談數學中的思維方式轉換

丁善戎

（淮陰衛生高等職業技術學校，江蘇 淮安223300）

根據發展心理學的研究成果，人的思維發展呈現一定的階段性，一般可以分為四個階段，即感知運動階段（0-2歲）、前運演階段（2-7歲）、具體運演階段（7-11歲）、形式運演階段（11-15歲）。人的思維發展必須逐個經過上述四個發展階段，雖然發展速度上有個性差異，卻不能超越任何一個階段，這些階段不是沒有聯系的，也不是靜止的，而是連續發展的、互相重疊的階段。例如，進入形式運演階段后，形式運演思維者并不總是以形式運演思維進行活動，而是經常地借助于低水平的思維。面對新的理論知識，他們常常重新回到具體運演思維，甚至是前運演思維上去。他們在進入到抽象思維水平之前，總是要先獲得新知識領域的具體經驗。而就思維方式而言，低水平的思維階段多運用形象思維，進入形式運演階段后，抽象思維能力逐步增強，思維發展階段可以互相重疊，思維方式也可以互相轉換。所謂思維方式的相互轉換，主要是指形象思維與抽象思維在一個具體的思維過程中的轉換。在數學學習和教學中，通過思維方式的巧妙轉換，可以幫助學生透徹理解概念，拓寬解題思路。

1 借助形象思維，理解抽象的概念

在數學學習和教學中，可通過導入形象思維，幫助學生透徹理解概念，從而強化抽象思維的能力。例如，數列極限的概念是一個用純數學語言描述的定義，對于一個沒有高等數學知識的人來說，簡直無法理解，這時，他們對極限的理解，頂多是“越來越近，永遠也不能達到”，這與數學里的極限含意是有很大區別的。為了幫助學生建立初步的極限概念，可從劉徽的割圓術談起。即，要求一個圓的面積（假設還不知道S=∏R2這一個公式），我們可先在圓內作正多邊形（這時要作圖，導入形象思維），從圖形上可看出，隨著圓內接正多邊形的邊數越多，它與圓就越接近。于是，可考慮用正多邊形的面積來近似代替圓的面積，邊數越多，近似程度就越精確。也就是說：要想計算出圓的面積，只要讓邊數越來越大就行了，那么，邊數要大到什么程度，是l千、1萬還是l千萬或者更大?顯然，邊數不管有多大，所指的都是正多邊形而不是圓。為了解決這一“曲”與“直”的矛盾（即圓是封閉曲線，而正多邊形是由直線段構成），我們可以想象出：當邊數無限增大時，正多邊形的發展趨勢就是圓。從而實現了由直到曲的轉化，這種轉化是在無限的變化過程中實現的，是沒有終止的。這時，我們可以得到這樣的結論：極限是一種發展趨勢。這一趨勢是在無限的變化之中體現出來的。有了以上形象思維的初步認識，就不難抽象出數列極限的概念，從而實現了從形象思維到抽象思維方式的轉換。

2 轉換思維方式，拓寬解題思路

在解決數學問題時，通過轉換思維方式，突破常規，對問題重新進行適宜的心理表征，從而獲得新穎獨特的思維方式，拓寬解題思路。例如：lim sinx/x=l的證明：先建立形象思維，對問題在幾何圖形中，重新進行表征，然后再回到原式形式，即抽象思維方式，根據判定函數極限存在的定理，問題得到解決[1]。

另外，數學思想方法中的數形結合的思想，也蘊含著思維方式的轉換。而數行結合的解題方法，也是數學中重要的一種解題方法。

3 思維方式轉換能力的培養

為了培養學生的思維方式轉換能力，教師應精心選擇教學內容，選擇那些學生過去從未接觸過的理論知識，而且從其字面上理解難度很大，理論本身比較深奧，學生難把握且容易造成誤解。于是，借助于形象材料，來幫助學生理解這些理論知識。作為形象思維的材料要具有較強的直觀性，要與需講解的理論知識在內涵和外延完全吻合，且不會給學生造成誤解。這樣，教師在講解時，通過簡潔的形象材料（模型或示意圖等）和形象性的語言符號，把學生的想象力調動起來，這時學生通過頭腦已形成的清晰、生動的畫面，自己獨立思考，“悟”出畫面所闡解的理論知識的奧秘，這樣，在弄懂了理論知識的同時，也提高了學生的思維方式轉換的能力。培養思維方式轉換能力還應注意思維方式轉換的雙向性，即在一個思維過程中，從抽象思維轉換為形象思維，再從形象思維轉換成抽象思維，循環往復，不斷變換，也就是所謂的雙向轉換，這樣構成了思維方式轉換的完整過程。在數學教學中，也應注意思維方式的雙向轉換，在講解抽象的概念、定義、公式時，先給出具體的圖形或畫面，再引導學生從其提示的內涵歸納出理論知識，從而完成了一個從理論到實際再到理論；即從抽象思維到形象思維再到抽象思維的思維方式的雙向轉換過程 （即思維方式轉換的雙向回路過程）。在此基礎上，再采取循環回路的思維方式，根據理論界定的某知識點的內涵和外延，參照相關的圖形或畫面，再舉出適當的實例，作出抽象的理論解釋，這樣又把思維由抽象再次引向形象。如此循環往復，從而激活了學生的思維，增強了理論聯系實際的能力，提高了思維方式轉換的能力。這種循環往復的思維方式的轉換還可以調動學生的原有知識存貯，開動腦筋，獨立思考，用學到的理論解釋實際問題，從而促進思維的發展。這也是素質教育落在實處的體現[2]。

綜上所述，在數學學習和教學中，巧妙運用思維方式的轉換是一項有益的嘗試。

［1］趙偉.談轉化思想在高考題中的應用[J].數學教學通訊：教師版，2012(11).

［2］蔣紅梅.數學教學中思維能力的培養[J].數學教育研究，2011(3).