采購拍賣中保留價的策略性披露

黃 毅，胡二琴

（湖北工業大學理學院，湖北 武漢430068）

保留價也被稱為底價.在正向拍賣中，保留價是最低限價，若所有投標人的報價低于保留價，拍賣將無法順利成交；在采購拍賣（即逆向拍賣）中，保留價是最高限價，若所有投標人的報價高于保留價，拍賣也無法順利成交.20世紀80年代以來，許多學者（如 Milgrom、Maskin、Reliy、Simuleson等）對拍賣中保留價的問題進行了研究，涌現了大量的經典文獻［1－7］，但這些文獻大都是研究各種拍賣中最優保留價的設定.1993年，Carey從策略性披露的角度探討了采購拍賣中保留價的公開與隱藏對采購成本的影響［8］.公開保留價是指拍賣人在投標人報價前就把保留價公布出來；而隱藏保留價是指拍賣人在投標人報價后再宣布保留價格.保留價的公開與否直接影響著投標人的信息，從而影響著投標人的報價策略以及拍賣人的收益.Carey指出：在第一價格密封拍賣中，隱藏保留價總能降低采購成本.在公開保留價時，成本高于保留價的供應商不會參加報價，因此實際參與報價的供應商人數是隨機的而不是確定的，Carey用參與報價的供應商的平均人數代替實際人數進行分析.文獻［9］指出，這種將實際參與報價供應商人數確定化的方法是不必要的，并討論了保留價公開時的報價策略，指出Carey文中的部分錯誤，但是文中給出的報價函數有誤.同時，文獻［8］與文獻［9］都只是從數值模擬的結果來比較公開保留價與隱藏保留價時的采購成本，而未能給出嚴格的數學證明.

本文在文獻［8－9］的基礎上，進一步研究了采購拍賣中采購商的保留價披露策略，推導了保留價公開與隱藏時供應商的報價策略以及采購商的期望采購成本，并給出了兩種情況下采購成本比較的數學證明，并指出文獻［8－9］都過分估計了隱藏保留價的作用，若采購商設定的保留價很小，隱藏保留價必然會導致采購失敗，主張公開保留價.同時，文獻［8－9］都只考慮了第一價格密封拍賣的情形，而本文不僅考慮了采購商的保留價披露策略，同時也研究了拍賣方式的選擇.

1 模型

采購商打算用拍賣的方式來采購一個不可分物品，有n個供應商參與報價.每個供應商的成本是他的私人信息，其他供應商只知道他的成本服從區間［a，b］上的某一分布，分布函數為F（x），分布密度為f（x）.假設供應商的成本相互獨立，且供應商是風險中立的.由于資金約束等原因，采購商設立最高限價即保留價r.因為最高成本的供應商的報價最高且為b，故r＞b時保留價沒有意義.若r＜a，所有的供應商都不會參與報價，故可設r∈ ［a，b］.若報價中的最低報價小于保留價，則報價最低者勝出；否則交易失敗，供應商收益為0.供應商希望最大化其收益，而采購商希望最小化其采購成本.現在，采購商面臨雙重選擇：為了減小采購成本，到底該選用第一價格密封拍賣還是第二價格密封拍賣，到底該公開保留價還是隱藏保留價.

2 第一價格密封拍賣的保留價分析

在第一價格拍賣中，若最低報價小于保留價，則報價最低者贏得拍賣，并按照報價獲得支付.下面在拍賣前公開與隱藏保留價兩種情況下，討論供應商的報價策略以及采購商的期望采購成本.

2.1 隱藏保留價

當隱藏保留價時，供應商知道采購商設定了一保留價，但并不知道保留價的確切值.因此所有供應商都會參與競價而不用去考慮保留價，并依照自己的成本來報價βi（c）.顯然成本越高報價越高，所以假設βi（c）是可微的單調增函數.由于供應商對稱，故假設所有供應商采用同一個報價函數βi（c）＝β（c）.

為了確定β（c），假定其他供應商都按此對稱均衡報價，而供應商i的成本為c，選擇報價p＝β（x），其期望收益

在對稱均衡中，當x＝c時，供應商的期望收益最大.故

所以報價函數β（c）滿足微分方程

而具有最高成本的供應商的報價必為b，即β（b）＝b.在約束條件（2）下，解微分方程（1）得，報價函數

由于報價函數為成本的單調遞增函數，所以成本最低的供應商報價最低.記c1為n個供應商中的最 低 成 本，其 密 度 為 n ［1－F（c）］n－1f（c），c ∈［a，b］.由于采購商設定了隱藏的保留價r，所以只有當最低報價r，即c1＜β－1（r）時，交易才會成功，采購商支付β（c1）.

因此采購商的期望支付

特別的，當成本c服從［a，b］上的均勻分布時，由式（1）可得，供應商報價函數

由上式可得，當采購商隱藏保留價時，所有供應商的報價都會高于，因此當保留價滿足a≤r時，所有供應商報價都高于保留價，交易不會成功，采購商的期望支付為EFC＝0.

2.2 公開保留價

當采購商在拍賣前公開保留價r時，那么成本高于保留價r的供應商將不會報價.此時實際參與報價的供應商人數是一個隨機數ξ，且ξ服從參數為二項分布B（n，F（r））.文獻［8］用Eξ代替實際參與報價供應商人數，從而計算供應商勝出的概率.這個其實是不需要的.所有成本不高于r的供應商都會參與報價，并且報價時處在對稱位置，因此可假定他們都按照對稱均衡γ（c）報價.為了確定γ（c），假定其他參與報價的供應商都按此策略報價，而供應商i的成本為c＜r，但卻報價γ（x），由全概率公式可得，其獲勝的概率為

其期望剩余為π＝ （γ（x）－c）［1－F（x）］n－1.

在對稱均衡中，當x＝c時，期望剩余達到最大.

成本為r的供應商報價必為r，γ（r）＝r.

由此解微分方程 （4），得公開保留價時供應商報價函數

所以若公開保留價，當供應商選擇報價時，報價都超出成本，超出部分為小于隱藏保留價時報價超出成本部分所以公開保留價時，供應商報價更低.

由于γ（c）為成本的增函數，所以成本越小報價越低.記c1為n個供應商中的最低成本，其密度為n［1－F（c）］n－1f（c），c∈ ［a，b］，其 密 度 函 數 為 n［1－F（c）］n－1f（c）.當c1＞r時，無人參與報價，采購商支付為0；當c1≤r時，成本最低的供應商通過報價γ（c1）贏得拍賣，采購商支付γ（c1）.所以采購商的期望支付

特別的，當成本c服從［a，b］上的均勻分布時，由式（5）可得，供應商報價函數

由式（6）可得，采購商期望支付

定理：當供應商的成本服從［a，b］上的均勻分布時，若采購商設定的保留價時，采購商應公開保留價；當時，隱藏保留價時采購商的期望采購成本更小，即EFC＜EFP.

因此，當采購商設定的保留價比較小時，應公開保留價以確保交易成功，而當保留價較大時，應隱藏保留價以降低采購成本.這個策略的直觀解釋是：當經濟實力較差的時候，應該告訴賣方，己方可以接受的最高價格，而當有足夠的經濟實力時，應該隱藏這個信息，避免賣方乘機要價過高，從而減少采購成本.

3 第二價格密封拍賣的保留價分析

在第二價格拍賣中，由于勝者獲得的支付不取決于自己的報價而是取決于次低報價，所以每個供應商都會盡可能報低價以增加其獲勝概率，同時為了保證其收益非負，報價又必須不小于其成本.因此在第二價格密封拍賣中，不論保留價是公開還是隱藏，供應商報出成本價是一個弱占優策略.若次低價低于保留價，則按次低價獲得支付.若次低價高于保留價，則按保留價獲得支付.

設c2為供應商成本中的次低成本，c1為供應商成本中的最低成本，則c1，c2的聯合分布為

令Y表示采購商的支付，則

此時采購商的期望支付

特別的，當成本c服從［a，b］上的均勻分布時，由式（8）得，采購商期望支付

因此當保留價比較大時，采用隱藏保留價的第一價格密封拍賣的方式可降低采購商的采購成本.綜上所述，對采購商而言，采用第一價格密封拍賣總是優于第二價格密封拍賣的.這也是實際采購拍賣中一般都采用第一價格拍賣的原因.

4 結束語

科學、合理、公平地制定拍賣和采購拍賣保留價是拍賣和采購活動中的重要環節，保留價方式的選取及定價策略是否恰當，直接關系到拍賣和采購能否順利進行以及最終效率問題.本文研究了采購拍賣中采購商公開保留價與隱藏保留價時，供應商的報價策略與采購商的采購成本.結論表明：若供應商成本服從均勻分布時，當設定的保留價比較小，采購商采用公開保留價的第一密封價格拍賣或者第二價格拍賣的期望采購成本相等；當設定的保留價比較大時，應該采用隱藏保留價的第一密封價格拍賣.這個結果能為采購拍賣中供應商報價以及采購商采用合適的拍賣方式以及保留價策略提供一定的依據與參考價值.本文只考慮了成本是對稱的，是均勻分布的情形，在供應商是非對稱的情形和一般成本分布情形下保留價到底該公開還是保留，仍是值得后續研究的一個問題.

［1］Richard E W.On optimal reservation prices in auctions［J］.Management Science，1987，33（6）：763－770.

［2］Myerson R B.Optimal auction design［J］.Mathematics of Operation Research，1981，6：58－73.

［3］John G Riley，William F Samuelson.Optimal auction［J］.The American Economic Review，1981，71：381－392.

［4］Vincent D.Bidding off the wall：why reserve prices may be kept secret［J］.Journal of Economic Theory，1995，65：575－584.

［5］Vickrey William.Counter speculation，auctions，and competitive sealed tenders［J］.The Journal of finance，1961：9－37.

［6］Milgrom P R，Werber R J.A theory of auctions and competitive bidding［J］.Econometrica，1982，50：1 089－1 122.

［7］Eric S.Maskin，John G.Riley.Auction theory with private values［J］.The American Economic Review，1985，75（2）：150－155.

［8］Kathleen Carey.Reservation Price Announcement in Sealed Bid Auctions［J］.The Journal of Industrial Economics，1993，41（4）：421－429.

［9］Giovanni W P.Optimal bidding with announcement of the reservation price［J］.Rivista Di Politica Economica 2003，93（6）：117－130.

［10］杜 黎，胡奇英.網上分批拍賣中的保留價比較分析［J］.系統科學與數學，2002，7：343－354.

［11］維佳·克里斯納.拍賣理論［M］.羅德明譯.中國人民大學出版社，2010.

［12］徐雅卿，魏軼華，胡奇英.逆向拍賣保留價建模及數值分析［J］.西安電子科技大學學報（自然科學版），2007，34（3）：468－471.

［13］敬輝蓉，李傳昭，陳尉綱.第一密封價格逆向拍賣機制博弈研究［J］.數學的實踐與認識，2009，39（6）：38－44.