一種穩健接收波束形成算法

鄭均杰

（解放軍92785部隊，秦皇島066000）

0 引 言

波束形成是陣列信號處理的重要組成部分，在雷達、聲納、無線通信等領域有著廣泛的應用。其主要目的是有效地提取信號，同時可以最大限度地抑制干擾和噪聲。對于經典理論而言，Capon波束形成在一定條件下有較好的性能，但在實際工程中，由于陣列天線并非理想化，陣元之間的誤差、互耦等影響都會導致模型失配，致使Capon波束形成的性能下降。為此，穩健波束形成技術已逐漸成為理論和工程界關心的重要課題［1－4］。

1 Capon波束形成

對于一個具有M個陣元的陣列，R是陣列采樣協方差矩陣，設R＞0，且有：

式中：ak，k＝0，1，…K為第k個信號的方向向量；為第k個信號的功率；（·）＊為共軛轉置運算；Q為噪聲項。

假設式（1）中第1項為信號。對于經典Capon波束形成算法就是期望信號的方差最小且無畸變。其可以描述為：

應用Lagrange乘數法，很容易得到以上問題的解：

另外，Capon波束形成也可以表示為協方差擬合的形式，即：

可以驗證2種Capon波束形成的等價性。

協方差擬合Capon波束形成算法可以描述為：給定R和信號方向a0，將最大的σ2作為信號功率的估計，且滿足協方差矩陣的殘差非負定，即R－

2 穩健接收波束形成

穩健接收波束形成方法主要由A.B Gershman，R.Lorenz等提出，其優化目標是最不利情況下的信干噪比。下面介紹在DOA失配情況下穩健接收波束形成方法［2］。

設信號的真實方向為a0，期望方向為0，失配向量δ為：

通常認為失配向量δ是有界的，即：

式中：ε為一常數，它表示了DOA估計可能出現的最大失配。

把經典Capon波束形成做一些推廣：

把不失真約束拓展到真實信號方向所在的集合A上等價于對A中最不利情況下的方向進行無失真約束［4－6］。

對式（8）進行等價變形：

可以證明以上問題（10）可以轉化為：

將式（10）做一等價轉化：

式（12）可以看成一個二次錐規劃的問題。首先，把目標函數轉化成線性函數，對R做Cholesky分解［6－7］：

利用上式，有：

優化問題（12）可以改寫為：

為了方便運算，需要把以上問題轉化成實數形式，令：

式（15）可以表示為實值向量和矩陣形式：

顯然，上式是一個二次錐規劃，可以直接用凸優化工具求解，則最優權值可以由下式計算得到：

為了更加深入地分析問題的本質，現在考慮等價的等式約束問題：

借助Lagrange方法，構造Lagrange函數：

式中：v為Lagrange乘子。

可以得到：

由：

式中：Rs為信號協方差矩陣；Ri＋n為干擾加噪聲協方差矩陣。

由于信號干擾加噪聲比（SINR）是權向量的任意尺度變換的不變量，因此，上式可以轉化為：

從而有：

從式（24）可以看到，對于穩健Capon波束形成問題可以歸結為對角加載問題。但與傳統的固定系數對角加載不同，穩健Capon波束形成問題的加載系數是ε／‖w‖，其直接與ε相關，可以認為，這樣的對角加載是與信號的DOA失配相匹配的。因此，穩健Capon波束形成就成了如何求得加載系數，即歸結到如何求得‖w‖，則：

對式（25）兩邊取范數平方，可以得到：

令τ＝‖w‖＞0，式（26）可以轉化為：

為了簡化上式，對R做特征分解R＝UΓU＊，代入到以上等式中，可得：

考慮到τ＞0，這樣τ的求解問題就轉化為：

方程f（τ）＝0的根就在上，其中：

應用牛頓迭代算法，可以直接求得‖w‖，根據式（25）可以求得信號DOA失配與干擾加噪聲的權值。

3 仿真

以均勻線陣進行仿真。信號和噪聲設為零均值復高斯過程，對于第k個信號，其信噪比為：

最優信噪比由下式給出：

仿真中對比的算法如下：經典Capon波束形成算法，縮寫為 “Standard CB”；穩健接收波束形成算法［8－9］，縮寫為 “Ellip－Uncertainty RCB”。

采用10陣元線性陣列，陣元間距為半波長。期望信號（SOI）位于0°，信噪比10dB；2個干擾位于25°和50°，信噪比為20dB，噪聲方差為1。

（1）無角度失配

信號DOA精確已知情況下各波束形成器的接收方向圖（N＝1 000）如圖1所示，各波束形成器輸出的SINR與數據長度之間的關系（100次獨立仿真的結果）如圖2所示，各波束形成器輸出的SINR與期望信號信噪比（SNR）之間的關系（100次獨立仿真的結果，N＝200）如圖3所示。

圖1 信號DOA精確已知情況下各波束形成器的接收方向圖

圖2 信號DOA精確已知情況下各波束形成器輸出的SINR與數據長度之間的關系

圖3 信號DOA精確已知情況下各波束形成器輸出的SINR與期望信號SNR之間的關系

（2）存在1°角度失配

信號DOA失配1°情況下各波束形成器的接收方向圖（N＝1 000）如圖4所示，各波束形成器輸出的SINR與數據長度之間的關系（100次獨立仿真）如圖5所示，各波束形成器輸出的SINR與期望信號SNR之間的關系（100次獨立仿真，N＝200）如圖6所示。

圖4 信號DOA失配1°情況下各波束形成器的接收方向圖

圖6 信號DOA失配1°情況下各波束形成器輸出的SINR與期望信號SNR之間的關系

從仿真結果可以看出，當信號DOA精確已知時，經典Capon算法和圓約束下的穩健波束形成算法均具有良好的波束，即在0°方向上形成主峰，在25°和50°方向上形成凹陷；當信號DOA出現1°角失配時，經典Capon算法在0°方向形成凹陷，這可能會造成信號的漏檢，而圓約束下的穩健波束形成算法在失配情況下，依舊在0°信號方向形成主峰。另外，圓約束下的穩健波束形成算法的各波束形成器輸出信噪比接近于理想情況，且隨觀測數據和輸入信噪比變化明顯優于經典Capon算法。

4 結束語

仿真驗證了空域濾波穩健Capon波束形成算法的性能。在實際環境中，精確測得期望信號DOA通常是不可能的，當信號DOA出現失配、局部相干和非相干散射等情況時，穩健接收波束形成算法的顯著優于經典的Capon波束形成算法。仿真說明，穩健波束形成方法在陣列流型失配和少觀察數據量下具有穩健的性能。

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