淺談古典數學益智玩具的開發與運用*

● 孫桂芳

以七巧板、九連環、魯班鎖、華容道為代表的古典數學益智玩具（本文簡稱數學玩具，下同），作為人類智慧的結晶，在構造與操作中都蘊含著豐富的數學元素，具有重要的數學課程資源教育意義。

一、豐富教材資源

首先，拓展教材資源。如每個版本的數學教材都引入了七巧板的內容，但無不都是局限于歷史背景與圖案設計的簡單介紹，此時教師可以根據教學實際引進四巧板、五巧板、八巧板、十五巧板以及立體七巧板等，作為校本課程供學生了解和體驗。對于七巧板，有一個珍貴的資源應該開發和利用——“一副七巧板能擺出多少個凸多邊形？20世紀30年代由日本數學家提出這個問題，最終由我國浙江大學的王福春、熊全治兩位學者解決，其論文 《關于七巧板的一個定理》（A Theorem on the Tangram）發表于《美國數學月刊》1942年第49期。”[1]

其次，建立“空間與圖形”觀念。數學玩具本身是立體的實物，教師在介紹、講解時必須涉及到“現實世界中的物體、幾何體和平面圖形的形狀、大小、位置關系及其變換”[2]；學生在探索過程中切實體會空間與圖形；學生在相互交流、傳授做法的過程中，必會涉及到空間與圖形的概念與相關聯系。

再次，作為常規課堂的輔助教具，將抽象復雜的數學推理直觀演示。如學習《勾股定理》時，利用七巧板來證明和驗證勾股定理，學生動手實踐驗證勾股定理的證明；七巧板各組塊角度及面積之間的關系，是對勾股定理的應用；神奇四塊、三角變正方、四巧板等滑板類玩具亦有對勾股定理的應用價值。

最后，作為數學應用能力的檢測和提升，增強數學的實踐性、操作性和探索性。如學習“三視圖”時，利用魯班球和魯班鎖的三視圖圖解，在應用過程中檢驗和加強學生對“三視圖”相關知識的學習。

二、滲透數學思想和方法

“目前，在處理中小學數學思想方法上有兩種基本的思路：第一，主要通過純數學知識的學習，逐步使學生掌握數學的思想和方法，特別是一些具體的、技巧性較強的方法，如換元法、因式分解法、公式法等；第二，通過解決實際問題使學生在掌握所要求的數學內容的同時，形成那些對人的素質有促進作用的基本思想方法，如試驗、猜測、模型化、合情推理、系統分析等。這兩類思想方法的取向有所不同，前者傾向于技術方面的，更多的是幫助學生學習解決具體問題的技巧，后者更多的是一般的思考方法，具有更廣的應用性，主要發達國家傾向于第二種方法。”[3]

顯然，第一種思路是把數學思想方法等同于解題術，第二種思路則強調量化思想方法之類的基本思想方法。兩種思路，數學玩具均有涉及。對于前者，如M扣涉及到分類討論思想、整體思想、空間知識；T字謎、神奇四塊涉及到轉化思想；漢諾塔涉及數形結合思想、整體思想和數學建模思想，并與乘方、數列等具體的知識相聯系。對于不同知識水平的學生，探索同一個數學玩具的內在思想會有不同的表現結果，如漢諾塔，初一學生是體驗為主的探索，初二學生課題學習的探索，初三學生數學建模的訓練，高中生數列的研究，大學生在心理學、美學設計方面進行研究以利用。

相比之下，數學玩具對于后者的作用體現的更明顯。探索的過程，即是解決具體問題的過程。比如“立刻瘋”（四色俱全），在探索的過程中要涉及試驗、猜測、模型化、發散性思考、系統分析等；神秘T字謎蘊含著一定的心理因素，要求挑戰者打破思維定勢，通過全面觀察、估計、比較各角的度數、各邊長度才能成功；“華容道游戲的數學教育價值有提出問題、倒推、符號化與數學交流。”[4]

對數學玩具利用的淺層教育價值是研究其解法，深層教育價值是通過對數學玩具的探索，培養解決綜合問題的能力，使學生體會數學的內在教育性、領悟數學中所蘊含的價值，其理性精神、邏輯推理、對事物的客觀判斷等，是超越數學學科而具有的普遍價值，是促進學生人格發展的寶貴資源。

三、引領學習方法

探究數學玩具能夠很好地體會這四個步驟：要攻克一件數學玩具，第一步要“弄清問題”，即理解目標，明確任務；第二步“擬訂計劃”是解決問題的關鍵，從理解目標到構思是一個漫長而曲折的過程，是需要從已知到未知轉化的過程；第三步“實現計劃”是解決問題的核心，是根據第二步的計劃實際操作、嘗試，涉及到以前學到的知識，運用良好的思維習慣，需要耐心地逐個進行所有細節，達到每一點都非常清晰，才能保證成功；第四步“回顧”是解決問題的魅力所在，通過回顧完整的解決過程，重新思考導致結果的途徑，在經過充分的研究和洞察以后，將這些解題方法加以改進，達到舉一反三、融會貫通。

學生應如何正確看待數學考試與競賽？如何在考試與競賽中獲勝？借助數學玩具，在學生中開展競賽活動，可以引導學生感受影響考試與競賽的重要因素：速度、方法與技能，形成對數學的解題與數學考試的正確認識，從側面認識學習數學的方法。

四、更新數學觀

改進學生的數學學習方法，提高他們的數學應用能力，首要的問題是更新學生的數學觀，使學生具有合理的數學觀。

“曹瞞兵敗走華容，正與關公狹路逢。只為當初恩義重，放開金鎖走蛟龍。”這首詩是《三國演義》里作者對赤壁之戰關羽放走曹操的感慨。一直以來，人們認為華容道這一數學玩具就取意于這段故事。但據吳鶴齡考察，“把華容道看作是從西方傳入以后本地化的產物，倒是比較合乎事實和邏輯的。”[5]華容道曾引起過許多人的興趣，有學者研究其與《三國演義》中的故事、人物聯系及刻畫歷史人物內心，而更多的是研究如何用最少的步數把曹操“救出”。我國許莼舫總結了8條相關的規律，并用了100步將曹操走出。因為“死守規律”，以16步之差落后于“萊曼解法”的84步，而創造世界記錄的“81步解法”是美國數學家馬丁·加德納。[6]通過華容道引導學生感悟：數學是人類的一門科學，集世界文化于一體，是在探索與發現的過程中不斷發展變化與完善的，是包含著錯誤與改正的一門學科。

漢諾塔取自于古印度的“世界末日傳說”，又名梵塔、羅漢塔、河內塔。漢諾塔問題是由法國數學家Edouard Lucas于1883年提出。人們熱衷于挑戰它的最少移動次數的方法，漢諾塔問題在數學、計算機數據結構、算法設計與分析的教材中幾乎都無一例外地被引入，它的解決要使用數學歸納、遞歸函數和迭代等方法。不僅如此，漢諾塔問題還是心理學實驗研究常用的任務之一。實際上，漢諾塔問題適合各種不同知識層次的人去研究，初中生比較適合研究“264有多大”。[7]通過漢諾塔引導學生感悟：數學與客觀世界有密切的聯系，數學有著廣泛的應用，數學是一門通過對數與形的研究揭示客觀世界的秩序、和諧與統一的學科。

學生對任何一種數學玩具的成功探索，無不經歷猜想、嘗試、驗證、歸納等過程，可以說數學還是一種探索性活動，并伴隨著錯誤、嘗試與改進的過程。因此，通過數學玩具使學生明確，數學學習的過程不應當只是接受、記誦既定知識的過程，更應當是學習者自主參與探索活動的創造、生成性的過程。

[1][5]吳鶴齡.七巧板、九連環和華容道—中國古典智利游戲三絕[M].北京：科學出版社，2004.

[2]中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）[M].北京：北京大學出版社，2001.

[3]劉兼、孫曉天.數學課程標準解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2002.

[4]張新春.智力游戲“華容道”及其數學教育價值[J].湖南教育，2008，（10）.

[6]我國古代的智力玩具[EB/OL].http：//hi.baidu.com/lwp333/blog／item/e13d4e546628d65c564e0025.html

[7]劉永坤.你還在練 QQ 等級嗎[J].中學生數學，2008，（6）.