基于最小二乘方法的單機(jī)測向定位算法

何青益，趙 地

（中國電子科技集團(tuán)公司54所，石家莊050081）

0 引 言

測向定位是利用對同一目標(biāo)的示向線進(jìn)行交叉定位來確定目標(biāo)的位置。機(jī)載測向定位分為多機(jī)測向交叉定位和單機(jī)測向交叉定位，其中單機(jī)測向交叉定位由于具有設(shè)備簡單和系統(tǒng)相對獨立等優(yōu)點，得到了廣泛研究。利用單機(jī)在不同時刻測量的多條示向線直接交叉定位算法簡單，但是定位結(jié)果不是最優(yōu)［1］；基于擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）及其推廣的定位算法在濾波初始值估計不準(zhǔn)或者測量值有突變時容易發(fā)散，性能不穩(wěn)定［2］；本文引入的基于最小二乘方法的測向交叉定位算法，結(jié)合了直接交叉定位算法和非線性最小二乘算法，直接交叉定位獲取目標(biāo)的估計初值，通過最小二乘方法迭代得到更高精度的定位結(jié)果。基于最小二乘方法的測向交叉定位算法定位精度高，對測向數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，可以實時更新目標(biāo)的位置信息，是一種穩(wěn)定性好、定位精度高的定位算法。

1 測向交叉定位原理

兩站交叉定位是一種基本的交叉定位方式。如圖1所示，兩測向站的大地經(jīng)緯度坐標(biāo)分別為A1（x1，y1）、A2（x2，y2），輻射源到兩測向站A1、A2的來波方位角分別為θ1、θ2，則輻射源所處的地理位置即是2條示向線的交叉點B，設(shè)其坐標(biāo)記為（xm，ym）。

圖1 兩站測向交叉定位示意圖

根據(jù)球面三角形的正弦定理和余弦定理，有：

由于待求參數(shù) （xm，ym）包含在多重三角關(guān)系中，上面給出的聯(lián)立方程組沒有解析解，只能用迭代方法求出目標(biāo)的位置，求解信號輻射源坐標(biāo)的過程分為3步［3］：

第1步：球面基本三角形

測向基礎(chǔ)的球面基本三角形由測向站的2條子午線和通過這2個點的大圓構(gòu)成。在這個基本三角形中，未知數(shù)是2個測向站相互的方位角和它們之間的距離。

從A1看A2的方位角θAz1為：

由另一測向站出發(fā)計算方位角更簡單，應(yīng)用正弦定理：

其中的一個角度可能大于180°，必須加以修正。然后計算2個測向站之間的距離z：

第2步：定位三角形

定位三角形是由測向站基線和2條測向線組成，2條測向線相交于所求的位置點，但從三角形還不能得到該點的坐標(biāo)。第2步的計算只是為下一步計算提供輔助量，該輔助量是測向站到輻射源的距離，計算出其中一個距離即可：

第3步：球面定位基本三角形

此時可利用前面求出的結(jié)果計算信號輻射源的經(jīng)緯度：

從原理上說，直接測向交叉定位算法既簡單又容易實現(xiàn)，但其定位誤差較大，主要因為測向站測向誤差較大，其中包含系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差2個部分［4］。

2 基于最小二乘方法的定位算法

在飛機(jī)運動軌跡上利用測向系統(tǒng)順序地獲取1組輻射源的方位測量值，然后將這些測向數(shù)據(jù)結(jié)合起來估計輻射源的位置［5］，見圖2。當(dāng)不存在噪聲和干擾時，對于同一輻射源，方位線精確地相交于一點，該點就是輻射源的位置。但測量誤差或干擾總是存在的，同一輻射源2條以上的方位線一般來說不可能確定唯一的交點。因此，為了確定輻射源的位置，就必須對測量值進(jìn)行一定的處理，獲得最優(yōu)的位置估計。

圖2 觀測站沿運動軌跡形成的方位線

設(shè)飛機(jī)在N個坐標(biāo)已知的位置對同一輻射源B（xm，ym）測向，設(shè)飛機(jī)第i個位置的坐標(biāo)為 （xi，yi），測向方位角θi的測量噪聲是零均值高斯白噪聲，則各偵察位置關(guān)于輻射源的觀測參量θi與輻射源實際位置B（xm，ym）的關(guān)系可寫成：

hi（xm，ym）對 （xm，ym）來說是一非線性函數(shù)，它可通過在M（xm，ym）的一個初始估計點M0（xm0，ym0）用泰勒級數(shù)展開而線性化，保留其前兩項可得到公式（7）的線性化表達(dá)式：

因此式（8）可改寫為：

那么，N個觀測點的觀測方程為：

這樣，可以求得W最小二乘估計：

用迭代法可以得到最小二乘估計［6］：

為了開始迭代過程，必須要有一個初始估計值，即k＝0的值。N個位置坐標(biāo)已知的測向點對同一輻射源進(jìn)行測向，可獲得N條方位線，這N條方位線相交可得到L個交點，L≤N（N－1）／2，對L個交點進(jìn)行野值剔除、算術(shù)平均等處理即可確定精度較高的迭代初始值。

3 算法仿真

設(shè)定目標(biāo)經(jīng)緯度坐標(biāo)為（N 38.0°，E 120.0°），飛機(jī)航跡的起始點（N 39.347 5°，E 120.000 0°），飛機(jī)航跡終點（N 39.030 4°，E 121.109 8°），飛機(jī)從起始點沿圓弧朝著航跡終點飛行，在航跡上按經(jīng)緯度等間隔取120個測量點，飛機(jī)航跡上的測量點距離目標(biāo)的距離150km，飛機(jī)繞目標(biāo)飛過的示向線夾角約40°，測向誤差取3°的高斯白噪聲。

飛機(jī)航跡與目標(biāo)之間的幾何位置關(guān)系如圖3所示，點代表經(jīng)過預(yù)處理的多個定位結(jié)果，＊為直接交叉定位結(jié)果，下三角形是基于非線性最小二乘方法的測向交叉定位算法計算結(jié)果，五角星為目標(biāo)的真實位置。

圖3 飛機(jī)航跡和目標(biāo)的幾何位置關(guān)系

通過對飛機(jī)多次測量的示向線進(jìn)行直接測向交叉定位得到目標(biāo)的估計值（N 38.069 7°，E 120.040 1°），該估計值到目標(biāo)真實值的絕對定位誤差是8.52km，相對定位誤差5.68%R（R為輻射源目標(biāo)到定位站之間的距離）。把直接測向交叉定位結(jié)果當(dāng)作最小二乘的迭代初始值，進(jìn)行最小二乘迭代運算，得到目標(biāo)的估計值（N 38.004 4°，E 120.009 5°），該估計值到目標(biāo)真實值的絕對定位誤差是0.96km，相對定位誤差0.64%R。由該仿真結(jié)果可見，基于最小二乘方法的單機(jī)測向定位算法可以大幅提高測向定位精度。

4 結(jié)束語

基于最小二乘方法的單機(jī)測向定位算法，是在多次觀測的基礎(chǔ)上尋找能使各次測量數(shù)據(jù)的誤差平方和達(dá)到最小的無源定位算法。仿真結(jié)果表明，與直接測向交叉定位相比，該算法可以大幅提高輻射源目標(biāo)的定位精度。綜上所述，本文引入的基于最小二乘方法的單機(jī)測向定位算法是一種定位精度高、穩(wěn)定性好、適合工程應(yīng)用的定位算法。

［1］Wilson Jon.Precision location and identification：a revolution in threat warning and situational awareness［J］.Journal of Electronic Defense，1999，22 （11）：43－48.

［2］Taff L G.Target localization from bearing－only observations［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic systems，1997，33 （1）：2－10.

［3］孫仲康，周一宇，何黎星.單多基地有源無源定位技術(shù)［M］.北京：國防工業(yè)出版社，1996.

［4］王銘三.通信對抗原理［M］.北京：解放軍出版社，1999.

［5］何青益，胡東，李艷斌.一種單機(jī)對固定目標(biāo)的無源定位方法［J］.無線電工程，2006，36（10）：33－35.

［6］徐濟(jì)仁.測向定位中若干問題的探討［J］.無線電工程，2001（S1）：122－123.