何處速度最大

賈開鵬

（陜西省洛南中學，陜西 洛南 726100）

圖1

有這樣一道力學題：如圖1所示，一物塊從半圓形軌道頂端無初速滑下，當物體通過最低點時，速度為v，已知物體和軌道間的動摩擦因數為μ，圓軌道半徑為R，則物塊滑過最低點時受到的摩擦力為多少？并討論在下滑過程中，何處速度最大？

這是一個常規的題目.第1問，根據圓周運動及牛頓第二定律，很容易解決；對于第2問，許多人認為，在最低點速度最大.筆者對后一問，用2種方法分析.

方法1：定性分析法.

在物體下滑過程中，改變速度大小的原因是合外力切向分量，即產生切向加速度.下滑過程中，合力切向分量是重力的切向分量與滑動摩擦力的合力，方向先與速度方向一致，而在最低點僅有滑動摩擦力，方向已經反向.說明在下滑到最低點之前的某點，存在切向合力為0的瞬間，該點速度應該最大.

下面再用定量計算的方法，分析何處速度最大.

方法2：運用動能定理定量分析.

設物塊從A點無初速滑下，物塊與圓心連線半徑和水平方向夾角為θ時的C點，瞬時速度為v，此時對物塊由牛頓第二定律，得

在此過程中，由動能定理得

（3）式中Wf是物塊克服摩擦力做的功，是變力功，需要用到積分來處理.

（4）式經計算可得

將Wf代入（3）式可得

解得

也可進行數學變形得

為了更加直觀地表示速度的變化，也可以用Excel圖表軟件作出v2－θ圖像如圖2所示.作圖時取g＝9.8m／s2，μ＝0.5，R＝0.2m，在區間，可以發現v2隨θ先增大后減小，完全驗證了上述推理.

圖2