分布式多天線信道時變特征參數的聯合估計

張靜

(上海師范大學 信息與機電工程學院，上海 200234)

1 引言

在收發端配置多根天線的多天線系統即多輸入多輸出(MIMO)系統可以有效地利用空間分集并改善鏈路的可靠性。利用分散在不同地點的無線終端構成分布式MIMO系統在協同通信乃至多點協作重傳等技術中被廣泛采納。由于無線移動終端分布地點分散，組成虛擬MIMO系統時在接收端得到的是包含多個不同的信道狀態信息：衰落、時延和頻率偏置這3類特征參數的混疊信號。準確地獲取這些參數并進行有效的同步和均衡，可顯著地改善接收機性能。

在分布式MIMO系統中，當多個頻率偏置和平信道衰落在多個符號周期不變時，參數的聯合獲取可采用期望最大化方法，它避免了極大似然估計的求逆運算，可逼近參數的克拉默—拉奧下界[1]，還可運用最小二乘估計和最小均方誤差估計[1～3]；對時變特征參數的獲取有以下幾種方法：建立MIMO信道的狀態空間模型，用卡爾曼濾波來跟蹤參數[4]；用序列蒙特卡洛方法獲取在偽碼輔助下的信道衰落[5]。此外，將時變信道近似為在若干個符號周期不變，以及聯合估計MIMO-OFDM系統的信道衰落和頻率偏置[6]及盲方法等[7]。

本文針對多天線無線信道隨機時變的特點，考慮分布式MIMO系統時變特征參數的聯合獲取。它包括多個復信道衰落和多個頻率偏置的聯合估計。依據無線信道的統計模型理論建立了參數的狀態空間模型，對強非線性觀測模型進行線性化處理，然后運用擴展卡爾曼濾波算法聯合獲取多個未知參數，同時將結果對照了參數估計的克拉默—拉奧下界。

2 接收信號模型及其線性化

一個具有NT根發送天線和NR根接收天線的分布式MIMO傳輸系統如圖1所示。對分布式的NT個發送天線上的發送符號{x1,x2,…,xNT}進行空時編碼得到在時刻k的發送符號{s1(k),s2(k),…,sNT(k)}，在發送符號中插入導頻序列，然后經由無線信道傳輸。在第r個接收天線上的接收信號為

其中，Wp為第p個發送天線的發射功率，hrp(k)為第p個發送天線和第r個接收天線間在時刻k的復信道衰落，sp(k)為時刻k在第p個發送天線上的發送符號，ωrp(k)=2πfrp(k)Ts為歸一化后的載波頻率偏置，其中，frp(k)為時刻k的絕對實際頻偏，Ts為符號周期；0＜ωrp(k)＜π，ηr(k)為均值為0、實部和虛部的功率為N02/2的復高斯觀測噪聲。

圖1 分布式MIMO系統傳輸模型

因參數估計過程在所有的接收天線上相同，不失一般性，略去下標r。式(1)在導頻點處的接收信號為

設導頻序列每隔若干個由發送符號構成的空時編碼塊后插入且接收端已知，此時式(2)包含和這些未知參數。由于該非線性觀測模型的未知參數為時變參數且混疊在接收信號中，獲得解析解較困難。當采用足夠小的采樣間隔時，可利用擴展卡爾曼濾波進行參數獲取。為此對式(2)進行線性化。記式(2)為yk=f(xk)+ηk，其中，將yk在狀態估計值附近展開成泰勒級數，并取其一次項，有

3 時變信道特征參數的狀態空間模型

上述分布式MIMO系統的發射天線共時共頻傳送信息對接收端信號造成了混疊。在發送天線不相關時，多根發送天線和某個接收天線間構成了獨立的多徑信號。對于小尺度衰落，當接收機帶寬B和符號周期Ts一定時，每條主路徑可用信道衰落、頻偏、時延3類特征參數{hp,fp,τp}的亞擴展函數來表征，其等同于若干個不可分辨的時延小于1/2B并且頻偏小于1/2Ts的路徑的和[8]。hp的幅值在無直射波時服從瑞利分布，相位服從(0,2π]間的均勻分布。更進一步地，可將時延和信道衰落用直角坐標方式表示為復信道衰落，時延等效為復信道衰落的相位。然后建立參數化的二階自回歸模型[4]

其中，其中，df是最大的多普勒頻移，dr是信道功率時延譜的衰減系數，

頻率偏置為慢變參數，可建立為一階自回歸模型

其中，pb為與移動速度有關的系數，

將式(7)、式(8)表示成狀態空間模型為

將所有發送天線對任一根接收天線間信道特征參數的狀態方程表示為

4 擴展卡爾曼濾波（EKF）算法

4.1 EKF算法

EKF算法在過程噪聲和觀測噪聲均為高斯白噪聲時具有最優意義。當對過程模型和觀測模型線性化后，EKF公式與常規卡爾曼濾波公式一致。針對式(6)和式(10)的模型，在設定初始狀態x0、初始估計誤差方差P0以及過程噪聲方差1k-Q和觀測噪聲方差kR后，可進行如下計算獲得每步EKF估計值和估計誤差方差kP，即有

1) 一步預測

2) 一步修正因子

3) 一步修正估計誤差方差

4) 一步修正

4.2 時變特征參數估計的克拉默—拉奧下界

根據文獻[9]，該模型下參數估計的克拉默—拉奧下界為遞推費希爾矩陣kJ的逆。kJ為

5 仿真實例

本文仿真考察時變信道參數聯合估計性能。不失一般性，考慮2發1收分布式MIMO系統時變復信道衰落和時變頻率偏置的聯合估計，并設MIMO信道的各子信道為瑞利衰落信道。仿真參數的數值見表1。

本文進行了三方面的仿真，一是在給定的信噪比條件下考察聯合估計時參數的均方誤差(MSE)隨觀測值個數增加而變化的情況；二是當估計收斂后各參數的MSE隨信噪比的變化情況；三是考察過程噪聲對MSE的影響。通過與參數的克拉默—拉奧下界（CRLB）對比來進一步表明參數的估計性能。

表1 仿真參數數值

圖2是在設定信噪比（SNR）為0dB時，由EKF估計的信道衰落h1實部的MSE與CRLB隨觀測值個數增加而變化的曲線。其他信道衰落參數具有與該圖類似的估計情況，不再示出。圖3是由EKF估計的頻率偏置1ω的MSE與CRLB隨觀測值個數變化的曲線。這2幅仿真曲線表明，EKF估計的MSE和CRLB都隨觀測值個數的增加漸近收斂，在觀測值個數達到10時，EKF估計的MSE已可進入穩態。同時，由于信道衰落模型被建立為二階AR正弦振蕩模型，導致CRLB和EKF估計值在穩態時都具有類似正弦的振蕩形式，且EKF的MSE接近CRLB。

圖4和圖5是在EKF和CRLB均已進入穩態后，在第40個觀測時刻EKF的MSE隨SNR的變化曲線。仿真結果表明，EKF的MSE隨SNR的增加逐漸減小，穩態時與CRLB相當。

圖2 信道衰落估計的漸近收斂曲線與CRLB曲線

圖3 頻率偏置估計的漸近收斂曲線與CRLB曲線

圖4 信道衰落估計與CRLB曲線

圖5 頻率偏置估計與CRLB曲線

圖6和圖7是在SNR為0dB時，各參數估計值隨過程噪聲方差的數量級而變化的曲線。這些曲線表明，當過程噪聲方差小于10-6時，參數能良好地估計，但是隨著方差數量級的增加，各參數的MSE迅速增大。

這些仿真結果表明，當分布式多天線信道隨機時變特征參數的方差較小即過程噪聲方差較小時，EKF聯合估計到達穩態所需的導頻數目以及穩態估計精度與參數時不變時極大似然估計的情況相當[1]，MSE收斂速度較快，估計精度可逼近CRLB。但是，當特征參數的方差較大時，由于各特征參數耦合在觀測模型中，聯合估計時各參數的估計過程有較大程度的互相影響，加上頻率偏置的觀測模型呈現較強的非線性，EKF聯合估計還存在MSE較大的不足。此外，由于分布式多天線信道是典型的隨機時變信道，其時不變參數可視作方差為零的隨機參數的特例，因此，可運用EKF聯合估計既包括靜止終端也包括移動終端之間信道的特征參數，適用性較為廣泛。

圖6 信道衰落估計的MSE隨過程噪聲階次的變化曲線

圖7 頻率偏置估計的MSE隨過程噪聲階次的變化曲線

對比仿真結果中頻率偏置和復信道衰落的估計性能曲線還可以看出，頻率偏置的MSE收斂曲線為線性，穩態時的MSE很小；而復信道衰落的MSE收斂曲線為振蕩形式，穩態時的MSE較大。這一方面是由于頻率偏置是一階慢變參數而復信道衰落是二階快變參數，另一方面是由于頻率偏置和復信道衰落對觀測信號的影響情況不同。時變的頻率偏置使觀測信號產生時變相移，該相移基本不受復信道衰落及其時變性的影響，在SNR較低時就可使頻率偏置估計的MSE很小，但該相移會改變復信道衰落在2個正交支路上的觀測信號，從而導致復信道衰落估計的MSE較大。

6 結束語

本文考慮分布式多天線信道的特征參數：復衰落和頻率偏置為隨機時變參數，運用了擴展卡爾曼濾波來聯合估計。它建立各參數的自回歸及狀態空間模型，求解觀測方程的雅可比矩陣進而線性化觀測方程，再通過序貫的觀測值估計參數。這種聯合獲取方法在特征參數的方差較小時，估計跟蹤精度可逼近克拉默—拉奧下界，到達穩態時所需的導頻數目與對時不變特征參數做聯合最優估計時所需的導頻數目相當，具有較廣泛的適用性。

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