第一類銷售擴散模型的統計分析

程慧君，徐曉嶺，顧蓓青，於笑羊，梁 舒

（上海對外貿易學院 a.商務信息學院；b.國際經貿學院,上海201620）

0 引言

目前已經有很多關于產品的生命周期的研究。文獻[1]是鄭祖康教授對銷售擴散曲線的研究。文中，將消費者購買行為稱作“沖動”，從消費者行為，新產品性能以及營銷者策略這三個因素進行描述，建立了與當前的銷售擴散曲線、平均銷售擴散速度和銷售時間有關的三個基本模型。文獻[2]中，首先闡述了產品生命周期的內涵；其次對產品生命周期建立了計量經濟模型，運用了龔伯茲曲線（美國統計學家和數學家龔伯茲首先提出作控制人口增長率的一種模型）進行擬合，然后對某市場耐用消費品作案例分析對出結論，最終也對產品投入期，產品成長期和產品成熟期給了一些對策。文獻[3]對新產品營銷失敗的原因從市場，產品以及營銷三個方面做出分析，闡述了新產品內在的擴散機理是成功的基礎，具體表現在新產品的相對優勢，適應性，復雜性等性質。

本文針對鄭祖康教授提出的第一類銷售擴散模型，給出了參數的矩估計，考察了估計的存在性，并通過Monte-Carlo模擬數例說明本文方法的應用。

1 模型及其數字特征

文獻[1]提出了一種銷售擴散概率模型，即針對非負隨機變量T給出了一種兩參數的概率分布，其分布函數、密度函數和失效率函數分別為：

易見：

若-1＜β≤1時，

圖1 參數λ=0.5,β=-0.5,0.5的密度函數圖像

若β＞1時，

令f′(t)=0 ，得方程：β-eλt=0 ，解得其根 ：由此 f (t)在(0,t)嚴格單調增加，在(t,+∞)嚴00格單調下降，在點t0處取最大值，值為取參數λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100，密度函數圖像見圖2，參數β=30，λ=0.5,1,1.5,2.5,3.5，密度函數圖像見圖3。又

即失效率函數η(t)當-1＜β＜0時，嚴格單調下降；取參數λ=2.5,3.5，β=-0.5，失效率函數圖像見圖4。當β＞0時，嚴格單調增加；而當β=0時，為常數，此時該分布為指數分布。取參數λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100，失效率函數圖像見圖5。

圖2 參數 λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100的密度函數圖像

圖3 參數 β=30，λ=0.5,1,1.5,2.5,3.5的密度函數圖像

圖4 參數 λ=2.5,3.5，β=-0.5的失效率函數圖像

圖5 參數λ=0.5，β=1.5,5,10,30,100，失效率函數圖像

下面求該分布的p—分位數：

若 0 ＜p＜1，F(tp)=p，即，從中解得

下面求該分布的k階矩：

引理1[4]：設 g(x)是[a,+∞) 上的非負函數，且對任何b＞a，g(x)在[a , b]上可積，如果，則當-∞≤p＜-1時，收斂；而當-1＜p≤+∞時，發散。

引理2：具有分布函數F(t)的非負隨機變量的k階矩存在，同時

證明：

由引理1知：隨機變量T的k階矩存在。于是

可得該分布的期望與二階矩：

2 參數的矩估計

設T1,T2,…,Tn為來自總體T的容量為n的一個樣本，由矩估計思想可建立如下方程組：

化簡：

即得方程：

則有：

注意到，G(β)的圖像如圖6所示，從中可以看到，其為單調減函數，由此可以認為引理3中的方程有唯一根。

圖6 函數G(β)的圖像

例1：給定n=10，參數真值取為λ=1,β=0.5，通過Monte-Carlo模擬產生服從該兩參數分布的10個隨機數如下：

利用本文方法求得參數的矩估計為：

例2：給定 n=10，參數真值取為 λ=1,β=-0.5，通過Monte-Carlo模擬產生服從該兩參數分布的10個隨機數如下：

利用本文方法求得參數的矩估計為：

特別地，當參數β已知時，易得參數λ的矩估計：

例3：給定n=10，β=0.5，參數真值取為λ=1，通過Monte-Carlo模擬產生服從該兩參數分布的10個隨機數如下：

例4：給定n=10，β=-0.5，參數真值取為 λ=1，通過Monte-Carlo模擬產生服從該兩參數分布的10個隨機數如下：0.8593，1.0250，0.2548，0.9001

令函數：φ(β)=β-ln(β+1),β＞-1

則當 -1＜β＜0時，φ(β)為單調減函數，而當 β＞0時，φ(β)為單調增函數，當 β=0 時，φ(β)取最小值，其值為 φ(0)=0，由此得 φ(β)＞0，即 g(β)為單調增函數。

例5：給定n=10，λ=1，參數真值取為β=0.5，通過Monte-Carlo模擬產生服從該兩參數分布的10個隨機數如下：

1.7641 ，2.0972，1.1042，1.9068，0.5514，0.3588，0.5197，1.1347，2.1186，0.4787

例6：給定n=10，λ=1，參數真值取為 β=-0.5，通過Monte-Carlo模擬產生服從該兩參數分布的10個隨機數如下：

0.5586 ，1.1008，0.0570，1.1940，1.2937，0.2426，0.3201，0.5122，0.7753，0.8926

[1]鄭祖康.銷售擴散曲線及其數學分析[J].數學理論與應用，2010，（3）.

[2]謝慧.產品生命周期曲線預測模型及其在營銷決策中的應用[J].市場研究，2006，（2～8）.

[3]薛云建，陳捷.用擴散機理解析新產品營銷[J].企業研究，2010，（17）.

[4]汪林，戴正德，楊富春，鄭喜印.數學分析問題研究與評注[M].北京：科學出版社，1995.