論中心極限定理及應(yīng)用

王偉珠

（遼寧對(duì)外經(jīng)貿(mào)學(xué)院 基礎(chǔ)課教研部，遼寧 大連 116052）

論中心極限定理及應(yīng)用

王偉珠

（遼寧對(duì)外經(jīng)貿(mào)學(xué)院 基礎(chǔ)課教研部，遼寧 大連 116052）

中心極限定理是DeMoivre在18世紀(jì)首先提出的，定理在很一般的條件下證明了無(wú)論隨機(jī)變量Xi(i=1,2…)服從什么分布，n個(gè)隨機(jī)變量的和當(dāng)n→∞時(shí)的極限分布是正態(tài)分布.本文僅介紹其中兩個(gè)最基本的結(jié)論并舉例應(yīng)用.

中心極限定理；結(jié)論；應(yīng)用

在實(shí)際問(wèn)題中,許多隨機(jī)現(xiàn)象是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素綜合影響所形成,其中每一個(gè)因素在總的影響中所起的作用是微小的.這類隨機(jī)變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.以一門(mén)大炮的射程為例,影響大炮的射程的隨機(jī)因素包括:大炮炮身結(jié)構(gòu)的制造導(dǎo)致的誤差,炮彈及炮彈內(nèi)炸藥在質(zhì)量上的誤差,瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差,受風(fēng)速、風(fēng)向的干擾而造成的誤差等.其中每一種誤差造成的影響在總的影響中所起的作用是微小的,并且可以看成是相互獨(dú)立的,人們關(guān)心的是這眾多誤差因素對(duì)大炮射程所造成的總影響.因此需要討論大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的問(wèn)題.

中心極限定理回答了大量獨(dú)立隨機(jī)變量和的近似分布問(wèn)題,其結(jié)論表明:當(dāng)一個(gè)量受許多隨機(jī)因素(主導(dǎo)因素除外)的共同影響而隨機(jī)取值,則它的分布就近似服從正態(tài)分布.而正態(tài)分布有許多完美的理論，從而可以獲得即實(shí)用又簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果.本文僅介紹其中兩個(gè)最基本的結(jié)論，并通過(guò)舉例加以應(yīng)用.

1 Lindeberg—Levy定理

定理1(Lindeberg—Levy定理)設(shè)X1,X2,…,Xn,…是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列,且

則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有

注1:該定理表明:當(dāng)n充分大時(shí),n個(gè)具有期望和方差的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和近似服從正態(tài)分布.雖然在一般情況下,我們很難求出X1+X2+…+Xn的分布的確切形式,但當(dāng)n很大時(shí),可求出其近似分布.由定理結(jié)論有

故定理又可表述為:均值為μ,方差為σ2>0的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn的算術(shù)平均值,當(dāng)、充分大時(shí)近似地服從均值為μ,方差為σ2/2的正態(tài)分布.這一結(jié)果是數(shù)理統(tǒng)計(jì)中大樣本統(tǒng)計(jì)推斷的理論基礎(chǔ).

2 棣莫佛—拉普拉斯定理

定理2（棣莫弗—拉普拉斯定理） 設(shè)隨機(jī)變量Yn服從參數(shù)n,p(0

注2:易見(jiàn)，棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理就是Lindeberg—Levy中心極限定理的一個(gè)特殊情況.

注3:中心極限定理存在的條件整理為如下幾個(gè)關(guān)鍵詞：獨(dú)立、同分布、數(shù)學(xué)期望與方差存在；當(dāng)隨機(jī)變量序列滿足中心極限定理時(shí)，難點(diǎn)是求解隨機(jī)變量和函數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差，進(jìn)而進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化就可以得到近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

3 應(yīng)用舉例

例1 一盒同型號(hào)螺絲釘共有100個(gè),已知該型號(hào)的螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€(gè)隨機(jī)變量,期望值是100g,標(biāo)準(zhǔn)差是10g,求一盒螺絲釘?shù)闹亓砍^(guò)10.2 kg的概率.

解 設(shè)Xi為第i個(gè)螺絲釘?shù)闹亓?i=1,2,…,100.且它們之間獨(dú)立同分布,于是一盒螺絲釘?shù)闹亓繛閄=且由，知

E(X)=100×E(Xi)=10000，由中心極限定理有

例2 計(jì)算機(jī)在進(jìn)行數(shù)學(xué)計(jì)算時(shí),遵從四舍五入原則.為簡(jiǎn)單計(jì),現(xiàn)在對(duì)小數(shù)點(diǎn)后面第一位進(jìn)行舍入運(yùn)算,則誤差X可以認(rèn)為服從[-0.5,0.5]上的均勻分布.若在一項(xiàng)計(jì)算中進(jìn)行了100次數(shù)字計(jì)算,求平均誤差落在區(qū)間/20]上的概率.

解 n=100,用Xi表示第i次運(yùn)算中產(chǎn)生的誤差.X1,X2,…,X100相互獨(dú)立,都服從[-0.5,0.5]上的均勻分布,且E(Xi)=0,D (Xi)=1/1 2,i=1,2,…,100,從而,近似地有

例3 某車(chē)間有200臺(tái)車(chē)床,在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工作等常需停車(chē).設(shè)開(kāi)工率為0.6,并設(shè)每臺(tái)車(chē)床的工作是獨(dú)立的,且在開(kāi)工時(shí)需電力1千瓦.問(wèn)應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車(chē)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?

解 對(duì)每臺(tái)車(chē)床的觀察作為一次試驗(yàn),每次試驗(yàn)觀察一臺(tái)車(chē)床在某時(shí)刻是否工作,工作的概率為0.6,共進(jìn)行200次試驗(yàn).用X表示在某時(shí)刻工作著的車(chē)床數(shù),依題意,有

現(xiàn)在的問(wèn)題是:求滿足P{X≤N}≥0.999的最小的N.

例4 某市保險(xiǎn)公司開(kāi)辦一年人身保險(xiǎn)業(yè)務(wù),被保險(xiǎn)人每年需交付保險(xiǎn)費(fèi)160元,若一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故,其本人或家屬可獲2萬(wàn)元賠金.已知該市人員一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的概率為0.005,現(xiàn)有5000人參加此項(xiàng)保險(xiǎn),問(wèn)保險(xiǎn)公司一年內(nèi)從此項(xiàng)業(yè)務(wù)所得到的總收益在20萬(wàn)到40萬(wàn)元之間的概率是多少?

于是Xi均服從參數(shù)為p=0.005的兩點(diǎn)分布,且p{Xi=1}=0.005，np=是5000個(gè)被保險(xiǎn)人中一年內(nèi)發(fā)生重大人身事故的人數(shù),保險(xiǎn)公司一年內(nèi)從此項(xiàng)業(yè)務(wù)所得到的總收益為0.016×5000-2×萬(wàn)元.于是

例5 對(duì)于一個(gè)學(xué)校而言,來(lái)參加家長(zhǎng)會(huì)的家長(zhǎng)人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量,設(shè)一個(gè)學(xué)生無(wú)家長(zhǎng),1名家長(zhǎng),2名家長(zhǎng)來(lái)參加會(huì)議的概率分別為0.05,0.8,0.15.若學(xué)校共有400名學(xué)生,設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)相互獨(dú)立,且服從同一分布,求參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù)X超過(guò)450的概率.

解 以Xk(k=1,2,…,400)記第k個(gè)學(xué)生來(lái)參加會(huì)議的家長(zhǎng)數(shù),則Xk的分布律為

Xk 0 1 2 Pk 0.05 0.8 0.15

易知E(Xk)=1.1,D(Xk)=0.19,k=1,2,…,400,而X,由定理1,隨機(jī)變量

例6 設(shè)有1000人獨(dú)立行動(dòng),每個(gè)人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體的概率為0.9.以95%概率估計(jì),在一次行動(dòng)中,至少有多少人能夠進(jìn)入掩蔽體.

解 用Xi表示第i人能夠按時(shí)進(jìn)入掩蔽體,令Sn=X1+X2+…+X1000.設(shè)至少有m人能進(jìn)入掩蔽體,則要求

m=900-15.65=884.35≈884人.

中心極限定理的應(yīng)用很多，能解決更多的實(shí)際問(wèn)題,有待于我們進(jìn)一步的探討.

〔1〕吳贛昌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（經(jīng)管類·第三版）．中國(guó)人民大學(xué)出版社，2009.

〔2〕全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試輔導(dǎo)用書(shū)編委會(huì).數(shù)學(xué)考試參考書(shū)，高等教育出版社.

O211.9

A

1673-260 X（2013）10-0001-02