從蘇步青爺爺做過的題目談起

趙國瑞

相信同學們都看過蘇步青爺爺做過的題目：

甲和乙分別從A、B兩地同時出發，相對而行，兩地相距100里，甲每小時走6里，乙每小時走4里.如果甲帶一只狗，和甲同時出發，狗以每小時10里的速度向乙奔去，遇到乙后即回頭向甲奔去，遇到甲后又回頭向乙奔去，直到甲乙兩人相遇時狗才停住. 這只狗共跑了多少里路？

解答這道題時，蘇步青爺爺抓住“狗從開始到停止跑的時間與甲乙兩人相遇時間相同”，從而巧妙求出問題答案：10×[100÷（6+4）]=100（里）.

如果題目其他條件不變，而把狗跑的方式改變為“如果甲帶一只狗，和甲同時出發，以每小時10里的速度不停地往返于A、B兩地.”你能求出乙從出發直到A地與狗相遇的次數及相遇時間和地點嗎？

這個問題當然可以用列方程的方法求解.

設經過x小時乙與狗第一次相遇于C點（如圖1），則AC=10x，BC=4x，根據AC+BC=AB列方程得10x+4x=100，得x=■（小時），AC=■×10=■（里）；

設經過y小時乙與狗第二次相遇于D點（如圖2），則BD=4y，AB+BD=10y，即100+4y=10y，解得y=■（小時），AD=AB-BD=100-■×4=■（里）；

設經過z小時乙與狗第三次相遇于E點（如圖3），則BE=4z，2AB+AE=10z，即200+AE=10z，所以AE=10z-200. 又因為AE=AB-BE=100-4z，所以10z-200=100-4z，解得z=■（小時），AE=100-■×4=■（里）.

設經過t小時乙與狗第四次相遇于F點（如圖4），則BF=4t，3AB+BF=10t，即300+4t=10t，解得t=50. 由于乙從出發直到A地共需25小時，在這段時間內乙與狗不可能第四次相遇，所以這種情況不存在.

綜上所述，乙從出發直到A地與狗一共相遇三次，第一次在出發■小時后相遇，此時與A地相距■里；第二次在出發■小時后相遇，此時與A地相距■里；第三次在出發■小時后相遇，此時與A地相距■里.

以上我們通過畫圖列方程并分情況討論的辦法，求出了乙從出發直到A地與狗相遇的次數及相遇時間和地點. 這種方法比較麻煩，需要有扎實的基礎知識，如果稍不留神，非常容易出錯. 有沒有一種簡便易行的方法呢？回答是肯定的，在我們學習了一次函數的知識后，就可利用一次函數的知識求解，如圖5，用實線表示乙與A地的距離，用虛線表示狗與A地的距離，那么實線和虛線的交點坐標即表示狗與乙相遇時的時間及與A地的距離，從圖5可以清楚地看到實線和虛線一共有3個交點，所以乙從出發直到A地與狗一共相遇3次，再分別求出三個交點坐標，即可求出相遇時間和相遇地點. 顯然這種通過作一次函數圖象的方法來解這類較難的相遇問題非常簡捷，體現了利用函數圖象象決問題的優越性.

下面請同學們用上面的方法解決下面這道趣題：

傳說，古埃及有一座城堡，在城堡中住著一位大商人，名叫克洛瓦爾。克洛瓦爾為了經商到過好多國家，見多識廣，當地的人們都十分敬佩他。

克洛瓦爾有一個女兒，才貌出眾，溫順善良，做父親的一心想要為自己的寶貝女兒挑選一位稱心如意的配偶。他公開宣布：“我鄙視出身、財產、官職一類的東西，我要為我的女兒選擇一位體魄強健又有聰明才智的青年做伴侶。”為此，克洛瓦爾特地出了一道難題，裝在三個精制的錦袋中，并當眾聲明：“能夠解答我這三個錦袋中的難題者方可做我的女婿的候選人。”

克洛瓦爾女兒的美貌是譽滿全城的，青年們無不敬慕萬分。但是，想要得到這位絕代佳人的決非等閑之輩，大多數人只是贊嘆而已！

一天，一位名叫盧爾的英俊青年胸有成竹地去克洛瓦爾家取來了錦袋。打開后看到了第一個問題：每天有一輛馬車從金字塔出發駛往莫利斯堡；與此同時，也有一輛馬車從莫利斯堡出發沿著同一條路線駛往金字塔。兩地間的行程需10天，每輛馬車都以相同的速度在路上行駛，那么坐在某一輛由金字塔駛往莫利斯堡的馬車上的人，從出發時算起到抵達莫利斯堡之前，會碰到多少輛從莫利斯堡駛往金字塔的馬車？

克洛瓦爾目不轉睛地盯著盧爾，要從他的神態上看出這個青年的心機如何。盧爾沉著地思考了一下，微微一笑地回答了克洛瓦爾的第一個問題：“假設我就是某輛馬車上的一位乘車人，10天以內出發的，正在路上行駛的10輛馬車我都能看到，和我同時出發以及以后9天出發的由莫利斯堡到金字塔的又是10輛馬車我也同樣都能看到。因此，我總共能看到20輛馬車。”

克洛瓦爾聽了，十分肯定地說：“你做了一個非常圓滿的回答.現在你可以打開第二個錦袋了，我的年輕人。”然后盧爾又順利地回答了第二個和第三個錦袋中的問題，最終成為克洛瓦爾的女婿。

其實，克洛瓦爾的第一個問題也可以通過作圖象的方法解答：

圖中的t軸代表時間，O點代表馬車出發的那一天，O點右邊的正數代表出發后的天數，O點左邊的負數的絕對值則代表出發前的第幾天. S軸代表路程，O為金字塔的位置，另在S軸上任選一點A作為莫利斯堡的位置，這樣，從左上方畫向右下方的那組平行線就是馬車出發前后若干天內從莫利斯堡駛往金字塔的各輛馬車的路程圖線；從O點向右上方畫出的那條斜線就是“某天由金字塔駛往莫利斯堡的馬車”的路程圖線. 從圖形中可明顯地看到，從金字塔出發的一輛馬車駛往莫利斯堡時，遇到了20輛從莫利斯堡駛往金字塔的馬車.（注意：圖象不包括點（10，10），因為題目要求是“從出發時算起到抵達莫利斯堡之前”）