數列極限“ε-N”定義的教學組織

趙薩日娜

（長春建筑學院，吉林 長春 130618）

數列極限“ε-N”定義的教學組織

趙薩日娜

（長春建筑學院，吉林 長春 130618）

數列極限對建立函數的各種極限形式有重要的引領作用.本文用形式邏輯思維和辯證邏輯思維，從四個有機關聯的層面對數列極限“ε-N”定義的教學進行組織.

極限；數列極限；定義；辯證邏輯；思維

極限理論是高等數學的理論基礎，極限概念是極限理論的基石.數列極限是最簡單最基本的極限形式，它對建立函數的各種極限形式有著極為重要的先行、引領作用.組織好數列極限“ε-N”定義的教學對整個極限理論的概念教學是十分重要的.本文用形式邏輯思維、辯證邏輯思維從四個有機關聯的層面對數列極限“ε-N”定義進行教學組織.

1 極限方法

1.1 引例：求半徑為R的圓面積S

作法的基本思想：用恩格斯提出的“在一定條件下直線和曲線應當是一回事”的辯證邏輯思維，在局部范圍“以直代曲”，即劉徽的割圓術.

（1）把圓周n等分，形成圓內接正n邊形；每邊邊長為ln，邊心距為Rn，形成n個以R、ln為邊的小三角形.（如圖1）

圖1

（3）讓n無限增大，記成n→∞.很顯然，n→∞時，Sn將無限趨近于圓面積S，記作Sn=S(lim是“limit”的縮寫，表示極限的意思)；當n→∞時，內接正n邊形的周長nln無限接近于圓周長l=2πR，邊心距Rn無限接近半徑R，得到

1.2 極限方法

用辯證邏輯，把概念、推理、判斷都看作是一種運動著的東西來思考，對引例做一般化總結：要確定某一個量（真值），首先找到它的一連串越來越精確的近似值，之后考察這一連串近似值的變化趨向，把那個量的精確值確定下來，這種方法就是極限方法.簡言之，極限方法就是從有限到無限、從近似到精確的方法.

2 數列極限“ε-N”定義的形式

2.1 數列極限的描述性定義

從極限方法出發，容易給出數列極限的直觀描述性定義.

定義1設有數列{xn}：x1,x2,x3,…,xn,…，如果當n無限增大時，xn趨近于某一個定常數a，則稱數列{xn}當n→∞時以a為極限，記為xn=a或xn→a(n→∞時).

描述性定義是從直觀給以定性的描述，根本弱點是缺乏定量分析，理論發展和實際應用需要把極限概念加以精確化，深化數列極限定義.

2.2 數列極限的“ε-N”定義

剖析描述性定義，所謂數列{xn}當n→∞時以定常數a為極限，意即“當n充分大時，xn與a可以任意接近，要多近就能有多近”，等價于“當n充分大時，|xn-a|可以任意小，要多小就能有多小”，就是說：“要|xn-a|有多小，只需n增大到一定程度后，就能有多小”.數列極限的精確定義，就是把這層意思數量化的確切表示出來.看一個例子：考察數列，從描述性定義易知它以零為極限.要多小，只要n增大到一定程度后，就能有多小.

定義2 設有數列{xn}，如果存在定常數a，對任意給定的正數ε（不論它有多么小），總存在著正整數N，使得當n>N時，不等式

都成立，那么就稱a是數列{xn}的極限，或者稱數列{xn}收斂于a，記為

如果不存在這樣的常數a，就稱數列{xn}沒有極限，或說數列{xn}發散.

2.3 對“ε-N”定義的分析

（1）定義反映了通過有限去認識無限的辯證邏輯思維.xn趨近于a的過程是一個無限接近的過程.但實現這個過程的每一步接近都是有限的；|xn-a|接近零的過程是無限變小的過程，但每一次變小的過程都是通過有限形式表達的.正是這無限個有限變小的形式完成了|xn-a|趨于零的無限變小的過程.

（2）定義中的ε扮演了體現極限方法的重要角色，它有給定和任意的二重性，把數列極限的無限變化做到了靜和動的統一.給定ε一個值，形成一個靜態的不等式|xn-a|<ε，確定一個對應的N；任意給定ε，形成一系列靜態不等式|xn-a|<ε，確定一系列對應的N，這一系列的不等式|xn-a|<ε和N的對應變化構成了動態的極限過程，完成了從有限到無限，從近似到精確的深化.這種從靜到動的過程反映的是“變量靜態下的形式邏輯思維規律”.

（3）定義中的N不唯一，一般說來ε越小，對應的N越大，N依賴于ε的取值，常記作N=N(ε).

（4）從幾何上看，數列{xn}對應于數軸上一串點，|xn-a|<ε表示點xn與a的距離小于ε.任意給定了正數ε，在數軸上做以a為中心長為2ε的開區間xn-εN時，|xn-a|<ε成立，表示下標大于N的一切點xn，都將進入開區間a-ε

圖2

3 數列極限“ε-N定義的應用舉例

證明 對于任意給定的正數ε，欲使|xn-a|=，只要n>.

4 數列極限“ε-N”定義的拓展性

數列極限“ε-N”定義的數量關系形式上看是兩個正數ε、N，兩個不等式，n>N的邏輯關系.其中ε和是數列取值變化的標志，N和n>N是自變量取值變化的標志.

對一元函數的極限形式一般分為下列6類共24種：

但無論是哪種形式的定義，也都是兩個正數、兩個不等式的辯證邏輯關系.其中一個正數是函數變化的標志，對應著相關于函數的一個不等式，另一個正數是自變量變化的標志，對應著相關于自變量的一個不等式，如，就是兩個正數 ε、δ及與之對應的兩個不等式的邏輯關系.實質上，這都與數列極限“ε-N”定義的形式是一致的，所以把握好數列極限“ε-N”定義的形式及內涵，按著形式邏輯的規則，進行觸類、聯想、拓展，很容易得到函數極限各種形式的定義.

〔1〕吉林大學數學系.數學分析.北京人民教育出版社，1978.

〔2〕T.M.菲赫金哥爾茨.微積分學教程第一卷第一分冊.北京人民教育出版社，1980.

〔3〕同濟大學應用數學系.高等數學.北京高等教育出版社，2004.

〔4〕藺云.辯證邏輯思維及其常量與變量互易法—微積分教學方法的探索與研究[J].數學教學研究，2008（4）.

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1673-260 X（2013）10-0008-02