力學在機械工程中的延伸應用

司 建 崔立達

1中航工業(yè)河南新飛專用汽車有限公司（453000） 2新鄉(xiāng)市高服篩分機械有限公司（453000）

機械工程設計應用中，我們會遇到各種各樣的問題，如機械產品的系列化設計，在大小不同的型號設計中，我們如何把成熟產品的經驗成功轉移到其他系列產品中。顯然，若機械地采用幾何相似形狀比例放大是不科學的,因為構件尺寸的改變，外部受力環(huán)境的變化，其構件的力學強度、剛度、形變、體積、振動頻率等均發(fā)生了非比例的變化。再如在大型機械設備設計中，我們可以利用小型驗證機形式來檢驗大型設備的合理性和可行性，那么小型驗證機如何可靠地模擬出大型設備的機械特征，使實驗真實的反映出可靠數據，實踐證明力學模型是一個較為簡便實用的方法，下面就此展開討論。

1 固態(tài)線彈性體的相似模擬

首先我們把各式各樣的承載件抽象稱為滿足虎克定律的固態(tài)物質構成的連續(xù)彈性體,可以假定，當作用于這一物體任一點外力為零時，其任一點的內應力也為零。

設這一受密度等于P1（X,Y,Z）的面積力和密度等于P2(X,Y,Z)的體積力，物體上一點由P1產生的應力、應變、變形分別為 б1、ε1、Y1，由 P2產生的應力、應變、變形分別是 б2、ε2、Y2。

取任一曲面S將物體分離并研究分離體必有下式成立:

б是分離面上的應力，S是分離面面積，F是分離體外表面（不含S），V是分離體所處的空間。

1）如果面積力密度=P1×A,體積力密度=P2×B,則由線性系統的可迭加性知,應力=б1×A+б2×B,應變=ε1×A+ε2×B,變形=Y1×A+Y2×B。

2）當P2=0，面積力密度=P1，物體尺度變?yōu)镃倍（即物體內任意兩點的距離L均變?yōu)锽L）時，相當于式1中每一面積均變?yōu)镃2倍，即下式成立:

從而應力=б1，應變=ε1，因為變形=原始尺寸×應變，故變形=Y1×C。

3）當P1=0，體積力密度=P2，尺度變?yōu)镃倍時有:

從而 б′=б2×C,即應變=ε2×C,變形=Y2×C″。

4）綜上所述，當面積力密度=P1×A，體積力密度=P2×B, 尺度變?yōu)?C 倍時， 應力=б1×A+б2×B×C,應變=ε1×A+ε2×B×C,變形=（Y1×A+Y2×B×C）×C。

假設存在各種不同的應用環(huán)境，把不同的參數帶入公式，可得出表1中一些有用的推論。

2 固態(tài)線彈性體自由振動的相似模擬

設線彈性體作簡諧、穩(wěn)態(tài)、同步的自由振動,即每點 i的位移均可表示為 Yi=ΣCij×COS(ω0j×t)，ω0j是第j階固有圓頻率(簡稱頻率),我們僅考察其某一階的固有振動。

彈性體內任一無窮小的分離體都在作相同頻率、相同相位的振動。設它的外表面是曲面S,它包圍的空間為V,在ω0j×t=Kπ時,分離體各點的位移即變形達最大值，振幅、加速度也達最大值，而速度=0。研究這一時刻的狀態(tài)，使動力學問題形式上變成了僅受體積力和慣性力的靜力學問題。

表1 固態(tài)線彈性體的相似模擬

設密度不變,物體尺度變?yōu)镃倍,求固有頻率ω0j`，設體積力密度不變,即最大振動加速度不變(這一假設并無必要,因為線性系統作自由振動時的振幅與頻率無關，這里僅是為了敘述方便)，由表第6項計算結果得應力變?yōu)镃倍,變形變?yōu)镃2倍有下式成立:

結論:線彈性體的固有頻率與尺度成反比，或者說,線彈性體的固有振動周期與尺度成正比。

3 固態(tài)線彈性體強迫振動的相似模擬

現將振動器及振動體的尺度變?yōu)镃倍,而將振動器的工作頻率變?yōu)?/C倍，由于振動體的固有頻率也變?yōu)?/C倍，故工作頻率與固有頻率之比W不變。

振動器的偏心塊質量變?yōu)镃3倍，偏心塊的偏心矩變?yōu)镃倍,從而振動器的偏心質量矩變?yōu)镃4倍,振動力=質量矩×工作頻率平方,故振動力變?yōu)镃2倍。

振動器與振動體間的作用力及振動體各構件間的作用力視為面積力，因作用面積也變?yōu)镃2倍，故面積力密度不變。但因為振動體的質量變?yōu)镃3倍,而振動力變?yōu)镃2倍，故慣性力密度變?yōu)?/C倍。根據表中計算結果9知應力不變，我們可以計算振動強度的變化，并以振動輸送機械為例加以說明，振動強度=振動加速度/重力加速度。由于振動加速度變?yōu)?/C倍，故振動強度變?yōu)?/C倍，因此,上述方法雖然可以準確地模擬剛度和強度但不能模擬振動強度K。但對振動輸送來說,模擬為相同的振動強度K是重要的，因為平均輸送速度=A×φ(K)×g/ω，式中A是與槽體角度、振動方向有關的數,g為重力加速度,ω為工作頻率，要使振動強度不變,需要振動力變?yōu)镃3倍。這時可以采取如下方法:令工作頻率=ω/C0.5,振動力變?yōu)镃3倍,從而振動強度K不變，模型機的物料輸送速度=真實機的物料輸送速度×C0.5，由此可以計算真實機的產量。

上述計算對于減振彈簧同樣適用，不過重力的影響用這一方法不能模擬，但因在振動機械中重力影響較小，所以,上述結論適用于重力可以忽略的場合。一般說來,我們是用小機器模擬大機器,即C＜1狀況，若材料不變,可以精確模擬剛度，若模擬強度,還須考慮尺寸系數的影響。

4 以上論述的實際用途

1）靜力模擬的應用

如果一機器或結構的構件自身重量和慣性力很小,甚至可以忽略,并且不存在導熱等問題,那么就可以用此種方法設計。比如壓力容器、起重工具、低速傳動件、連接件等，也可以對滿足上述條件的局部按上述方法設計,對其余部分另作考慮。

2）振動機械方面的應用

振動是很復雜的問題，有些問題沒有好的算法,計算機模擬也有不足之處。另外，振動機械往往體積很大，實驗風險和投入的成本都很高。有些機器長達數十米，重達數十噸，故做小模型機試驗很合算。如果做1:10的模型,僅需1/1 000的材料消耗，實驗時電能消耗也較少。如果模型存在問題,修改或重做都簡單，另外,小機器也易控制操作，破壞性試驗的成本也小。