矛盾于G是內FC-群(由定理1)。因此假設不成立,即H=G=＜a,b＞,G是二元生成的,矛盾。所以,不存在非2元生成的有限生成的內FCtor-群。

下列定理是引理2和命題1的直接推論。

定理3 如果存在有限生成的內FCtor-群G,那么G是2元生成的群并且商群G/Z(G)是單群。

最后研究非有限生成的完備的內FCtor-群。

定理4 設G是完備的內FCtor-群,那么G為非有限生成群的充分必要條件是G為局部有限的p-群。

證明 假設群G是非有限生成的,H是G的任意有限生成的子群,那么H是G的真子群,從而H是FCtor-群。由引理1,H是局部有限正規的,從而H是有限的。所以,由H的任意性G是局部有限的。再利用文獻[2]就有G是局部有限的p-群。

反之,如果G是局部有限的p-群,假設G是有限生成的,那么G是有限的。這與 G是內FC-群矛盾。所以G是非有限生成的。

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