基于貝葉斯框架的空間群目標跟蹤技術

黃 劍* 胡衛東

?

基于貝葉斯框架的空間群目標跟蹤技術

黃 劍胡衛東

(國防科技大學電子科學與工程學院ATR重點實驗室 長沙 410073)

對大量密集的空間群目標進行有效跟蹤、編目已成為空間監測的迫切需求。地基雷達作為近地軌道空間監測的主要手段，在對高密度的空間小碎片云進行跟蹤時，通常會由于分辨能力有限，造成對個體目標檢測、觀測信息嚴重缺失，使得傳統的多目標跟蹤技術難以奏效。為此，該文基于“群”跟蹤的概念，在貝葉斯框架下以群目標的整體運動趨勢為跟蹤對象，同時兼顧個體的運動目標軌跡跟蹤，通過建立群目標的中心和觀測量之間的相互作用約束模型，可以提升在漏警概率較高情況下的目標數目估計的穩健性以及單個目標的跟蹤精度。貝葉斯積分的求解過程通過MCMC-Particle算法具體實現。通過對空間群目標跟蹤的仿真實驗驗證了群跟蹤技術的有效性。

空間監測；群目標；空間目標；軌道跟蹤；貝葉斯框架

1 引言

隨著近地軌道空間目標數目，特別是空間碎片的日益增多，空間監測已成為有效利用空間資源預防空間碎片威脅的重要基礎?，F有的空間監測網大多只能夠對10 cm以上的空間碎片進行個體編目跟蹤，然而，更多的1 cm以上的小碎片對航天器都會產生致命的威脅，這類空間碎片大多會以高密度的碎片云形式成“群”出現。雷達是近地軌道空間監測的主要手段，在雷達分辨能力不足的情況下，獨立的對其進行個體的跟蹤和編目，其難度很大。對多個空間目標以“群”的方式進行跟蹤和編目已成為繼傳統的個體空間目標編目以來的迫切需求和發展趨勢。同時，碰撞預警作為空間監測的一個重要應用，它通常采用預測的協方差“管道”進行碰撞概率的估算，而“群”也是一個描述多個相近目標的整體運動軌跡的“管道”，可以很好地適應于應用需求。空間目標群可以定義為在跟蹤時段內軌道根數相接近，不易于區分的目標群體。無論是軌道根數尚未散開的碰撞產生的碎片云，還是伴隨飛行的編隊衛星，它們都具備典型的群組特征。對群目標整體進行跟蹤和編目，既能夠利用“群”的動態模型描述多目標運動的整體趨勢，同時也可以提升對個體跟蹤的精確性，對于空間態勢感知、碰撞預警具有重要意義。

群目標跟蹤問題有別于傳統的多目標跟蹤問題。多目標跟蹤問題中對目標個體的觀測量與實際狀態量較為吻合，個體運動特征明顯。而群目標的跟蹤問題則由于目標的密集程度超過了傳感器分辨能力等因素導致個體信息缺失嚴重，漏警概率更高，其觀測結果中，宏觀的整體運行規律相對于個體運動軌跡同樣重要。跟蹤問題的差異將會導致關注對象、先驗信息的利用以及技術途徑的不同。在傳統的多目標跟蹤方法中，多目標假設(Multiple Hypothesis Tracking, MHT)跟蹤算法和JPDA (Joint Probabilistic Data Association)算法是跟蹤性能很好的兩類經典算法，它們在解決多目標關聯問題的基礎上實現對多個個體目標的跟蹤。為了減小運算的復雜度和實現未知數目的多目標跟蹤，Mahler提出了利用隨機集跟蹤擴展目標的方法，基于一階貝葉斯濾波器，將概率密度假設(Probability Hypothesis Density, PHD)算法擴展應用于含有群的運動和信息的情況。在此基礎上，Vo等人針對高斯噪聲情況下，得到高斯混合PHD算法的解析式，同時為了獲得更加穩定的目標數目估計，更高階的CPHD (Cardinalized PHD)、GMCPHD (Gaussian Mixture CPHD)算法相繼被提出并得到廣泛應用，但是這些算法不能清晰地對個體目標軌跡進行確認，而且在高雜波和低檢測概率的情況下跟蹤性能并不理想。為了提升多目標的跟蹤性能，僅進行多個獨立的個體跟蹤的方法具有一定的局限性。于是，Khan等人利用MCMC (Markov Chain Monte Carlo)算法，充分考慮螞蟻群體目標間的相互作用的關系，建立了描述蟻群運動的相互保持一定距離的隱馬爾科夫模型，成功地對實際拍攝的蟻群進行了跟蹤試驗，促進了含相互作用關系的多目標跟蹤技術的發展。然而，阻礙群目標跟蹤發展最大的問題之一就是對“群”的分裂與合并的描述，Pang等人充分考慮群內目標的中心趨向運動和目標間的相互作用，對多目標的分組運動模型以及群的合并和分離問題建立了一套相對完整的機制，利用目標群的先驗信息大大提升了多目標在密集雜波、低檢測概率環境下的跟蹤精度和目標數目估計的正確性。在圖像視頻跟蹤領域，像Mean-Shift這類算法則直接忽略個體的運動趨勢，以區域像素點的概率分布作為跟蹤的對象，實現對關注對象的整體跟蹤。

針對空間群目標的跟蹤問題，空間目標密度尚未達到圖像跟蹤中的像素密度，但同時受限于雷達分辨力，已經超出了多目標個體跟蹤的密度。因此，我們以群目標的整體運動趨勢為跟蹤對象，同時兼顧個體的運動目標軌跡跟蹤。首先，在分析空間目標運動特征的基礎上構造能夠描述“群”的運動特征參數和結構變量，在貝葉斯框架下對群目標進行跟蹤。通過建立群目標的中心和觀測量之間的相互作用約束模型，不僅可以得到“群”的特征描述，同時可以大大提升在漏警概率較高情況下的目標數目估計的穩健性以及單個目標的跟蹤精度。貝葉斯的求解過程通過MCMC-Particle算法具體實現。

本文結構如下：第2節介紹了空間目標的運動模型、“群”的特征參量和結構模型，以及“群”的貝葉斯跟蹤模型；第3節對貝葉斯跟蹤過程進行了求解，分模塊具體描述了空間目標的狀態轉移模型、群中心的狀態轉移模型、群中心與個體目標相互約束的模型以及觀測模型；第4節采用MCMC- Particle算法實現以上貝葉斯估計的跟蹤過程；第5節為對空間群目標進行跟蹤的仿真實驗及性能分析；第6節為結論。

2 空間群目標跟蹤的貝葉斯模型

2.1空間群目標的運動和觀測模型

空間目標在特定時刻的3維空間中的位置矢量和速度矢量可以確定目標的運動狀態。首先定義參數如下：第個目標，在時刻的狀態為,其中表示位置矢量，表示速度矢量。表示時刻的個目標的狀態。在較短時間內，單個空間目標的軌道預測及預測誤差可以采用簡化的轉移矩陣式(1)進行表示，但是其狀態轉移過程是高度非線性的，狀態轉移矩陣沒有解析解，都需要對開普勒方程進行迭代求解：

目標的觀測模型如式(3)所示：

2.2目標群中心跟蹤的貝葉斯模型

在本文中，選擇多個目標運動狀態的均值中心描述群運動的特征參數：

群中心的運動方程表示如式(5)：

(5)

這樣，就可以利用一個群中心對多個目標個體進行約束，使得在低檢測概率的跟蹤過程中的目標數目不至于劇烈跳變、目標的運動軌跡保持連續性和穩定性，同時也可以對群目標的整體軌跡進行跟蹤和預測，對于提升個體目標跟蹤性能具有重要意義。

同時，為了描述群內多個目標運動過程中整體結構的變化情況，我們定義時刻多個目標的存在狀態，其中。當對應于中第個目標的存在，則表示目標的消失。如圖1所示為群目標跟蹤狀態轉移示意圖。

圖1 群目標跟蹤狀態轉移示意圖

從式(6)和式(7)可以看到，在后驗概率的計算中，核心問題是狀態轉移概率的計算。

3 貝葉斯模型的求解

對空間目標群的貝葉斯跟蹤模型進行求解，首先將式(7)中的轉移概率模型擴展為

3.1目標狀態預測的動態模型

通過對上一時刻各個目標運動狀態進行預測可以得到多個目標當前狀態，本文忽略上一時刻群中心的狀態對各個目標狀態預測的情況，則目標狀態的預測模型可以展開為式(9)：

其中，表示目標存在狀態的變化，也可以看作一個簡單的群結構的轉換，為基于存在狀態的目標狀態預測。

3.1.1目標群的存在狀態結構的轉換模型 在本文跟蹤過程中，為了節約計算和存儲資源，對目標數目設定最大存在的目標的個數為，這也是符合實際情況的，則

其中每個目標的存在和消失的狀態轉移概率都預先設定合理的參數，通常情況下，為了能夠快速跟蹤到新目標和保證目標的連續性，因此對新目標產生的概率和已有目標的保持概率的取值會大于目標消失的概率。具體參數選擇跟實際情況相關，而且跟蹤結果好壞對參數大小并不敏感。當每個目標的存在狀態以一定概率變化，則群目標的整體的存在狀態變化就會體現出一定的群結構變換趨勢。

從圖3可以看出群目標存在狀態轉移的概率分布情況，它表明群目標從狀態轉移到狀態的概率只有0.0032，而保持狀態不變的概率有0.3072。這也是一種維持目標群整體結構穩定的一種方式。在已知存在狀態轉移的概率后，就可以對目標運動狀態進行預測。

圖3 群目標存在狀態轉移的概率分布

3.1.2目標的運動狀態轉移模型 目標的狀態轉移模型根據和的不同分別采用不同模型進行刻畫。設代表和的目標集合，即代表新目標產生。為的目標集合，表示目標的消失和不存在。代表和的目標集合，即需要進行預測更新的目標。,和分別為不同集合對應的目標個數。

因此

(15)

3.2群中心的預測模型

目標群的中心擁有比單個目標更加穩定的運動趨勢和更高的檢測概率，群中心的預測需要保證中心運動方向的延續性。假設時刻，多個目標的存在狀態的概率為，而不同的目標存在狀態就會形成不同的群結構，從而群中心也會不同。為了防止因為預測的群中心種類過多導致分組狀態的發散即群中心的漂移，對小于一定概率的分組模式置零，可取0到0.5之間的小數字(如0.3)：

歸一化分組模式概率

(18)

(20)

3.3群中心與個體目標之間的關聯概率

群中心與預測的多目標的運動狀態都是目標群運動規律的體現，二者是同源的，因此它們之間存在一定的相互作用關系。本文采用關聯概率來描述其特性。在預測得到時刻的目標運動狀態，目標存在狀態和群中心后，可以利用預測的群中心和預測的多個目標的均值中心的匹配程度來衡量其關聯概率。

式(21)的計算過程見附錄Ｂ。這樣就能得到預測的群中心和多個目標運動狀態相互作用的隱馬爾科夫模型的貝葉斯概率。通過這層約束關系，可以使得目標群的整體運動趨勢保持延續性，能夠在低檢測概率、高密度雜波環境的情況下保證跟蹤的穩健性。

3.4觀測模型

4 基于MCMC-Particle算法求解貝葉斯過程

以上貝葉斯的跟蹤過程的概率計算是高度非線性，極為復雜，不容易得到解析解。MCMC算法是解決非線性概率分布遞推、積分的有效工具，但通常運算量較大。本文采用參考文獻中提出的改進MCMC-Particle算法進行貝葉斯概率分布的計算對第3節的貝葉斯過程進行求解。

MCMC算法主要通過計算接受概率

采用均勻分布產生隨機的接受概率門限，二者比對決定粒子是否更新。其中表示當前的馬爾科夫鏈的狀態；表示馬爾科夫鏈中目標狀態的分布概率；表示根據當前狀態以一定的概率分布采樣一個候選樣本。具體過程如下。

通過兩步馬爾科夫模型，可以更進一步的去除野值粒子，防止跟蹤結果發散。對于時刻的后驗概率分布，由于不能得到具體的分布形式，根據經驗分布用個離子近似，即

整個MCMC-Particle算法過程的實現包括以下3個部分：

(1) 群中心采樣

(2) 聯合采樣

圖4 跟蹤粒子的聚類

(3) 更新個體目標

通過一定次數的MCMC-Particle的迭代計算不斷更新粒子，去除部分老化粒子，則最終收斂后的粒子能夠近似表示跟蹤目標狀態的后驗概率估計。

5 仿真實驗分析

基于MCMC-Particle算法的跟蹤過程參數設置如表2。

觀測軌道為零時刻軌道各自向前和向后延伸15 s，共30個觀測點。4個空間目標組成一個目標群，仿真場景中真實目標運行軌跡和觀測的目標位置軌跡如圖5所示。

表1 仿真目標軌道根數情況

表2跟蹤過程中參數設置情況

Tab. 2 The tracking parameters for the simulation results

參數符號取值參數符號取值 觀測時間間隔1 s目標運動模型方差 最大目標數目4目標運動預測狀態方差 觀測誤差群中心的變化范圍 目標虛警概率2e005群中心的虛警概率0.01 目標檢測概率0.65群中心的檢測概率0.98 觀測量虛警期望數(泊松分布/時刻)2群中心的虛警期望數1

目標航跡的起始是假設真值以正態分布的形式存在于觀測量附近，從而進行抽樣取值。在每一個時刻，做5000次MCMC-Particle迭代算法，估計當前的目標狀態，去除之前未收斂的2000個離子，在收斂后的粒子中抽樣個粒子作為輸出。

采用MCMC算法進行多目標的貝葉斯跟蹤，其個體目標跟蹤相對于其余跟蹤的算法優越性已經在文獻[11,12]中得以說明，本文主要對含群中心的群跟蹤算法與文獻[12]提出的不含群中心的跟蹤算法的結果進行對比。

根據仿真場景的設置，得到原始的狀態估計粒子分布情況如圖6所示。

其中，圖6(a)為含群中心的空間群目標的跟蹤狀態，圖6(b)表示不含群中心的多個目標跟蹤狀態?？梢钥闯鋈褐行牡母櫜粌H能夠獲得多個目標整體的運動趨勢，同時對目標數目和個體運動狀態的估計也更為準確，可以更加精確地重構真實軌跡。對每個時刻目標跟蹤的狀態粒子進行K-Means聚類，去除粒子中的野值點，根據這些粒子所帶目標的標記，取均值作為對應目標的狀態估計，估計結果如圖7所示。

群目標的存在狀態分布如圖8所示。

通過仿真可以看出，群目標的跟蹤相對于多目標個體進行跟蹤，不僅能夠獲得重要的“群”的運動特征，在對多個目標存在狀態結構的估計上也有很大改善。本文通過對場景進行30次獨立的蒙特卡洛仿真對算法的跟蹤性能進行對比。統計每個時刻所跟蹤到的目標個數的均值和目標的狀態估計的均方根誤差(RMSE)如圖9所示。

經過多次蒙特卡洛仿真，可以看出，空間群目標的跟蹤相對于原有的多目標跟蹤可以更加準確地估計群目標中含有的真實目標數目，大大降低了漏警概率，同時對于位置和速度的估計誤差也相對更低。而且，群中心的跟蹤狀態也可以為跟蹤結果提供較為穩定的宏觀信息。實際上群目標跟蹤之所以能夠提升低檢測概率情況下的目標數目估計的正確性，是因為在跟蹤中，群中心的狀態更加穩定、不易改變，而目標個體檢測概率很低，起伏很大。本文設群中心的檢測概率為0.98，而目標個體的檢測概率只有0.65。在跟蹤過程中加入群中心的約束必然會大幅提升跟蹤性能，這也是“群”的先驗信息的應用帶來的優勢。

圖7 群目標跟蹤狀態估計結果

圖8 群目標存在狀態分布情況

圖9 基于30次蒙特卡洛仿真群目標跟蹤性能分析

6 結論

空間群目標的跟蹤是空間監測領域中的一個前沿方向和潛在需求，無論對于真假彈頭、誘餌群的預警跟蹤，還是空間碎片群以及編隊衛星的編目問題都具有重要意義。

本文首先提出了群跟蹤這樣一個概念，描述了空間群目標的運動模型，根據空間目標的運動特性構造了群中心跟蹤的貝葉斯過程，并利用MCMC-Particle算法進行求解，并通過對空間目標的模擬軌道進行跟蹤試驗，驗證了在高雜波、低檢測概率環境下算法對于群跟蹤的有效性，相對無群中心時提升了目標數目估計的穩健性、估計精度。本文提出的“群”中心跟蹤的概念只是眾多“群”特征中的一個，根據應用背景的不同具有不同的存在形式，同時也可以充分利用群組的隱含先驗信息構造各種有效的MRF模型提升跟蹤性能，但是“群”跟蹤的概念本身具有更為重要的意義。

附錄A 軌道目標狀態轉移矩陣

為了初始化軌道根數或者在原有跟蹤過程中出現野值情況導致軌道為非橢圓軌道時。將軌道預測的狀態轉移方程近似為圓軌道進行處理，即偏心率(Eccentricity)的情況，在此基礎上適當調整速度矢量，可以實現對小偏心率軌道的預測和跟蹤。圓軌道空間目標，當位置矢量已知時，若軌道傾角(Inclination)已知，則軌道就完全確定下來。其位置矢量和速度矢量滿足方程(A2)：

正負號的選擇根據軌道傾角和位置矢量唯一確定。

這時可以得到轉移矩陣式(A4)：

因此，空間目標的運動狀態轉移方程可以記為式(A5)：

附錄B JPDA關聯概率計算

(A7)

因此可以得到JPDA關聯概率如下式：

[1] Liou J C and Shoots Debi. Orbital debris quarterly news[R]. NASA, 2009, Report Number: JSC-CN-18100.

[2] Nicholas L Johnson. The world state of orbital debris measurements and modeling[J]., 2004, 54(4): 267-272.

[3] Matney M J, Anz-Meador P, and Foster J L. Covariance correlations in collision avoidance probability calculations[J]., 2004, 34(5): 1109-1114.

[4] Reid D B. An algorithm for tracking multiple targets[J]., 1979, 24(6): 84-90.

[5] Fortmann T E, Bar-Shalom Y, and Scheffe M. Sonar tracking of multiple targets using joint probabilistic data association[J]., 1983, 8(3): 173-184.

[6] Ronald P S Mahler. Multitarget bayes filtering via first-order multi-target moments[J]., 2003, 39(4): 1152-1178.

[7] Ba-Ngu Vo and Wing-Kin Ma. The Gaussian mixture probability hypothesis density filter[J]., 2006, 54(11): 4091-4104.

[8] Ronald P S Mahler. PHD filters of higher order in target number[J]., 2007, 43(4): 1523-1543.

[9] Ba-Tuong Vo, Ba-Ngu Vo, and Antonio Cantoni. Analytic implementations of the cardinalized probability hypothesis density filter[J]., 2007, 55(7): 3553-3567.

[10] Ng William, Li Jack, Godsill S J,.. Multitarget initiation, tracking and termination using Bayesian Monte Carlo methods[J]., 2007, 50(6): 674-693.

[11] Zia Khan, Tucker Balch, and Frank Dellaert. MCMC-Based Particle Filtering for tracking a variable number of interacting targets[J]., 2005, 27(11): 1805-1819.

[12] Pang Sze Kim, Li Jack, and Godsill S J. Detection and tracking of coordinated groups[J]., 2011, 47(1): 472-502.

[13] Dofin Comaniciu, Visvanathan Bamesh, and Peter Meer. Kernel-based object tracking[J]., 2003, 25(5): 564-577.

[14] Gim J Der. An elegant state transition matrix[J]., 1997, 45(4): 371-390.

[15] Howard D Curtis. Orbital Mechanics for Engineering Students[M]. Elsevier Butterworth Heinemann, 2005.

[16] Bar-Shalom Yaakov, Daum Fred, and Huang Jim. The probabilistic data association filter: estimation in the presence of measurement origin un-certainty[J]., 2009, 29(6): 82-100.

[17] Gilks W R, Richardson S, and Spiegelhalter D J. Markov Chain Monte Carlo in Practice[M]. Lynnfield, MA: Chapman and Hall/CRC, 1996.

[18] MacQueen J. Some methods for classification and analysis of multivariate observations[C]. Proceedings of the 5th Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Berkeley, University of California Press, 1967: 281-297.

Tracking of Group Space Objects within Bayesian Framework

Huang Jian Hu Wei-dong

(ATR Key Lab, College of Electronic Science and Engineering, National University of Defense Technology, Changsha410073, China)

It is imperative to efficiently track and catalogue the extensive dense group of space objects for space surveillance. As the main instrument for Low Earth Orbit (LEO) space surveillance, ground-based radar systems are usually limited by their resolving power while tracking small, but very dense clusters of space debris. Thus, the information obtained regarding target detection and observation will be seriously compromised, making the traditional tracking method inefficient. Therefore, we conceived the concept of group tracking. The overall motional tendency of a group’s objects is particularly focused, while individual objects are in effect simultaneously tracked. The tracking procedure is based on the Bayesian framework. According to the restriction among the group center and observations of multi-targets, the reconstruction of the number of targets and estimation of individual trajectories can be greatly improved with respect to the accuracy and robustness in the case of high miss alarm. The Markov Chain Monte Carlo Particle (MCMC-Particle) algorithm is utilized to solve the Bayesian integral problem. Finally, the simulation of the tracking of group space objects is carried out to validate the efficiency of the proposed method.

Space surveillance; Group objects; Space object; Orbit tracking; Bayesian framework

TN971

A

2095-283X(2013)01-0086-11

10.3724/SP.J.1300.2013.20079

黃 劍(1986-)，男，湖北隨州人，分別于2007年、2009年獲國防科技大學學士學位、碩士學位，現為國防科學技術大學電子科學與工程學院博士研究生，研究方向為空間目標監測、雷達信息處理。E-mail: huangjian@nudt.edu.cn

胡衛東(1967-)，男，遼寧葫蘆島人，1997年獲得國防科技大學通信與電子系統專業博士學位。現工作于國防科技大學ATR重點實驗室，教授，中國航空學會信號與信息處理專業分會委員。目前研究方向為雷達信息處理、空間目標探測。E-mail: wdhu@nudt.edu.cn

2012-11-09收到，2013-01-05改回；2013-01-10網絡優先出版

國家高技術研究發展計劃項目(863計劃)資助課題

黃劍 huangjian@nudt.edu.cn