模糊距離空間

呼和

（內蒙古大學，內蒙古呼和浩特010021）

模糊距離空間

呼和

（內蒙古大學，內蒙古呼和浩特010021）

本文我們主要介紹了模糊距離空間的概念，在模糊距離空間里兩點間的距離是非負的、上半連續的、正規的、凸的模糊數.近幾年這些研究在概率度量空間做了很多.介紹概率度量空間的原因就在于，很多情況下兩點間距離不是一個準確的單獨的實數，但是當測量一個正常的長度時，距離的不確定度不是由于隨機性導致的而是由于模糊度，這時引進模糊距離空間的概念就更合適.Kramosil和Michalek介紹模糊距離空間是通過把概率度量空間的概念推廣成模糊的情況.本文的目的在于通過指定兩點間距離為一個非負的模糊數，再把距離空間的概念推廣成模糊的情況.文中第一部分我們研究了模糊數的性質，第二部分我們定義了模糊距離空間，研究了它的一些性質并給出證明.

模糊度；模糊度量空間；模糊數

1 模糊數的性質

一個模糊數是實數軸上的一個模糊集，即映射x:R→[0,1].一個模糊數x如果x(t)≥min{x(s),x(r)}，其中s≤t≤r則它是凸的.在以前文章中指出x是凸的當且僅當它的每一個α水平集[x]α滿足?α，0＜α≤1，都有[x]α={t|x(t)≥α}是R中的凸集.

給出證明：(必要性)設α∈(0,1],?t1,t2∈[x]α，λ∈[0,1].要證λt1+(1-λ)t2∈[x]α，由于min{t1,t2}≤λt1+(1-λ)t2≤max{t1,t2}，故x[λt1+(1-λ)t2]≥min{x(t1),x(t2)}≥α因此λt1+(1-λ)t2∈[x]α.

(充分性)設s≤t≤r，取α=min{x(s),x(r)}.要證x(t)≥α，若α=0則顯然x(t)≥0=α.若0＜α≤1，由于[x]α是凸集.且s,t∈[x]α，故λt1+(1-λ)t2∈[x]α，其中

如果?t0∈R，使x(t0)=1，那么x成為是正規的（ker[x(t)= {t|t∈R,x(t)=1}]當且僅當kerx(t)≠?，x(t)是正規的）.一個上半連續凸的正規的模糊數的α水平集[x]α是一個閉區間[aα，bα]，其中aα=-∞，bα=+∞是允許的.

給出證明：[x]α={t|x(t)≥α}是R中非空閉凸子集，故一定是閉區間.

記所有上半連續正規的凸的模糊數為E.R能夠嵌入到E中，即，使R存在一一映射.

若模糊數x∈E，則x是正規的凸的上半連續的.

證明定義x:R→[0,1]，?t∈R記α(t)={α∈[0,1]|t∈[aα, bα]}.若α(t)≠?則x(t)=supα(t)，若α(t)=?則x(t)=0.由于x∈E，[a1,b1]≠?取t0∈[a1,b1]則x(t0)=1.設s≤t≤r若min{x(t1),x(t2)}=0則x(t)≥min{x(t1),x(t2)}，若min{x(t1),x(t2)}=0則α(t)≠?，α(s)≠?取α=min{x(t1),x(t2)}由x(r)定義知,對于n=1,2,…，?αn∈α(r)使從而得到，同理可證故由條件(2)可知bα]故x(t)≥α=min{x(r),x(s)}.?t∈[x]α?x(t)≥α＞α-1k，k≥N得t∈[aα,bα]，?t∈[aα,bα]?α∈α(t)?x(t)=supα(t)≥α，?α,0＜α≤1,{t∈R|x(t)≥α}=[aα,bα]是閉集.α=0,{t∈R|x(t)≥0}=R是閉集.因此x∈E且[x]α=[aα,bα].

一個模糊數x稱為是非負的，如果x（t0）=0，?t＜0記G為E中所有的非負模糊數.有x=y??t∈R,x(t)=y(t)，把+,-,.和/運算定義為E×E→E.

0＜α≤1.

反過來，如果[aα，bα],0＜α≤1是x∈E的α水平集[x]α2，則條件(a)和條件(b)可以滿足.

證明(a)設x∈E，0＜α1≤α2≤1，?t∈[aα2，bα2]=[x]α2,得到x(t)≥α2≥α1?t∈[x]α1=[aα1，bα1]，得到[aα2，bα2]?[aα1，bα1].

(b)設x∈E,{αk}?(0,1]且αk是遞增序列有由(a)可得，從而是遞增且有上界aα的數列是遞減且有下界bα的數列，從而存在且小于等于存在且大于等于bα.因此

xn∈G，n=1,2,…,[xn]α=[αn,2-α]，有xn+1≤xn，但是不是一個模糊數的2-α水平集.

2 模糊距離空間

設X是一個非空集合，d是一個X×X到G上的映射且設為L，R:[0,1]×[0,1]→[0,1]關于兩個變元是對稱的非減的且L(0,10)=0,R(1,1)=1記[d(x,y)]α=[λα(x,y),ρα(x,y)]，對于x,y∈X,0＜α≤1稱(X,d,L,R)是一個模糊距離空間且d是一個模糊度量，如果：

證明：距離空間是模糊距離空間的特殊情況.

只需證明s+t=d(x,y)時d(x,z)(s)≠0或d(z,y)(t)≠0，即s=d(x,z)或t=d(z,y)由于d(x,y)=s+t≥d(x,z)+d(z,y)≥d(x,y)，故d(x,y) =s+t=d(x,z)+d(z,y).推出d(x,z)-s=t-d(z,y)?s=d(x,z),t=d(z,y)，因此

〔1〕D.W.Boyd,J.S.W.Wong,Onnonlinear,Proc.Amer. Math.Soc.20(1969)458-464.

〔2〕M.M.Gupta,R.K.RagadeandR.R.Yager,Editors, AdvancesinFuzzySetTheoryandApplications(North-Holland,NewYork,1979).

〔3〕OsmoKALEVAandSeppoSEIKKALA,ONFUZZY METRICSPACES,FuzzySetsandSystems12(1984) 215-229.

O159

A

1673-260X（2013）06-0014-03