圓柱與剛性平面Hertz接觸的臨界參數計算

官春平

(廣東輕工職業技術學院，廣州 510300)

圓柱滾子軸承可以承受較大徑向載荷，已經廣泛應用于如車輛齒輪箱、機床主軸、減速機以及起重運輸機械等比較惡劣的工況中。工程實踐表明，Hertz接觸理論對于滾動軸承的分析具有足夠的計算精度[1-5]。對于圓柱滾子軸承，在正常工況下處于彈性接觸狀態，其接觸寬度遠小于接觸長度，根據圣維南原理，通過假設接觸應力沿滾子素線均勻分布，可以將其接觸簡化為圓柱與平面的接觸模型[6]。1907年，Stribeek R 應用Hertz彈性接觸理論建立了滾子軸承在承受徑向載荷下的靜力學分析模型，獲得了滾子最大接觸載荷Qmax與徑向載荷Fr之間的關系。但在非正常工況下，軸承可能超載運行，此時接觸狀態可能會發生改變，即由Hertz彈性接觸狀態向彈塑性接觸甚至塑性接觸狀態改變；如果軸承長期處于彈塑性甚至塑性接觸狀態，將會嚴重影響軸承的壽命和傳動精度；因此，研究圓柱與平面Hertz接觸的臨界參數很有意義。

1 圓柱與平面彈性接觸理論

根據Hertz理論，圓柱與平面彈性接觸時，其接觸區域可以簡化為長度為L，寬度為2a的矩形，如圖1所示。接觸應力p分布呈半橢圓柱體形[7]，其為

圖1 圓柱與平面Hertz接觸示意圖

(1)

式中：x為接觸點距接觸中心的徑向距離；F為外部載荷。

當x=0時，即接觸區域的中心處所受到的接觸應力最大，其為

(2)

式中：E*為等效彈性模量，E*=E/(1-ν2)；E為彈性模量；ν為泊松比；R為圓柱體半徑。

位于半橢圓柱體中心對稱面z軸上點的正應力和主剪應力分別為

(3)

(4)

(5)

(6)

τyz=τzx=0。

(7)

根據接觸應力與載荷之間的關系，可得接觸半寬a為

(8)

Puttock采用數學簡化的方法，推導出圓柱的壓下位移的近似解析式為[8]

(9)

2 臨界參數計算

根據圖1所示的坐標，采用最大接觸應力p0對z軸上各點的正應力場進行無量綱化，并且令ξ=z/a，則(3)～(7)式所表示的正應力和主剪應力分別變換為

(10)

(11)

(12)

(13)

從(10)～(12)式可以發現：σx和σz與泊松比ν無關，但σy與泊松比ν相關。z軸上的無量綱應力σx/p0，σy/p0，σz/p0與無量綱位置ξ及泊松比ν之間的關系曲線如圖2所示。從圖2中可以看出，在接觸中心z軸上的所有正應力均為壓應力；當ξ<1時，σx，σy和σz的值隨深度的增加而快速增大，但泊松比ν的大小對σy值增大的速度有很大影響，在0<ξ<1區域，當ν=0.5時，σy/p0的變化率大約有60%，而當ν=0.1時，σy/p0的變化率卻不到10%；當ξ>1時，σx值的變化較小，且最后趨近于0，而σz值隨ξ增大而繼續增大；隨著泊松比ν的減小，材料的可壓縮性增大，使得σy值隨之增大(這里的σx，σy和σz均為壓應力，其值的增大實際為壓應力的減小)。

圖2 無量綱應力與無量綱位置ξ及泊松比ν之間的關系

在彈性接觸過程中，接觸應力隨著載荷F的增大而增大，最終達到甚至超過材料的屈服強度Y。根據von Mises屈服準則[9]，z軸上點的屈服應力為

(14)

將(10)～(13)式代入(14)式中，有

(15)

(15)式表明材料的變形狀態(彈性或塑性)與材料所處的位置ξ和材料的泊松比ν有較大關聯，其關系曲線如圖3所示。從圖中可以看出：隨著泊松比ν的增大，無量綱屈服應力σs/p0減小，即材料越容易屈服，而且最先發生屈服點的位置由接觸中心的正下方向接觸區域內部轉移；當ν<0.194時，在接觸中心表面的材料最先開始屈服；當ν=0.194時，屈服點出現在ξ=0和ξ=0.58處；而當ν>0.194時，最先發生屈服的點已向接觸內部轉移，出現在接觸中心的正下方，即圓柱體中心對稱面上；當ν=0.3時，在ξ=0.7處最先開始屈服。當材料出現屈服現象時，此時的圓柱壓入位移δc即為材料發生屈服時的臨界壓入位移。

圖3 泊松比ν和位置ξ對屈服應力σs的影響

將(15)式對于ξ進行微分，并令該等式為0，即可得到材料發生屈服時的無量綱位置ξ0=z0/a，即

(16)

由于(16)式為超越方程，比較復雜，因此采用數值方法求解。圖4為(16)式的擬合曲線。從圖中可見，在材料發生屈服時，其擬合函數關系為

圖4 (16)式的擬合曲線

ξm=-2.393 5ν2+2.322 6ν+0.221 6 ，

(17)

其擬合的最大誤差為0.77%。

需注意的是，(17)式是在泊松比ν=0.194～0.5下得到的。根據圖3所示的泊松比ν對屈服應力的影響，可以看出：當ν<0.194時，初始屈服點位于接觸中心表面，即ξm=0。即當

(18)

σs/p0取最大值。

將(18)式代入(15)式，得到一個超越方程，因此同樣采用數值方法進行計算，其擬合曲線如圖5所示，擬合函數關系為

圖5 (15)式的擬合曲線

(19)

(19)式的最大擬合誤差不超過0.11%。

定義C=p0/Y，則

(20)

因此，圓柱與平面處于Hertz接觸時，出現臨界屈服的臨界參數為

p0c=CY，

(21)

(22)

(23)

(24)

式中：p0c為臨界最大接觸應力；ac為臨界接觸半寬；Fc為臨界載荷；δc為臨界位移。

將(9)式對載荷F進行微分，得

(25)

因此，得到圓柱與平面Hertz接觸時的臨界法向剛度為

(26)

對于彈性模量E=207 GPa，ν=0.33，Y=355 MPa的普通45#鋼，半徑為20 mm，長度為100 mm的圓柱，根據(21)～(26)式，可計算得到其與剛性平面發生Hertz接觸的臨界參數，計算結果見表1。

表1 Hertz接觸臨界參數

3 結束語

以彈性接觸理論和彈性力學為基礎，分析了圓柱與剛性平面發生Hertz接觸時的應力變化關系，結果表明材料發生屈服時的位置與材料的泊松比有較大關系。采用數值方法獲得了材料發生屈服時的位置以及接觸中心處的接觸應力的表達式。根據Hertz接觸理論，建立了圓柱與平面接觸的臨界接觸參數計算式，依據材料的彈性模量、屈服極限、泊松比和圓柱半徑及長度，可獲得接觸區域材料發生屈服時的臨界參數。