3PRS－f并聯(lián)機(jī)器人工作空間的建模與仿真

熊志勇，胡亞波

（1寧波敏實(shí)汽車零部件技術(shù)研發(fā)公司，浙江 寧波315800；2湖北交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢430079）

機(jī)器人工作空間又稱為可達(dá)工作空間或總工作空間，是指機(jī)器人輸出機(jī)構(gòu)參考點(diǎn)在空間所能達(dá)到的區(qū)域，目前有關(guān)串聯(lián)機(jī)器人工作空間的研究已經(jīng)相當(dāng)成熟，但對(duì)于并聯(lián)機(jī)器人，由于其本身結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，工作空間的求解難度較大［1］.并聯(lián)機(jī)器人的工作空間都是三維空間區(qū)域，其邊界都是空間曲面.對(duì)于空間區(qū)域的描述，可以認(rèn)為是經(jīng)由許多平行的平面截取而得到一組二維曲線的組合；對(duì)于空間曲面，可以用一些離散的點(diǎn)來(lái)描述［1－2］.并聯(lián)機(jī)器人工作空間的求解大多都采用數(shù)值解法，本文基于一種3PRS－f并聯(lián)機(jī)器人，擬定一種空間搜索方式，利用位置反解來(lái)對(duì)工作空間進(jìn)行描述，并進(jìn)行仿真.

1 3PRS－f機(jī)器人結(jié)構(gòu)

3PRS－f機(jī)器人（圖1）由三角動(dòng)平臺(tái)a1a2a3及其拓展點(diǎn)P、3個(gè)支撐桿Li以及由步進(jìn)電機(jī)與絲桿螺母副組成的三個(gè)移動(dòng)裝置（移動(dòng)副P(pán)）組成.點(diǎn)P為機(jī)器人的末端執(zhí)行器，它到三角動(dòng)平臺(tái)的垂直距離為f，隨著動(dòng)平臺(tái)一起運(yùn)動(dòng).三角動(dòng)平臺(tái)的端點(diǎn)分別用3個(gè)球鉸與3個(gè)等長(zhǎng)的支撐桿連接（球副S）.3個(gè)支撐桿的另一端分別通過(guò)銷軸和螺母相連（轉(zhuǎn)動(dòng)副R），其中銷軸的方向分別垂直于對(duì)應(yīng)的支撐桿.機(jī)器人的底座上垂直安裝有3個(gè)立柱，3個(gè)移動(dòng)裝置分別固定在這3個(gè)立柱上，其絲桿的軸線方向垂直于底板.立柱上3個(gè)滑塊位移的起點(diǎn)構(gòu)成了三角靜平臺(tái).O－XYZ為靜坐標(biāo)系；c－xyz為動(dòng)坐標(biāo)系，固定在動(dòng)平臺(tái)上.

機(jī)器人中的f參數(shù)，在實(shí)際應(yīng)用中是很有意義的.對(duì)于并聯(lián)加工機(jī)床而言，P為刀具加工點(diǎn)，f即為加工點(diǎn)到動(dòng)平臺(tái)的距離；對(duì)于醫(yī)療機(jī)器人而言，P可能為激光治療點(diǎn)或是超聲聚焦點(diǎn)，f即為能量聚焦點(diǎn)到到動(dòng)平臺(tái)的距離.

圖1 3PRS－f并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

2 影響工作空間的要素

3PRS－f機(jī)器人中，對(duì)工作空間影響比較大的要素表現(xiàn)為滑塊的位移范圍、定長(zhǎng)桿的長(zhǎng)度、球鉸的轉(zhuǎn)角和桿間干涉等.而且只有通過(guò)求出這些約束條件，才能和機(jī)構(gòu)的位置反解一起求出工作空間.

2.1 滑塊位移的限制

根據(jù)滑塊在軌道上的行程，其位移S必須滿足

這里的Smin與Smax表示滑塊位移的最小值和最大值，本機(jī)構(gòu)中的Smin取0，Smax為275mm.

2.2 定長(zhǎng)桿的長(zhǎng)度約束

本機(jī)構(gòu)中的三個(gè)桿均為定長(zhǎng)桿，當(dāng)桿長(zhǎng)選定后，則工作空間的大小也就決定了，只能是桿的運(yùn)動(dòng)能夠達(dá)到的范圍.本機(jī)構(gòu)中的定長(zhǎng)桿桿長(zhǎng)Li＝L＝290mm （i＝1，2，3）.

2.3 球鉸轉(zhuǎn)角的約束

球鉸連接著動(dòng)平臺(tái)和定長(zhǎng)桿，其轉(zhuǎn)角φ對(duì)工作空間的影響非常大.本機(jī)器人中，球鉸豎著安裝在動(dòng)平臺(tái)下端，轉(zhuǎn)角φ＝50°.圖2是機(jī)構(gòu)處于初始狀態(tài)時(shí)的狀況.

根據(jù)本機(jī)構(gòu)的幾何尺寸，可得出初始狀況是定長(zhǎng)桿與動(dòng)平臺(tái)的反向法矢的夾角φ0＝10.77°；另外定長(zhǎng)桿與靜平臺(tái)的夾角θ0＝79.23°，定長(zhǎng)桿與立柱（即絲杠）的夾角γ0＝10.77°.設(shè)定長(zhǎng)桿與動(dòng)平臺(tái)的反向法矢的夾角（即向量li和τ的夾角）為φi（i＝1，2，3），則

這里φi的約束條件是0≤φi≤φmax.其中，φmax＝的自由度為3，故已知?jiǎng)悠脚_(tái)的位姿中相關(guān)的3個(gè)參數(shù)，即可求出輸入端參數(shù)和一些過(guò)程參數(shù).由于本文的研究重點(diǎn)在于工作空間，故這里不再贅述.

本文對(duì)工作空間的搜索方式如圖3所示，其中P與c分別是超聲聚焦點(diǎn)和動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)，動(dòng)平臺(tái)的法矢τ（也就是cP方向的方向向量）與Z軸的夾角為α，P3D與X軸的交角為β.于是有

圖3 工作空間求解方法

圖2 球鉸的約束

給定參數(shù)Zc、α、β3個(gè)參數(shù)的值，來(lái)求解末端執(zhí)行點(diǎn)P的位置，該位置的集合即為3PRS－f的工作空間.搜索方式從外到內(nèi)分3層來(lái)理解，先給定一個(gè)動(dòng)平臺(tái)中心c的縱坐標(biāo)步距ΔZc，使Zc從Zc，min到Zc，max變化（Zc，min和Zc，max，的值可由3PRS運(yùn)動(dòng)反解方程求出）每增加一個(gè)步距，并依次用Z＝Zc（ΔZc）的水平面切割空間一次；在某一水平面內(nèi)，β值都將以步距Δβ來(lái)一個(gè)從0到360°的掃描，如圖4所示（工作空間的各截面的俯視圖），并依次使每一個(gè)豎直平面Y＝（tanβ）X切割空間一次；某一豎直平面內(nèi)，給定α一個(gè)步距Δα，讓?duì)翉?到αmax掃描，同時(shí)考查上文的約束條件，從而可以上文的方程得出P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.

2.4 桿間干涉

在3PRS－f并聯(lián)機(jī)器人中，由于轉(zhuǎn)動(dòng)副分布的限制，不會(huì)出現(xiàn)桿間干涉的情況.

3 工作空間的建模

機(jī)器人工作空間的求取，實(shí)際上就是按照一定方式在空間掃描，求取末端執(zhí)行器所能到達(dá)的的集合.本文將3PRS－f機(jī)器人的工作空間進(jìn)行分層次地搜索，并基于機(jī)器人的反解方法以及約束條件，求取末端執(zhí)行器所能達(dá)到的一些離散點(diǎn)，這些點(diǎn)的集合就是所求的工作空間.文獻(xiàn)［3－5］研究了3PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)反解方程的求法，即根據(jù)PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)

圖4 在步長(zhǎng)Δβ下工作空間的切割圖

3PRS－f機(jī)器人的工作空間具體的算法框圖如圖5所示.

圖5 工作空間求解算法流程圖

4 工作空間的仿真

根據(jù)上文的算法模型，利用Matlab軟件求出工作空間所有離散的點(diǎn)，這些點(diǎn)的集合就是3PRS并聯(lián)平臺(tái)機(jī)構(gòu)工作空間.下面給出一組求工作空間的參數(shù)：

還給出3PRS－f并聯(lián)機(jī)器人的其他參數(shù)：上下平臺(tái)的尺寸r＝106mm，R＝162mm（圖1）；f＝270 mm.

為了便于直觀且使計(jì)算機(jī)更加快捷地計(jì)算，在不影響其結(jié)果的情況下，只計(jì)算出邊框點(diǎn).圖6～圖9列出了機(jī)器人末端執(zhí)行器P點(diǎn)的三維工作空間圖及其在XOY／XOZ／YOZ中的截面圖（用小圓圈表示離散點(diǎn)）.

5 結(jié)束語(yǔ)

本文以3PRS－f并聯(lián)機(jī)器人為研究對(duì)象，從滑塊位移、定長(zhǎng)桿長(zhǎng)度、球鉸轉(zhuǎn)角、桿間干涉等方面分析了影響其工作空間的約束條件.本文得出了末端執(zhí)行點(diǎn)P與動(dòng)平臺(tái)中心c的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上利用3PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解方程，提出了一種空間點(diǎn)的搜索方式，建立了工作空間的求取模型.最后用Matlab軟件的仿真功能，對(duì)工作空間進(jìn)行了仿真，生成了一些工作空間的相關(guān)圖形，使工作空間更直觀.

［1］黃 真，孔令富，方躍法.并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)學(xué)理論及控制［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，1997.

［2］李 方，南仁東.一種分析并聯(lián)機(jī)器人工作空間的解析幾何法［J］.機(jī)械制造，2003（3）：12－14.

［3］莫 賢，陳文家，陳淑艷.一種3－PRS并聯(lián)機(jī)器人的姿態(tài)空間分析［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2009，12（3）：60－64.

［4］劉宏偉，馬質(zhì)璞.3－PRS并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析及仿真［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造2012（1）：216－218.

［5］李王英，徐尤南，劉治強(qiáng)，等.3－PRS型三足并聯(lián)機(jī)器人位置逆解分析［J］.機(jī)械工程師，2008（3）：58－59.